ВКР: Методики определения гравитационной постоянной по динамическому методу

Введение, постановка задачи

Основной задачей настоящей работы являлось исследование численных методов решения системы нелинейных дифференциальных уравнений колебаний второго порядка с целью сравнения эффективности известных методов. Использовалась программа для расчёта измерений гравитационной постоянной G [19]. Объектом исследований явились данные, полученные на установке с крутильными весами [21]. Предметом исследований были методы численного решения системы дифференциальных уравнений. В настоящей работе кроме метода Рунге-Кутты рассматривались другие методы. Имевшаяся в распоряжении программа для расчёта гравитационной постоянной содержит две независимые методики решения. Обычно считается, что заключительная стадия, связанная с расчётами, не имеет принципиального значения. Большинство авторов сосредоточивает внимание на погрешности измерений. Методикам расчёта внимания уделяется мало. Решения системы нелинейных уравнений колебаний основано на использовании двух принципиально независимых методов: численном определении периода колебаний осциллятора интегрированием дифференциальных уравнений колебаний [1, 8, 18, 22, 24-26, 32, 38, 46, 47] и аналитическом вычислении периода, базирующемся на теории нелинейных колебаний [2, 7, 9-15]. Первый метод стал перспективным в связи с развитием вычислительной техники. Второй метод обеспечивает значительно более быстрые расчёты и не требует информации о периоде колебаний при отсутствии притягивающих масс. При решении конкретных задач на базе этих методов разрабатываются различные методики, учитывающие специфику поставленных задач. Совпадение численных значений гравитационной постоянной по двум независимым методикам исключает ошибки при их разработке и повышает достоверность

2. Основные методы измерения гравитационной постоянной

Известны два основных метода измерения гравитационной постоянной  статический [27, 36, 37, 49] и динамический [9, 17, 42, 43, 45, 48]. Статический метод значительно упрощает расчёты. Он не связан с решением дифференциальных уравнений движения, поскольку крутильные весы находятся в неподвижном состоянии. Однако даже в таком методе необходимо измерять период свободных колебаний, что позволяет определить жёсткость нити подвеса. Удерживать в течение длительного времени весы в неподвижном состоянии значительно сложнее, чем в режиме свободных колебаний. На коромысло с грузами оказывают влияние конвективные потоки газа, которые раскачивают весы. Даже в высоком вакууме весы подвержены влиянию неравновесных потоков разреженного газа. Кажущаяся простота измерения гравитационной постоянной привлекла внимание Д.Мичелла. Он изготовил установку, но не успел провести на ней измерения гравитационной постоянной. Его работу завершил Г.Кавендиш [27]. Он оставил подробные протоколы измерений. В установке использовались шаровые формы взаимодействующих тел. Статический метод до сих пор находит применение. При этом вместо шаровых тел используются тела более сложной формы, например, цилиндрической [49]. Динамический метод нашёл более широкое применение. Чем меньше амплитуда колебаний весов, тем меньше нелинейность системы, тем проще расчёты. Отклонение формы взаимодействующих тел от шаровой привела к большим проблемам при расчётах [17]. Исчезли аналитические формулы моментов притяжения. На их расчёты потребовалось огромное время. Имевшиеся в то время средства вычислений сильно ограничивали такие возможности. Но даже в настоящее время проведение расчётов при наличии протоколов измерений вызывает определённые проблемы [20]. Лишь при очень малых амплитудах расчёты упрощаются [42, 48]