ВКР: Кручение Рейдемейстера трехмерных граф-многообразий, возникающих в гамильоновой динамике

Кручение Рейдемейстера трехмерных граф-многообразий, возникающих в гамильтоновой динамике

В данной работе изучается топология изоэнергетических трехмерных многообразий интегрируемых гамильтоновых систем, реализуемых в виде специального класса т. н. «молекул». А именно, для данного класса многообразий вычислено кручение Рейдемейстера в терминах инвариантов Фоменко-Цишанга. Обнаружена связь между кручением изоэнергетического многообразия и устойчивыми периодическими траекториями. Библиография: 9 названий. Ключевые слова: Кручение Рейдемейстера, граф-многообразия Вальдхаузена, многообразия Зейферта, инварианты Фоменко-Цишанга, меченые молекулы, гамильтоновы системы.

§ 1. Введение

1.1. История вопроса.
Граф-многообразия были введены в топологию трехмерных многообразий Ф. Вальдхаузеном(см. [1], [2]). Это большой класс многообразий, однако он не исчерпывает всего класса компактных ориентируемых трехмерных многообразий. Оказалось, что граф-многообразия возникают в теории интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы как изоэнергетические трехмерные поверхности. А именно, А. Т. Фоменко совместно с С. В. Матвеевым показали, что изоэнергетическая поверхность гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, интегрируемой при помощи боттовского интеграла, обязательно является граф-многообразием([3], [4]). Более того любое граф-многообразие реализуется, как изоэнергетическая поверхность некоторой гамильтоновой системы интегрируемой при помощи боттовского интеграла.
Структура работы. Первый раздел содержит введение в теорию интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Во втором разделе дается определение кручения Рейдемейстера. Третий раздел содержит основную теорему автора. Пользуясь данной теоремой, вычисляются кручения некоторых семейств изоэнергетических многообразий, которые уже были обнаружены в реальных механических задачах. Четвертый раздел является небольшим обзором механических систем с изоэнергетическими поверхностями, реализованных простыми молекулами. Благодарность. Автор выражает искреннюю благодарность своим научным руководителям – Ф. Ю. Попеленскому и А. Т. Фоменко за постановку интересной задачи, за плодотворные консультации, а также за развитие интереса автора в области алгебраической и симплектической топологии
1.2. Граф-многообразия Вальдхаузена.
Определение 1. Компактное трехмерное ориентируемое многообразие называется граф-многообразием, если после вырезания из него конечного количества попарно непересекающихся двумерных торов, получается открытое многообразие, каждая связная компонента которого является расслоением Зейферта над двумерной поверхностью со слоем окружность. Такие многообразия удобно представлять в виде меченых графов, вершинам которых соответствуют связные компоненты(многообразия Зейферта), получающиеся после вырезания торов, ребрам соответствуют торы, по которым склеиваются связные компоненты. Выбрав базис в фундаментальных группах граничных торов каждой связной компоненты, каждому ребру можно приписать матрицу индуцированного изоморфизма фундаментальных групп, соответствующего склейки по тору. Есть возможность однозначно задать класс «допустимых» базисов в фундаментальных группах граничных торов. Такое представление многообразия в виде графа мы будем называть граф-структурой. Заметим, что одно многообразие допускает много различных граф-структур.