ВКР: Замкнутые локально минимальные сети на выпуклых многогранниках

1 Введение

Точное определение сети как геометрической реализации графа мы дадим ниже, а сейчас, во введении, назовём сетью в метрическом пространстве X всякое связное непустое множество N ⊂ X, представимое в виде объединения конечного числа спрямляемых вложенных кривых, внутренности которых попарно не пересекаются. Здесь вложенной кривой мы называем образ отрезка при непрерывном и взаимно-однозначном на внутренности отрезка отображении. Длиной сети назовём сумму длин кривых, объединением которых она является. Ясно, что длина сети определена корректно, т.е. не зависит от выбора разбиения сети на кривые. Пусть D – конечное подмножество точек в X. Сеть N0 назовём кратчайшей сетью с границей D в X, если D ⊂ N0 и любая сеть N0 в X такая, что D ⊂ N0 , имеет длину не меньшую, чем длина N0. Сеть N0 назовём локально минимальной сетью с границей D в X, если D ⊂ N0 и для любой точки P ∈ N0 и любой её достаточно малой замкнутой окрестности BP такой, что множество N0 ∩BP связно, это множество N0 ∩BP является кратчайшей сетью с границей (D ∩BP )∪(∂BP ∩ N0), где через ∂BP обозначена граница окрестности BP . Всякая кратчайшая геодезическая является кратчайшей сетью с границей, состоящей из её концов. Таким образом, кратчайшие сети – это обобщение кратчайших геодезических для случая, когда нужно «соединить»более двух точек. Локально минимальные сети, в свою очередь, являются обобщением произвольных, не обязательно кратчайших, геодезических. Локально минимальную сеть, не являющуюся геодезической, будем называть нетривиальной. Нас будут интересовать только нетривиальные локально минимальные сети с пустой границей, которые мы и называем замкнутыми локально минимальными сетями, или, кратко, минимальными сетями. На плоскости замкнутых локально минимальных сетей нет; на сфере всего 9 различных замкнутых локально минимальных сетей, с точностью до изометрий сферы; на плоских торах, плоских бутылках Клейна и равногранных тетраэдрах существенно различных замкнутых локально минимальных сетей бесконечно много и они хорошо изучены; имеются результаты, касающиеся замкнутых локально минимальных сетей на двумерных поверхностях постоянной отрицательной кривизны и поверхностях правильных многогранников (см. [1]). Мы рассматриваем замкнутые локально минимальные сети на поверхностях выпуклых многогранников. Такие сети имеют простую локальную структуру: они представляют собой несколько точек, соединённых геодезическими так, что из каждой точки выходит три геодезические, образуя между собой три угла по 120◦ .
Основные задачи.

1. Задача 1. Изучение множества многогранников с минимальными сетями. Хочется понять, что отличает многогранники, на которых можно построить хотя бы одну минимальную сеть, от всех остальных многогранников. Хочется понять, что можно сказать о топологических свойствах подмножества многогранников с минимальными сетями, например, ответить на вопрос, является ли это подмножество замкнутым в каком-нибудь смысле. В этом направлении известно пока очень мало. В разделе 3 даны простейшие необходимые условия существования минимальной сети на многограннике. Доказано, что эти необходимые условия (теоремы 5 и 6) уже в случае тетраэдров не являются достаточными (теорема 21 из раздела 8). Таким образом, множество обладающих минимальной сетью многогранников устроено не так просто, как можно было бы ожидать. Это всё, что пока что известно. Стоит отметить, что в случае замкнутых несамопересекающихся геодезических на выпуклых многогранниках ситуация похожая: необходимое условие на кривизны вершин многогранника, аналогичное условию из теоремы 5, не является достаточным (см. [3]), и, насколько мне известно, нет ни одного критерия, определяющего, есть ли на данном выпуклом многограннике замкнутая несамопересекающаяся геодезическая.
2. Задача 2. Описание минимальных сетей на конкретных выпуклых многогранниках. В работе [2] описаны минимальные сети на равногранных тетраэдрах. В настоящей работе мы рассмотрим вырожденные выпуклые многогранники с тремя вершинами – мы называем их двухсторонними треугольниками. Оказывается, что с точностью до преобразования подобия существует всего три двухсторонних треугольника, обладающих минимальными сетями. Для двух из этих трёх двухсторонних треугольников мы дадим полную классификацию минимальных сетей, см. раздел 7. Кроме того, мы докажем целый ряд фактов, касающихся минимальных сетей на неравногранных тетраэдрах, см. раздел 8.
3. Задача 3. Дан плоский граф. Выяснить, может ли он быть реализован как минимальная сеть на каком-нибудь выпуклом многограннике. Рассмотрим вложенный граф G на сфере, точнее, геометрическую реализацию на сфере какого-нибудь планарного графа. Возникает вопрос: существует ли гомеоморфизм, переводящий сферу в выпуклый многогранник, а граф G – в замкнутую локально минимальную сеть на этом многограннике? Если да, то какими могут получиться длины рёбер этой сети? Ответ на первый вопрос даёт следствие к теореме 7, и этот ответ очень прост. Плоский граф может быть реализован как минимальная сеть на выпуклом многограннике тогда и только тогда, когда все его вершины имеют степень три, а все грани не более чем шестиугольны. Более того, для каждого плоского графа можно описать и возможные длины рёбер реализующей его минимальной сети, см. теоремы 7 и 8 в разделе 5. Попытки решить первую и вторую задачу привели к построению накрывающих комплексов для многогранников, обладающих минимальными сетями, см. раздел 4. В этом разделе мы строим накрытие произвольного выпуклого многогранника с минимальной сетью некоторым плоским комплексом и доказываем некоторые свойства таких комплексов. Минимальные сети всегда поднимаются с многогранника на соответствующий накрывающий комплекс, и задача теоретически сводится к описанию минимальных сетей на этих комплексах. Однако такое описание пока известно лишь для комплексов, являющихся плоскими торами (классификация сетей на плоских торах дана в [6]). В тех редких случаях, когда накрывающим комплексом для многогранника оказывается плоский тор, эта конструкция позволяет спроецировать классификацию минимальных сетей с плоского тора на многогранник, см. раздел 7

В разделе 5 показано, что любая минимальная сеть, реализующаяся на каком-нибудь многограннике, может быть реализована с той же топологией и теми же длинами рёбер на некотором новом многограннике в простом положении – т.е. так, что каждая вершина нового многогранника содержится в отдельной ячейке сети. Это существенно, так как класс многогранников, имеющих минимальные сети в простом положении, в некотором смысле гораздо уже класса всех 2 Определения и предварительные результаты 3 многогранников, имеющих минимальные сети. В разделе 6 показано, как осуществить переход от многогранника с минимальными сетями к соответствующему многограннику, имеющему те же минимальные сети, но в простом положении, см. теорему 9. Я пользуюсь случаем выразить глубокую благодарность А. О. Иванову и А. А. Тужилину за постановку этой задачи и постоянное внимание к моей работе. Работа выполнена при поддержке гранта президента РФ поддержки ведущих научных школ, проект НШ-3224.2010.1, гранта РФФИ, проект 10-01-00748-а, программы Развитие научного потенциала высшей школы, проект РНП 2.1.1.3704**