Ответы к экзамену: Ответы на вопросы к экзамену по интегралам и дифурам

В файлах представлены ответы на вопросы к экзамену по ИиДУ для факультетов СМ, РК4, ИУ10 Есть рукописные ответы по лекциям и ответы по учебнику. Также прилагаются добытые билеты 2021 и 2020 годов. Список вопросов: Примеры ответов:  Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Интегралы и дифф еренциальные уравн ения» Модул ьl. Интеграл ы 1. Сформулируйте определение определенного интеграла; его геометрический смысл . Дока.жите CRO Й CTIIO .П ИНС Йl·ЮСТИ ОПJ.ЮНСJТСННОГО И НТСГJ.)НJЩ. 2. Сформулируйте и докажите теорему об оценке определенного интеграла. 3. Сформулируйте и докажите свойство аддитивности определенного интеграла. 4. Сформулируйте и докажите теорему об интегрировании неравенств между функциями.

5. Сформулируйте и докажите теорему о среднем значении для определенного интегр ала. 6. Сформулируйте и докажите теорему о производной от интеграла с переменным верхним пределом . 7. Выведите формулу Ньютона-Лейбница для определенного интеграла. 8. Сформулируйте признаки сходимости несобственных интегралов 1-го рода для неотрицательных функций. 9. Сформулируйте и докажите предельный признак сходимости несобственных интегралов 1-го рода для неотрицательных функций. 1 О. Сформулируйте и докажите предельный признак сходимости несобственных интегралов 2-го рода для неотрицательных функций. 11. Сформулируйте признаки сходимости несобственных интегралов 2-го рода для неотрицательных функций.

12. Выведите формулу площади криволинейного сектора, заданного в полярной системе координат. 13. Выведите формулу для вычисления объема по известным площадям поперечных сечений и формулу для вычисления объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОХ . 14. Выведите формулу объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси О У . 15. Дайте определение длины дуги плоской кривой. Напишите формулы длины дуги кривой, заданной в декартовой и полярной системах координат. 16. Напишите формулу площади поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси ОХ . Модул ь2. Дифференци ал ьны е уравн ения 1. Сформулируйте и докажите теоремы о свойствах частных решений линейных однородного и неоднородного дифференциальных уравнений.

2. Сформулируйте и докажите теорему о вронскиане линейно зависимой системы функций. 3. Сформулируйте и докажите теорему о вронскиане линейно независимой системы частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. 4. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения п - го порядка. 5. Дайте определение фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения п - го порядка. Сформулируйте и докажите теорему о существовании фундаментальной системы решений для указанного уравнения . 6. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения п - го порядка.

7. Выведите формулу Остроградского - Лиувилля для линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка. 8. Сформулируйте и докажите теорему о наложении частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения (принцип суперпозиции) . 9. Дайте обоснование метода вариации произвольных постоянных (метода вариации Лагранжа) для линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка. 1 О. Выведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае простых действительных корней характеристического уравнения. 11 . Выведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения.

12. Выведите формулу общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристического уравнения..