А.А.Чекмарев - Начертательная геометрия и черчение. 476 стр., М.; ГИЦ Владос, 2002 (975500), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В положении совмещения плоскости Р с плоскостью бб Н прямая Р представляет собой след Р„совмещенный с плоскостью Н. След Р„как ось вращения не меняет своего положения. Точка Р„пересечения следов также не меняет своего положения. Для построения совмещенного положения Р следа Р. достаточно найти еше одну точку, например точку Х этого следа (кроме точки Р„) в положении, совмещенном с плоскостью Н. Точка Лг опишет дугу в плоскости Ц, перпендикулярной к оси вращения.
Центр О этой дуги является точкой пересечения плоскости Ц со следом Р„. Точка Л~, на плоскости Н является точкой пересечения дуги радиуса ОЛГ в плоскости Д со следом 9,. Проведя через Р„и Ж прямую, получим Р,, Отрезок Р„М не изменяет своей длины при вращении плоскости; поэтому точку Л~, можно получить при пересечении 05 с дугой, описанной в плоскости Н, из точки Р„радиусом Р„М. Для выполнения рассмотренных построений на чертеже (рис. 5.15) на следе Р„выбрана произвольная точка Ф (она совпадает со своей проекцией п '). Через ее горизонтальную проекцию п проведена прямая по, перпендикулярная к оси вращения — следу Р„.
На этой прямой найдена точка Л'„т. е. точка Ф после совмещения с плоскостью Н. Она найдена на расстоянии Р,Х, = Р„п' от точки Р„или на расстоянии оЛ~, от точки о, равном радиусу вращения точки Х Длина радиуса оЛ5 = оЖ определена, например, как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами оп и пМ (пХ=пп'). Прямая Р, проходящая через точки Р„и Лн — совмещенное положение следа Р,. Аналогично построено совмещенное положение С, точки С. Радиус вращения оС найден как гипотенуза прямоугольного Рис. 5.14 Рис. 5.15 треугольника, у которого один катет ос, другой катет с С=с'1. Второй вариант построения выполнен с помощью горизонтали плоскости Р с проекциями с'2'„с — 2 С помощью дуги радиуса Р„2' найдено совмещенное положение 4 точки 2 на линии Р, а в совмещенном положении 4с, горизонталь проведена через точку 20 параллельно следу Рь Если требуется совмесппь плоскость с фронтальной плоскостью проекций„то вращать плоскость следует вокруг ее фронтального следа.
5.4. Гомотетия и подобие, центральная и зеркальная симметрии Гомотетия и подобие. Гомотетия — ' преобразование„при котором каждой точке М (плоскости или пространства) ставится в соответствие точка М; лежащая на ОМ (рис. 5.16), причем отношение ОМ'.ОМ= Х одно и то же для всех точек, отличных от О. Фиксированная точка О называется центром гомотетии.
Отношение ОМ'. ОМ считают положительным, если М'и Млежат по одну сторону от О, отрицательным — по разные стороны. Число Х называют коэффициентом гомотетии. При Х< О гомотетию называют обратной. При Х = — 1 гомотетия превращается в преобразование симметрии относительно точки О. При гомотетии прямая переходит в прямую, сохраняется параллельность прямых и плоскостей, сохраняются углы (линейные и двугранные)„каждая фигура переходит в ей подобную (рис„5.17). Верно и обратное утверждение. Гомотетия может быль определена как аффинное преобразование, при котором прямые, соединяющие соответствующие точки, проходят через одну точку — центр гомотетии.
Гомотетию применяют для увеличения изображений (проекционный фонарь, кино). Центральная и зеркальная симметрии. Симметрия (в широком смысле) — свойство геометрической фигуры Ф, характеризующее некоторую правильность ее формы, неизменность ее при действии движений и отражений. Фигура Ф обладает симметрией (симметрична), если существуют нетождественные ортогональные преобразования, переводящие эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональных преобразований, совмещающих фигуру Ф с самой собой, является группой этой фигуры.
Так„плоская фигура (рис. 5.18) с точкой М преобразую1цая- ся в себя при зерксиьиом отражении, симметрична относитель- нО прямой — оси АВ. Здесь группа симметрии состоит из двух элементов — точка М преобразуется в М'. Если фигура Ф на плоскости такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360 /л, где л > 2 целое число, переводят ее в себя, то фигура Ф обладает симметрией и-го порядка относительно точки Π— центра симметрии.
Пример таких фигур — правильные многоугольники, например звездчатый (рис. 5.19), обладающий симметрией восьмого порядка относительно своего центра. Группа симметрии здесь — так называемая циклическая группа и-го порядка. Окружность обладает симметрией бесконечного порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на любой угол). Простейшими видами пространственной симметрии является центральная симметрия (инверсия). В этом случае относительно точки О фигура Ф совмещается сама с собой после последовательных отражений от трех взаимно перпендикулярных плоскостей, т. е. точка Π— середина отрезка, соединяюшего симметричные точки Ф. Так, для куба (рис. 5.20) точка О является центром симметрии.
Точки М и М' куба м' Рис. 5.19 Рис. 5.18 69 . Какие способы преобразования чертежа рассмотрены в главе 5? В чем заключается их основное различие? . В чем заключается способ, называемый способом перемены плоскостей проекций? .
Какие положения в системе К Н должна занять плоскость проекций Х, вводимая для образования системы э", Н? . Какое положение в системе 1; Н займет плоскость проекций Т при последовательных переходах от Р Н через Ю, Н к Х, Т? . Как найти длину отрезка прямой общего положения и углы наклона этой прямой к плоскостям Ки Н, вводя дополнительные плоскости проекции? . Сколько дополнительных плоскостей надо ввести в систему 1; Н, чтобы определить натуральный вид фигуры, плоскость которой перпендикулярна к плоскости Н или к плоскости К? .
Сколько и в какой последовательности надо ввести дополнительных плоскостей в систему 1; Н, чтобы заданная прямая общего положения оказалась перпегщикулярной к дополнительной плоскости проекций? . Сколько (и в какой последовательности) надо ввести дополнительных плоскостей проекций в систему 1; Н, чтобы получить натуральный вид фигуры, плоскость которой является плоскостью общего положения? . Как определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми? . Что такое плоскость вращения точки н как она располагается при повороте вокруг вертикальной оси? .
Как перемещаются проекции точки при вращении ее вокруг оси, не перпендикулярной фронтальной плоскости проекций? 10 70 симметричны как относительно осей АВ и Сб, так и относительно центра О. В случае осевой симметрии, или симметрии относительно прямой и-го порядка, фигура накладывается на себя вращением вокруг некоторой прямой (оси симметрии) на угол 360'/и.
Например, для куба (см. рис. 5.20) прямая Рис. 5.20 АН вЂ” ось симметрии третьего поряд- ка, СЮ вЂ” ось симметрии четвертого порядка. Вообще правильные многогранники симметричны относительно ряда прямых. 12. Какая из проекций отрезка прямой линии не изменяет своей величины при вращении вокруг вертикальной оси? 13.
В каком случае не изменяется при вращении наклон прямой линии по отношению: а) к горизонтальной плоскости проекций; б) к фронтальной плоскости проекций? 14. Можно ли показать на чертеже поворот отрезка прямой вокруг оси, перпендикулярной горизонтальной или фронтальной плоскости проекций, не изображая самой оси? На чем основан такой прием? 15. Как располагают плоскость вращения точки, если ее ось вращения параллельна горизонтальной или фронтальной плоскости проекций, а не перпендикулярна к ней? Почему при этом приходится определять натуральную величину радиуса вращения? 16.
Что такое способ совмещения? Глава хиестая ИЗОБРАЖЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ 6.1. Применение многогранников в технике Применение многогранников весьма широкое (рис. 6.1). Использование оптических свойств стеклянной трехгранной призмы для изменения направления хода луча света показано на рисунке 6.1,а. Трехгранная призма — клин (рис. 6.1,б) ис- Рис. 6.1 м) 72 пользована для увеличения приложенного усилия при одновременном изменении его направления.
Четырехгранная призма на конце цилиндрического вала (рис. 6.1,в) служит для передачи крутящегося момента на вал. На рисунке 6.1, г и д показаны волноводы для передачи электромагнитной энергии сверхвысоких частот (сантиметровый диапазон). Модульный принцип конструирования блоков радиоэлектронной аппаратуры иллюстрируется на рисунке 6.1, г. Минимальный призматический прямоугольный блок-модуль показан в правом верхнем углу (см. рис. 6.1, г).
Остальные отсеки стойки аппаратуры выбирают кратными высоте и ширине модуля. Сотовую конструкцию из шестигранных призм (рис. 6.1, ж) применяют в качестве сеток, управляющих электронными потоками в электровакуумных приборах. Такие сетки имеют большую прозрачность (в связи с тонкими перемычками) при хорошей механической прочности и высокой теплопроводности. На рисунке 6.1, з показано применение призматических поверхностей в качестве направляющей прямолинейного движения с одной степенью свободы. Такие направляющие широко используются в различных видах технологического оборудования, особенно в металлорежущих станках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
