ЛА(л) 2 семестр - (до ФНП) (971014)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекции по линейной алгебре.

2 семестр.

Лекция №1:

№1.Переход к новому базису линейного пространства:

Пусть имеется два базиса

(e1,e2,…,en) B

(e’1,e’2,…,e’n) B’

пусть координаты произвольного вектора в старом базисе (В) X= , в новом (В') X’=

=x1e1+x2e2+…+xnen=BX

=x’1e’1+x’2e’2+…+x’ne’n=B’X’ BX=B’X’

Опр.1:Матрицей перехода от базиса В к базису В' наз. матрица TB B', столбцами которой являются координаты новых базисных векторов в старом базисе, т. е.

e’1=t11e1+t21e2+…+tn1en

…………………….

e’n=t1ne1+t2ne2+…+tnnen

TB B'=

эта матрица не вырожденная - определитель не равен нулю, т. е. векторы нового базиса линейно независимы.

Т1: X=TX'

BX=B'X' BX=(BT)X'=B(TX') X=TX'

B'=BT

(e’1,e’2,…,e’n)= (e1,e2,…,en)

№2:Евклидово пространство:

Опр.2:Евклидовым пространством наз. подпространство линейного пространства, для которого выполнены требования:

-имеется правило, по которому двум произвольным векторам Евклидово пространства ставится в соответствие число, которое наз. скалярным произведением и обозначается:

для любого x,y прин. En (x,y)

-это правило удовлетворяет четырём аксиомам:

1: (x,y)=(y,x)

2: (x1+x2,y)=(x1,y)+(x2,y)

3: ( x,y)= (x,y)
4: (x,x) 0 и (x,x)=0 x=0

Пример: рассмотрим линейное пространство функций, непрерывных на [a;b] (C[a,b])

Данное пространство является бесконечномерным.

Скалярное произведение на этом пространстве определяется как

для любого f(x),g(x) сущ. C[a,b]

(f(x),g(x))=

Норма вектора: II f(x)II= =

Т2: (Неравенство Коши – Бунековского ) скалярное произведение двух векторов En всегда ,чем произведение норм этих векторов.

для любого x,y прин.En (x,y) IIxII IIyII

для любого прин. R

(x+ y, x+ y)= +2 (x,y)+

D= =

I(x,y)I IIxII IIyII (x,y) IIxII IIyII

Следствие1:

-1 1

Отсюда корректно вводить понятие угла между векторами:

Cos(x^,y)=

Лекция №2:

№1:Норма вектора. Ортогональность.

Следствие1из теоремы Коши – Бунековского (неравенство треугольника):

IIxII+IIyII IIx+yII

IIx+yII= =

IIxII+IIyII

Т1:(Линейная независимость ортогональной системы векторов): Пусть e1,e2,…,en - ортогональная система ненулевых векторов, тогда e1,e2,…,en - линейно

независима.

Пусть e1,e2,…,en линейно зависимы, тогда хотя бы один из них будет выражаться в виде линейной комбинации остальных:

например, e1= 2e2+…+ nen

2e2 e1=0 nen e1=0

получили противоречие.

Опр.1:Базис e1, e2 ,…, en наз. ортонормированным,

если все векторы базиса попарно ортогональны и

норма каждого вектора равна единице.

Ортогонализация системы векторов (процедура Шмидта):

пусть имеется система не ортогональных векторов

b1, b2 ,…, bn , на базе этих векторов построим

систему ортогональных векторов:

e1= b1

e2= b2-( b2 e1) e1/

e3= b3 -( b3e1) e1/ -( b3 e2) e2/

en= bn -( bn e1) e1/ -( bn e2) e2/ -…-( bn en-1) en-1/

Пример: ортогонализировать систему векторов

=(1,0,0)

=(1,1,0)

=(1,1,1)

Решение:

e1=(1,0,0)

e2=(1,1,0)-1*(1,0,0)/1=(0,1,0)

e3=(1,1,1)-1*(1,0,0)/1-1*(0,1,0)/1=(0,0,1)

e1 e3=0

e2 e3=0

e2 e1=0

№2 Линейные операторы:

Опр.1:Оператор, действующий на линейном пространстве Ln, наз. линейным, если:

(1): для любого x,y прин. Ln a(x+y)= ax+ ay

(2): прин. R a ( x)= a(x) , где a- оператор.

Замечание: Оператор есть отображение линейного пространства Ln Lm (с помощью a ),

при котором для любого x прин. Ln y= ax прин. Lm

Примеры лин. операторов:

(1) Оператор дифференцирования

(2) Оператор проектирования геометрических

векторов на плоскость.

Матрица оператора:

Пусть в пространстве Ln задан базис e1, e2 ,…, en,

в пространстве Lm _ g1, g2 ,…, gm и есть лин. оператор,

который преображает Ln в Lm. (с помощью a)

Опр. 2:Матрицей оператора наз. матрица,

столбцами, которой являются координаты образов базисных векторов e1, e2 ,…, en в базисе g1, g2,…, gm.

Образы лежат в Lm.

Образ базисного вектора:

a e1=a11 g1+ a21 g2+…+am1 gm

…………………………..

a en=a1n g1+ a2n g2+…+amn gm

A=

Т. 2. Пусть - произвольный вектор Ln,

a - лин. оператор, действующий из Ln в Lm

с матрицей A, тогда образ вектора (y= ax)

имеет координаты, которые вычисляются по

формуле

=

a e1=a11 g1+ a21 g2+…+am1 gm

…………………………..

aen=a1n g1+ a2n g2+…+amn gm

A=

y-образ

y= ax = a(x1e1+…+xnen)= = =

=(a11x1+…+a1nxn)g1 +…+(am1x1+…+amnxn)gm

y1=(a11x1+…+a1nxn)

…………………

yn=(am1x1+…+amnxn)

=

Лекция №3.

№ 1. Действия над линейными операторами:

пусть даны два лин. оператора a и b,

с матрицами соответственно A ; B.

Опр. 1. Суммой операторов наз. оператор a+b ,

такой , что действие которого на произвольный

вектор дает ax+bx:

a+b (a+b)x=ax+bx

Опр. 2: Оператором наз. оператор , действие которого на вектор равносильно произведению на образ ax.

*x (ax)

опр. 3: Композицией операторов a,b,c наз. оператор, действие которого равносильно воздействию a(b(cx)).

abc a(b(cx)).

В определениях 1-3 матрицы операторов удовлетворяет равенство :

1. a+b A+B

2. A

3. abc ABC - матрицы должны быть

(удовлетворять усл. пр-я матриц).

Т. 1 :Операторы в опр. 1-3 также явл. линейными.

a+b- линейный оператор.

(a+b)(x+y)=a(x+y)+b(x+y)=ax+ay+bx+by=

=(a+b)x+(a+b)y

Аналогично в Опр. 2 и Опр. 3.

Пусть в базисе e1, e2 ,…, en матрица оператора a

имеет вид A.

т.к. базисов в пр-ве Ln бесконечно много, то возникает задача об изменении матрицы оператора при переходе к новому базису.

Т. 2 : Пусть в базисе B: e1, e2 ,…, en a имеет матрицу A , а в базисе B’: e’1,e’2,…,e’n a имеет матрицу A’ , тогда связь между матрицами

A’= B-B’ AT B-B’

Y’= Y= AX= ATX’

Y’=A’X’

A’= AT

Следствие : detA’=det detAdetT=(1/detT)*detAdetT=detA

Определитель матрицы не меняется при переходе к новому базису.

№ 2. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора:

Опр. 4:Подпространство линейного пространства наз. инвариантным для лин. оператора a , если для любых

x прин. L’n образ опять лежит в этом подпространстве.

L’n включает Ln x прин. L’n ax прин. L’n

Пример: пусть - оператор поворота вектора вокруг заданной оси на заданный угол, тогда множество всех векторов , параллельных этой оси явл. инвариантом для оператора поворота.

Рассмотрим одномерное инвариантное для оператора а , наз. подпространством собственных векторов лин. пространства, пространство.

Опр.5:Ненулевой вектор линейного пространства наз. собственным вектором линейного оператора, если действие на него оператора переводит этот вектор в коллинеарный.

x прин. Ln ,x< >0

ax= x , прин. R

При этом число наз. собственным числом линейного оператора.

Нахождение собственных чисел и собственных векторов линейного оператора.

AX= X AX- EX=0

(A- E)X=0 (2)

т.к. x< >0, то |A- E|=0 (1)

|a11- a12…….a1n |

|……..a22- …a2n | =0

|an1…………ann- |

В Ln имеем уравнение n-ой степени , относительно (наз. характеристическим уравнением).

Для нахождения собственных векторов найденные подставить в выражение (2).

Лекция №4.

№1:нахождение собственных чисел и собственных векторов.

Пример: Найти собственные числа и векторы:

a A=

Решение:

|A- E|=0

|2- 2 -1 |

|-1 -3- 0 | =0

| 2 4 -1- |

1=-2

2=-1

3=1

Первое собственное число 1 =-2, найдем собственный вектор:

AX’- 1EX’=0

(A- 1E)X’=0-однородная система.

=0

r=2

x3=c

x2=-c/2

x1=c/2

Проверка: =-2*

Аналогичным образом находим собственные векторы, отвечающие 2 и 3.

Для 2

Для 3

Данные собственные векторы линейно независимы, образуют базис трёхмерного пространства L3 . В этом базисе матрица имеет вид:

A’= =

№2:Сопряжённые операторы.

Рассмотрим подпространство линейного пространства. Евклидово пространство – это подпространство , на котором определена операция скалярного произведения векторов , подчиняющаяся четырём аксиомам(см. 1 семестр).

Опр.1: Оператор a* наз. сопряжённым оператору a,если для любых векторов , лин . пространства имеет место равенство:

(a , )=( ,a* ) (1)

Т1: Если a и a* сопряжённые операторы , то A*=

Имеем (1). a AX Y= Y

a* A*Y A*Y

Y- A*Y=0

( -A*)Y=0

Поскольку и произвольные векторы (не обязательно нулевые) ,то

-A*=0

=A*

Опр.2: Оператор a наз. самосопряженным , если имеет место равенство:

Для любого x,y прин. En (ax,y)=(x,ay)

Свойства самосопряженного оператора:

(1): Все собственные числа оператора обязательно действительны.

(2): Собственные векторы ,отвечающие различным собственным значениям самосопряженного оператора ортогональны.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций