Бархатова. Поверхности второго порядка. (970898), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

При построении поверхности методом сеченийсначала выбирают секущие плоскости, проходящие через точкуМ0(х, у, z) параллельно плоскостям координат (уравнения плос­костей x=xQ, y=y0, z=zQ).З а м е ч а н и е . Общее исследование уравнений(2) и (4) в данных ме­тодических указаниях не приводится.Пример 9. Привести уравнение поверхностиx2+y2-z2-4^+8=0 к каноническому виду.

Построить поверхность методомсечений.Решение. 1. Приводим уравнение поверхности к каноническомувиду. Для этого группируем члены с одинаковыми переменнымих2Цу2-4y)-z2—+^у~2)-—=-1.444Это поверхность вращения с центром, смещенным в точку М(0, 2, 0).+8=0,х2Цу-2)2-z2=-4,2.

Записываем уравнения секущих плоскостей и кривых всечениях:*=0,(у-2)2z2у 22 '—1,2|z=0,2fz=±A, (Л>2),2^ - j = - b \х Чу-2) =-49\JC2+(^-2)2=A2-4(гипербола, гипербола, мнимая окружность, окружность).Пусть h = 3:z = ±3,jc2+(.y-2)2=5.223. Название поверхности - двуполостный гиперболоид вращения.4. Строим поверхность. Для этого строим каждую кривую всоответствующем сечении (рис. 6).Рис.6Пример 10. Построить поверхность, заданную уравнениемz = 3 + yJ4 +y2-4x2.Решение: 1.

Преобразуем исходное уравнение: z-3= =yj4+y2 -4x2;)z>3,fz>3,[(z-3) 2 =(4+у2 -4х2),[4х2 -у2 +(z-3) 2 =4,'*>3,4423Это уравнение задает часть поверхности второго порядка, оп­ределенную для z>3. Центр поверхности смещен в точкуМ0(0, О, 3).2. Записываем уравнения секущих плоскостей и кривых всечениях:х = 0,У2У = 0,(*-3) 2I 44= 1,,4^)1 = ,,^ = ±й,'г=3,4л2 ,+- < ^ « 1ЛУ ,.— + 1 4(—+ ])44'(гипербола, эллипс, гипербола, эллипс). Пусть А = 4:|> = ±4,5203. Название поверхности - однополостный гиперболоид.4. Строим поверхность.

Для этого строим каждую кривую всоответствующем сечении для z > 3 (рис. 7).ТЕЛА, ОГРАНИЧЕННЫЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИМИСЯПОВЕРХНОСТЯМИ ВТОРОГО ПОРЯДКАПроектирующий цилиндр. Проекция линии пересеченияповерхностей на координатные плоскостиЛинию пересечения двух поверхностей в пространстве опреде­ляет система уравнений (3). Пусть уравнение, полученное из сис­темы (3) исключением переменной z, имеет видФ,(*, У) = 0.24(5)Рис.Тогда, если координаты х, у,нениям системы(3),7zудовлетворяют обоим урав­то координаты х и у удовлетворяют урав­нению(5); если две координаты х и у удовлетворяют уравне­(5), то найдется такое значение третьей координаты z, прикотором три координаты х, у, z удовлетворяют обоим уравне­ниям (3).Уравнение (5) определяет цилиндрическую поверхность с об­разующими, параллельными оси Oz. Каждая точка линии пересе­ниючения поверхностей лежит на этой цилиндрической поверхности, акаждая образующая последней проходит через какую-нибудь точ­ку линии.

Поверхность, определяемую уравнением(5)и состоя­щую из прямых, проектирующих точки линии на плоскость Оху,называют цилиндрической поверхностью, проектирующей линиюпересечения двух поверхностей на плоскость, или проектирующимцилиндром. Уравнения цилиндров Ф2(Х'проектирующих точки линии на плоскостииз системы(3)z) = О и Фз(у, z) =О,OxzиOyz,получаютисключением переменных у и х соответственно.25Проекция линии пересечения двух поверхностей на коорди­натную плоскость есть линия пересечения проектирующего ци­линдра и координатной плоскости. Уравнения проекции линиипересечения двух поверхностей на координатные плоскостиОху, Oxz и Oyz имеют видГ Ф,(*,.у) = 0,U = 0,Гф2(дс,г) = О,\y = Q,ГФ3(**),\х = 0.Чтобы получить уравнение проекции линии пересечения двухповерхностей (3) на заданную координатную плоскость, надо изсистемы (3) исключить третью переменную.Пример 11.

Написать уравнения линии пересечения поверхно­стей х + у2 -2z = 0 и х2 + у2 = 2 - z и ее проекции на плоскостьОху.Решение. Приводим уравнения поверхностей к каноническомувиду: х2 + у2 + (z -1) 2 = 1, х2 + у2 = -(z - 2). Это - уравнение сфе­ры с центром в точке Mj(0, 0, 1) и параболоида с вершиной вточке М2(0, 0, 2). Линия пересечения поверхностей может бытьзадана системой двух уравнений поверхностей:\x2+y2+z2-2z2= 0,2[x +y =2-z.Чтобы получить уравнение проектирующего цилиндра, из этойсистемы следует исключить z. Сначала удобнее исключить суммух +у (вычитая из первого уравнения второе) и определить, вкакой плоскости z = const расположена линия пересечения по­верхностей: z 2 - 2 z = -2 + z; z 2 - 3 z + 2 = 0. Получаем z, =2,z2 = 1.

Точка, в которой z = 2, является вершиной параболоида.Поэтому линия пересечения поверхностей расположена в плоско­сти z = l. Уравнение проектирующего цилиндра получим, под­ставляя z-\ в любое из уравнений заданных поверхностей:х2 + у2 =\. Заметим, что уравнение линии пересечения заданных26поверхностей теперь можем записать по-другому - в виде системыуравнений поверхностей проектирующего цилиндра и плоскости:х2+у2=1z = \.Уравнение проекции линии пересечения заданных поверхно­стей на плоскость Оху запишется в виде уравнения линии пересе­чения проектирующего цилиндра и плоскости координат:В результате получено уравнение окружности с центром в на­чале координат, радиус равен единице.Построение тела,ограниченного пересекающимися поверхностямиПоследовательность построения:1) привести каждое уравнение поверхности к каноническомувиду;2) построить на одном рисунке каждую поверхность методомсечений.

В каждой секущей плоскости фиксировать точки пересе­чения кривых в сечениях. Эти точки принадлежат линии пересече­ния поверхностей;3) построить схематично линию пересечения поверхностей,плавно соединяя зафиксированные точки. Для уточнения положе­ния линии можно использовать большее количество сечений ипроекции линии на плоскости координат.

(Методы точного по­строения линий пересечения поверхностей рассматривает начерта­тельная геометрия);4) выделить те части поверхностей, которые ограничивают за­данное тело.Пример 12. Построить тело, ограниченное поверхностямих2 +у2 -z2 =0 и х2 + у2 - 2х = 0. Написать уравнения линии пересе­чения поверхностей и ее проекции на плоскость Oxz.

Построить про­екцию линии пересечения заданных поверхностей на плоскость Oxz.27Решение. 1. УравнениеА2первой поверхности запи­А/W1¥\лхАсано в каноническом виде.\Это круговой конус с цен­|тром в начале координат,Oz - ось симметрии. При­\ 1Ат|Ш4Т\х\iiЛ--1Г"[**второеповерхностикуравнениеканониче­скому виду: (JC - 1 ) 2 + у1 -1.Это - прямой круговой ци­линдр; образующая парал­}лельна оси Oz; направляю­щая - окружность в плоско­сти Оху с центром в точкег 1'<,водимМ(1,0), радиус равен еди­1\1 /^нице.2. Строим конус методомсечений. Сначала строим ци­линдр, находим уравнения егообразующих в плоскостим2у = 0: * 2 - 2 х = 0, х = 0 их = 2 .

Фиксируем общие точ­Рис.8ки поверхностей в плоскостиу = 0. Их три: 0(0,0,0), М, (2,0,2), М2(2,0,-2). Обе поверхностиограничиваем плоскостями z = ±2 (при х = 2, z = 2).3. Для уточнения положения линии пересечения поверхностейфиксируем дополнительно общие точки в плоскости z = ±1. Стро­им линию пересечения поверхностей, соединяя все полученныеточки плавной линией (рис.

8). Выделяем на рисунке видимыеконтуры тела.4. Уравнения линии пересечения поверхностей можно задатьсистемой уравнений:28z2=0,[х2+У2[х1+у2-2х = 0.5. Уравнение цилиндра, проектирующеголинию пересечения на плоскость Oxz, полу­чаем, исключая из этой системы у (вычитаемИиз первого уравнения второе): z2 = 2х.6. Уравнение проекции линии пересеченияна плоскость Oxz: \' Это часть парабо-Рис.9U = o.лы, заключенная между прямыми х = О и х = 2 (рис. 9).Замечание.

Для уточнения положения линии пересечения задан­ных поверхностей удобно использовать сечение х = 1.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ1. Написать уравнение поверхности, полученной при вращениизаданной кривой вокруг заданной оси. Сделать рисунок поверхности.О\9х2-у2=0,2) <*=0,вокруг оси Оу\ 3)' вокруг оси Oz\*2-9у2+9=:0,вокруг оси Ох;z=0,4) <вокруг оси Oz.1* = 0,2. Построить цилиндрическую поверхность по заданномууравнению:1)9*2=яз->02;5) х2-у2+\= 0;2226)4>>+z4z = 0;2) x =2z;2 227) х -у - 4 х + 5 = 0;3) х +4у = 0;28) J t 2 - 2 x - z 2 + 2 = 0;4) 2у +х = 0;9)(х2 +z2)(x2 + z2 -2ax)-a2z2 = 0 .Замечание.

В примере 9 для построения направляющей целесо­образно перейти к полярной системе координат.293. Привести уравнение к каноническому виду. Построить по­верхность методом сечений.1) 144л:2 + 9у2 +z2 -144 = 0;1 2 ) * 2 + z 2 - > > - 4 z + 3 = 0;2)25JC2+4/+Z2=100;1 3 ) . y 2 - 6 ; c 2 - 9 z = 0;3 ) 3 6 x 2 - 4 . y 2 + 9 z 2 - 3 6 = 0;14)/-z2=*;4)25x2+4y2-z2=\00;1 5 ) Z 2 - 4 * 2 + 8 J C = 4;5)25x2-y2+4z2+№6)\6x2+4y2-2y1 6 ) z 2 - 5 z + 6 = 0;= 0;17) 2x2+y2+ \ = 0',- 2 ^ + 1 = 0;l)\6x2-y2+z2=0;1 8 ) x 2 + 2 / + z 2 - 1 0 ; t + 25 = 0;S)x2-25y2-4z2=0;19) 2 J C 2 + / + 3 Z 2 + 4 ^ - 4 ^ + 7 = 0;9)x2-\6y2-4z2+32y-\6\Q)4y2+z2-4x= 0; 20)y2-4y2 1 ) * 2 + z 2 - 2 ; c + 6z + l l = 0.= 0;\\)4x2+y2+4z-4+ 4 = 0;= 0;4.

Заданы уравнения двух поверхностей. Построить тело, огра­ниченное поверхностями, и линию пересечения поверхностей. На­писать уравнения линии пересечения поверхностей и уравнение еепроекции на заданную плоскость.x2 + z2=y2,x2+y2+z2-4y22)x= 0;+y2+z2=49x2+y2-2y23)x= 0;+y2=2z,> > 2 + 2 z - 8 = 0.УСЛОВИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТАЗадача 1. Написать уравнение поверхности, полученной вра­щением заданной кривой вокруг заданной оси (табл. 3).

Сделатьрисунок поверхности.Задача 2. Построить цилиндрическую поверхность по задан­ному уравнению (табл. 4).3032Уравнение поверхностиНомервариантаНомер 'вариантаТаблица 4Уравнение поверхности1\х2+у2)г=у2-х216(x2+y2-2yf=4(x2+y2)2(x2+y2-3xf=9(x2+y2)17(x2+y2f=\6(x2-y2)3{х2+у2)2=А(х2-у2)18(х2+у2-х)4(х2+у2+у)2=х2+у2195(х2+у2)(х2+у2-4х)-4у2=020(x2+z2)2=4(x2-z2)6(x2+z2)3=*x2z221(x2+f)3=4x2y27(y2+z2f=y2-z222(x2+y2-xf=4(x2+y2)8(х2+у2)2=9(у2-х2)23(y2+z2-2y)2=4(y2+z2)9(х2+у2+х)2=х2+у224(y2+z2)2=25(y2-z2)10(х2+у2)2=9(х2-у2)25(x2+z2)2=9(z2-x2)11(х2+у2)3=\6х2у226(x2+y2f=25(x2-y2)22* 3 +д/ 3 =4 322212(х2+у2~х\13(x2+y2-2xf=x2+y228(x2+y2f=25x2y214(х2+у2)3=36х2у229(x2+y2-4xf=25(x2+y2)15=х2+у22=(х2+у2\(х2+у2)(х2+у2-2х)=у22730* 3 +.y 3 =9 3(x2+y2f=x2-y2Задача З. Привести каждое уравнение поверхности к кано­ническому виду и построить поверхность методом сечений(табл.

5).Задача 4. Заданы уравнения двух поверхностей. Построитьобе поверхности и линию их пересечения. Написать уравнениялинии пересечения поверхностей и уравнение ее проекции назаданную плоскость (табл. 6). Построить проекцию линии пере­сечения заданных поверхностей на заданную плоскость.333536СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М: Нау­ка, 1988.232 с.2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.:Наука, 1972.272 с.3. Постников ММ. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1986.414с.4.

Характеристики

Список файлов книги