Бархатова. Поверхности второго порядка. (970898), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если образующие цилиндрической поверхностипараллельны одной из координатных осей, то уравнение такой поверхности не содержит переменную, соответствующую этой оси.Уравнения направляющей могутРис 2«быть заданы как уравнения линиипересечения двух поверхностейвида (3), расположенной в плоскости координат.Уравнение вида F(x,y)=0 определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz, и с направ„ fJW)=0, vIT/ ч nляющеи <Уравнение вида F(x,z)=0 определяет цилин[z=0.дрическую поверхность с образующими, параллельными оси Оу,„ jF(*,z)=0,и с направляющей <Уравнение вида F(y,z)=0 опреде|у=0.8ляет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельныF(y,z)=09ми оси Ох, и с направляющейх=0.Цилиндры второго порядка - это цилиндрические поверхности, направляющими которых являются кривые второго порядка, аобразующими являются прямые, перпендикулярные плоскостям, вкоторых расположены соответствующие кривые.
Если направляющая лежит в одной из координатных плоскостей, то образующая параллельна третьей координатной оси. Название цилиндравторого порядка определяется названием соответствующей направляющей.Основные типы цилиндров второго порядка и случаи их вырождения представлены в табл. 1.Таблица 1КаноничеНазвание искоеПоложениеуравненияНазваниеуравнение образуюнаправляю Поверхностиповерхнощейщейсти1\х2\агу2Ьгх2=2ру2ПараллельныосиOzПараллельныосиOzПараллельныосиOz3РисунокповерхностиЗамечания564«ЭллипсwVЭллиптическийцилиндр[z=hПараболаг\х =гРУ\z=hг*" Тч>1X±4}Приа=Ъкруговой цилиндри.9гГиперболаW ь2[z-hWГиперболическийцилиндрогг1£Параболическийцилиндрр>9Продолжение табл.
JНазвание иКаноническое ПоложениеуравненияНазваниеобразуюуравнениенаправ Поверхностищейповерхностиляющей123РисунокповерхностиЗамечания564Случаи вырожденияШ4~*М*х2у2х2-а2=0х2+а2=010МнимыйэллиптическийцилиндрДве мнимыепересекающиеся плоскостиДве пересекающиесяплоскостиДве параллельныеплоскостиДве мнимыепараллельныеплоскостиФ.ВР/tгПрямаяГх=0*Уу=±—х\а1'L .
V'•/Н,/ о\Лх=±аtОкончание табл. 1Название иКаноническое ПоложениеНазваниеуравненияобразуюуравнениенаправ Поверхностищейповерхностиляющей1х2=0234РисунокповерхностиЗамечания56Две совпадающиеплоскости^/Замечания.1. В табл. 1 уравнения записаны в каноническом виде на примерецилиндров с образующими, параллельными оси Oz.. Для поверхностей, смещенных относительно начала координат уравнение следуетпривести к каноническому виду, как это делают для кривых второгопорядка. Случай поворота осей координат в данном пособии не рассматривается (он будет рассмотрен при изучении темы «Квадратичные формы»).2.
Различных типов цилиндров второго порядка три (эллиптический,гиперболический и параболический), т.е. столько, сколько и кривых второго порядка. В каждом типе возможны различные сочетания знаков ипеременных.3. Для цилиндров с образующими, параллельными осям Ох и Оу,соответственно изменится состав переменных в уравнении и положениеповерхности относительно осей координат.Пример 5.
Определить тип поверхности, заданной уравнениемz2 -х2 =4, и построить ее.Решение. Заданное уравнение поверхности второго порядкане содержит одну компоненту, следовательно, это уравнениецилиндрической поверхности. Отсутствующая координата уозначает, что образующая цилиндра параллельна оси Оу. Направляющая может быть определена как линия пересечения[z2-x2=4поверхности заданного цилиндра и плоскости Oxz: <'[у=0.Кривая в сечении - гипербола, следовательно, заданная поверхность - гиперболический цилиндр.
Чтобы поверхность была ог11раничена, строим гиперболу в плоскости у=0 и в плоскостиy-h. Проводим образующие цилиндра параллельно оси Оу(рис. 3).Пример 6. Построить поверхность по ее уравнению у=х3.Решение. В уравнении поверхности третьего порядка не содержится координата z, значит это уравнение цилиндрическойповерхности с образующей, параллельной оси Oz. Кривая у=х2 вплоскости z=0 является направляющей. Строим направляющую вплоскости z=0 и z=h, проводим образующие параллельно осиOz (рис. 4).Рис.3Рис.4Пример 7.
Определить тип поверхности по ее уравнениюy2+z2-2y+2=Q.Решение. Уравнение не содержит координату х, что характеризует поверхность как цилиндрическую с образующей, параллельной оси Ох. Уравнение поверхности после выделенияполного квадрата принимает вид (,y-l) 2 +z 2 =-l. Это уравнениемнимого кругового цилиндра. В пространстве Oxyz нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяют этому уравнению.12ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКАДЛЯ СЛУЧАЯ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХПостроение методом сеченийИсследуемую поверхность пересекают плоскостями и анализируют уравнения полученных в сечениях кривых.
Для большей информативности сначала следует выбирать секущие плоскости,проходящие через центр поверхности (если он имеется). Удобноисследовать полученные в сечении кривые, если в качестве секущих плоскостей выбирать координатные плоскости (их уравнения*=0, у=09 z=0) и плоскости, им параллельные (их уравненияx=h9 y=h9 z=h). Тогда уравнения полученных в сечении кривыхимеют вид(x=h,iy=h,tz=h9[F(x9y9z)=09 [F(x9y9z)=09 [F(x9y9z)=Q.В каждой секущей плоскости строят соответствующую кривую.
Для уточнения формы поверхности или ограничения ееможно использовать большее количество сечений. Видимуючасть поверхности выделяют сплошной линией, а невидимую пунктирной.Канонические уравнения.Построение поверхностей методом сеченийКлассификация поверхностей второго порядка (кроме цилиндрических) приведена в табл.
2. Построение проведено методом сечений. Название поверхности (кроме конуса) определяют две кривые с одинаковым названием, полученные присеченииповерхностикоординатнымиплоскостямих=09 у=09 z=0): два эллипса - эллипсоид, две гиперболы - гиперболоид, две параболы - параболоид. Кривая в третьем сечении дополняет название (гипербола - гиперболический, эллипс - эллиптический, окружность - круговой, или поверхность вращения).13Гиперболоидвращения приа=ЬПрод олжениеV©- с >*Ч>rv»«г»о" оII ИК/ \\1*»=Го||?SV~"—Г\о\1 М*NТJxL-^^^\JТочка0(0,0,0iTfr17>ч|-*>'6с|NI Nч-СПtIINолNN4с;ОО.CNтгуУII1U-s: |*2оюО.1"NКс1S|•о5 * ' T*-о-кЖ.IIIN-s: | ож: ^1)У3с;ёДвепро°§rsbNIINN.8'*О.оQтI NNёI N1К|0SUNк1IIМIINNi0>У1 v8-о.i-«uIINI NNINN-«1 QNО,сяN3NIININОIINN |О1<NNcuI N=\V-С|^ ".1* "^УINДвепрNостный гиперболоид: а+I NОСКил•=5"|N7^-о|Приведем случаи вырождения поверхностей:1) мнимый эллипсоидх2 у2а оz2с,2) мнимый конус (точка О (0, 0, 0)):х2 У2 г2 па о сПример 8.
Методом сечений построить поверхность, заданнуюуравнением х-Ъу2 -2z2 =0.Решение. 1. Приводим уравнение поверхности к каноническому виду (в левой части уравнения расположены члены, содержащие переменные во второй степени, все остальные члены уравнения находятся в правой части; коэффициенты в числителе при переменных во второй степени равны единице):Zy2+2z2=xLI16 42. Записываем уравнения секущих плоскостей и уравнениякривых в сечениях:х=0,4x2+z2=0,У=0,2z=0,21z =—*,2У1=**'х=И,hI8h2(в сечениях получены: точка 0(0,0,0), парабола, парабола, эллипс).Выберем h-2\х=294y2+z2=\.203) Название поверхности - эллиптический параболоид.4) Строим поверхность.
Для этого строим каждую кривую всоответствующем сечении (рис. 5).Рис.5Уравнения смещенных поверхностей второго порядкаЕслипостроенаповерхность,заданнаяуравнениемF(x9y9z)=09 то для построения поверхности, заданной уравнениемF(x-x0, у-у0, z-z 0 )=0, достаточно исходную поверхность переместить (без поворота) в пространстве Oxyz так, чтобы точка,совпадающая с началом координат, переместилась в точкуM0(x0i yQi z0). При параллельном переносе осей координат, когданачало координат перемещается в точку M0(x0i y0, z0), новые координаты каждой точки Мх (*,, у] , z,) связаны со старыми координатами точки М(х, у, z) соотношениями х}=х-х0, У\=у-Уо,21Поверхности второго порядка (а также случаи вырождения) спараллельным переносом осей координат описывают уравнением(2), исключив из него члены с произведением координат(я, 2 =0, я 13 =0, я 23 =0):апх +аг1у+а332 +2а\Х+2а2у+2а3г+а0=0.(4)Уравнение (4) приводят к каноническому виду выделениемполных квадратов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
