Введение в мат анализ в вопросах и задачах. Учебное пособие Анчиков А.М (968720), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Íàéòè z 6 , åñëè 3z − z = −4 + 8i;26. Ðåøèòü óðàâíåíèÿ:[ a)√2(±12[ 512 i ]a) z 4 + 1 = 0, b) z 2 = z 3 .± i); b) 0, cos 2πk/5 + i sin 2πk/5; k = 0, 1, 2, 3, 4. ]27. Ðåøèòü óðàâíåíèÿ:a) z 2 − 4iz + 6(2 − 5i) = 0;[ z1 = 3 + 7i; z2 = −3 − 3i ].b) z 2 − (5 + 2i)z + 9 + 7i = 0;c) |z| z + az + i = 0, a ≥ 0;[ z1 = 2 + 3i; z2 = 3 − i ].√[ z = 21 (a − a2 + 4)i ].d) z 2 − 5z + 7 − i = 0;[ z1 = 3 + i; z2 = 2 − i ].e) z 2 − (4 + i)z + 10 + 2i = 0;[ z1 = 2 + 3i; z2 = 2 − 2i ].f ) (z +1)4 = (z −1)4 ;[ z1 = − 21 + 2i ; z2 = 0; z3 = −1+i ].g) |z| + z = 2 + i;[34+ i ].2928.
Âû÷èñëèòü:a) 1 + z + z 2 + ... + z 19 , åñëè z =b) sin x + a sin 2x + ... + an−1 sin nx;1+i√ ;2h[ 1 + (1 +√2) i ].an+1 sin nx+an sin(n+1)x−sin xa2 −2a cos x+1c) Cn1 sin x + Cn2 sin 2x + ... + Cnn sin nx;100P k √ kd)C100 ( 3i) ;i.[ 2n · cosn x2 · sin nx].2√[ −299 · (1 + i 3) ].k=029.
Âîçâåñòè â ñòåïåíü:+i sin nϕ) ].[ 2n cosn ϕ2 (cos nϕ22a) (1+cos ϕ+i sin ϕ)n ;b) (1 − cos ϕ + i sin ϕ)n ; [ 2n sinn ϕ2 (cos n( π2 − ϕ2 ) + i sin n( π2 − ϕ2 ) ].30. Ïðåäñòàâèòü â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå:a) z = e2−i ; b) z = e−3πi/2+12πi c) z = ii .[ a) e2 (cos 1 − i sin 1);b) i; c) e−(π/2+2πk) ,k = 0, ±1, ±2, ... ].31.
Ïðåäñòàâèòü â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå êîìïëåêñíûå ÷èñëà:√a) z = − 12 − 2i; b) z = − cos π/7 + i sin π/7.[ a) 4e7πi/6 ;b) e6πi/7 ].√32. Çàïèñàòü â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå âñå çíà÷åíèÿ n z :√a) z = 1, n = 3; b) z = −1, n = 5; c) z = −4 + 48i, n = 3;√d) z = −1 − 3i, n = 4.[ a) e2πki/3 , k = 0, 1, 2; b) eπ(2k+1)i/5 , k = 0, 4; c) 2e2(3k+1)πi/9 ,√k = 0, 1, 2; d) 4 2eπ(3k+2)i/6 , k = 0, 3 ].33. Âû÷èñëèòü ëîãàðèôìû ñëåäóþùèõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:30a) − 10; b) − 1;c)1±i√ ; d) − 2 + 3i.2[ a) ln 10 + (2k + 1)π i; b) (2k + 1)π i; c) (2k ± 14 )π i,d)12³´ln 13 + (2k + 1)π − arctg 32 i].34.
Íàéòè íàèìåíüøåå ïî ìîäóëþ êîìïëåêñíîå ÷èñëî z,√óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ | z − 2 + 2i | = 1; [ (2 − 22 )(1 − i) ].35. Ïðè êàêèõ âåùåñòâåííûõ¯ a ëþáîåêîìïëåêñíîå ÷èñëî√ ¯¯¯z, óäîâëåòâîðÿþùåå ðàâåíñòâó ¯z − i 2¯ = (a + 1)2 , óäîâëåòâî¯√√ ¯¯¯ðÿåò îäíîâðåìåííî íåðàâåíñòâó ¯z − 2¯ > a2 − 4a. [ a > 1−2 3 ].36.  êðóã ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå a âïèñàí ïðàâèëüíûé n − óãîëüíèê, îäíà èç âåðøèí êîòîðîãî - â òî÷êåz0 = a + r.
Íàéòè îñòàëüíûå âåðøèíû.[ zk = a + re2πki/n , k = 1, n − 1 ].37. Âûðàçèòü ÷åðåç cos ϕ è sin ϕ :a) cos 3ϕ; b) sin 3ϕ; c) cos 4ϕ; d) sin 4ϕ.[ a) cos3 ϕ−3 cos ϕ·sin2 ϕ; b) 3 cos2 ϕ·sin ϕ−sin3 ϕ; c) sin4 ϕ−6 sin2 ϕ · cos2 ϕ + cos4 ϕ; d) sin3 ϕ · cos ϕ − sin ϕ · cos3 ϕ ].38.
Äîêàçàòü, ÷òî åñëè z + 1/z = 2 cos θ, òî z m + 1/z m == 2 cos mθ.39. Îïðåäåëèòü êðèâûå è íà÷åðòèòü èõ: a) |z| = 1 − Rez;b) z = z0 + αeit , 0 ≤ t ≤ 2π; c) z = ateit , 0 ≤ t < ∞;d) z = t2 + i/t2 , 0 < t < ∞.[ a) ïàðàáîëà; b) îêðóæíîñòü; c) ñïèðàëü Àðõèìåäà; d) îäíàâåòâü ãèïåðáîëû ].3140. Íà÷åðòèòü ãåîìåòðè÷åñêèå ìåñòà òî÷åê:a) r < |z − a| < R; b) Imz > 0, |z| > R; c) α < arg(z − a) < β.d) |z| < 1 − Rez.[ à) êðóãîâîå êîëüöî; b) âåðõíÿÿ ïîëóïëîñêîñòü áåç ïîëóêðóãà;c) áåñêîíå÷íûé ñåêòîð ñ âåðøèíîé â òî÷êå a; d) âíóòðåííîñòüïàðàáîëû ].41. Âûÿñíèòü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë óêàçàííûõ ñîîòíîøåíèé: a) |z − z1 | = |z − z2 | ; b) |z| = Rez + 1; c) |2z| >|1 + z 2 | ; d) |z| < arg z, åñëè 0 ≤ arg z¯ < 2π;e) Rez 2 =¯¯ a−z ¯¯ < 1, Re a > 0.c, −∞ < c < +∞; f ) Rez + Imz < 1; g) ¯ a−z[ a) ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ê îòðåçêó, ñîåäèíÿþùåìó òî÷êèz1 è z2 , è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ñåðåäèíó ýòîãî îòðåçêà; b) ïàðà√áîëà y 2 = 2x + 1; c) âíóòðåííîñòü îêðóæíîñòåé |z − i| = 2√è |z + i| = 2, çà èñêëþ÷åíèåì èõ îáùåé ÷àñòè; d) âíóòðåííîñòü îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé îòðåçêîì äåéñòâèòåëüíîé îñè0 ≤ x ≤ 2π è îäíèì âèòêîì ñïèðàëè Àðõèìåäà r = ϕ; e)ñåìåéñòâî ãèïåðáîë x2 − y 2 = c; f ) ïîëóïëîñêîñòü, îãðàíè÷åííàÿ ïðÿìîé x + y = 1 è ñîäåðæàùàÿ íà÷àëî êîîðäèíàò; g)ïîëóïëîñêîñòü ñëåâà îò ìíèìîé îñè ].3.
×èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.3.1. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïðåäåëüíûå òî÷êè.À. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn + yn }, {xn − yn }, {xn · yn }, èxn{ /yn } íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ñóììîé, ðàçíîñòüþ, ïðîèçâåäåíèåì è ÷àñòíûì äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {xn } è {yn }(äëÿ ÷àñòíîãî yn 6= 0 ).322. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé, åñëè∃ M > 0 òàêîå, ÷òî ∀n : | xn | ≤ M.3. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } íàçûâàåòñÿ íåîãðàíè÷åííîé,åñëè ∀ M > 0 ∃ n : | xn | > M.4.
×èñëî a íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn },åñëè äëÿ ∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N òàêîå, ÷òî ∀ n > nε : |xn − a| < ε.Ïðè ýòîì ïèøóò lim xn = a.n→∞5. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, èìåþùàÿ ïðåäåë, íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ , à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, íå èìåþùàÿ ïðåäåëà - ðàñõîäÿùåéñÿ .Ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò òîëüêî îäèí ïðåäåë.6.×èñëî a íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ( èëè ÷àñòè÷íûì ïðåäåëîì ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, åñëè â ëþáîé ε−îêðåñòíîñòè òî÷êè a ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }.7.
Íàèáîëüøàÿ ( íàèìåíüøàÿ ) ïðåäåëüíàÿ òî÷êà {xn },îãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó (ñíèçó), íàçûâàåòñÿ âåðõíèì (íèæíèì) ïðåäåëîì ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì lim xnn→∞( lim xn ).n→∞Î÷åâèäíî, ÷òî áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåìîæåò èìåòü êîíå÷íîé ïðåäåëüíîé òî÷êè.  ýòîì ñëó÷àå lim xnn→∞= +∞, (xn > M, ∀n > n0 ), ( lim xn = −∞) (xn < −M, M > 0,∀ n > n0 ).n→∞Á. Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ.1. Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèÿ: à) îãðàíè÷åííîé ñâåðõó, á)îãðàíè÷åííîé ñíèçó, â) íåîãðàíè÷åííîé, ã) îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Äàéòå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ýòèõ33îïðåäåëåíèé.2.
Äàéòå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.3. Ñêîëüêî ïðåäåëîâ èìååò ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü?4. Ìîæåò ëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìåòü áåñêîíå÷íî ìíîãî ïîëîæèòåëüíûõ (îòðèöàòåëüíûõ) ÷ëåíîâ, åñëè å¼ ïðåäåë: à) áîëüøå íóëÿ, á) ìåíüøå íóëÿ, â) ðàâåí íóëþ. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.5. Âñÿêàÿ ëè îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ?Ïðèâåäèòå ïðèìåð.6.
Ñëåäóåò ëè èç ñõîäèìîñòè a) {xn + yn }, á) {xn − yn },â) {xn · yn } ñõîäèìîñòü {xn } è {yn } ? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.7. Ïóñòü â ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a ëåæèò áåñêîíå÷íîìíîãî ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }. Ñëåäóåò ëè îòñþäà,÷òî: a) lim xn = a; á) {xn } − îãðàíè÷åíà?n→∞8.
Ïóñòü èìåþòñÿ äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè, â ëþáîé îêðåñòíîñòèêîòîðûõ ñîäåðæèòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }. Ñõîäèòñÿ ëè ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü?9. Ñëåäóåò ëè èç ðàñõîäèìîñòè {xn } è {yn } ðàñõîäèìîñòüa) {xn + yn }, á) {xn − yn }, â) {xn · yn } ? Ïðèâåñòè ïðèìåðû.10. Íàðóøèòñÿ ëè ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, åñëè à)äîáàâèòü, á) óäàëèòü, â) èçìåíèòü ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì êîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ ?11. ×òî ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ?12.
Ñôîðìóëèðóéòå íà ÿçûêå ”ε − nε ” îïðåäåëåíèå òîãî,÷òî ÷èñëî a íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }è äàéòå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ýòîãî îïðåäåëåíèÿ.13. Âñÿêàÿ íåîãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñòðåìèòñÿ ê34áåñêîíå÷íîñòè. Âåðíî ëè ýòî? Ïðèâåñòè ïðèìåð.14. ßâëÿåòñÿ ëè ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè å¼ ïðåäåëüíîéòî÷êîé? Îòâåò îáîñíóéòå.15. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò åäèíñòâåííóþ ïðåäåëüíóþ òî÷êó, òî îíà ñõîäèòñÿ. Âåðíî ëè ýòî?16. Âñÿêàÿ ëè îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò åäèíñòâåííóþ ïðåäåëüíóþ òî÷êó? Îòâåò îáîñíóéòå ïðèìåðàìè.17. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè lim xn = a òî lim xn+1 = a.n→∞n→∞Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.Ïðèìåð 18. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }, ãäå xn = (−1)n ,îãðàíè÷åíà, òàê êàê âñå ÷ëåíû íå ìîãóò áûòü ìåíüøå -1 è áîëüøå 1.
Íî îíà íå èìååò ïðåäåëà, ò.å. íå ñõîäèòñÿ.Ïðèìåð 19. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñ îáùèì ÷ëåíîìnxn = n(−1) îãðàíè÷åíà ñíèçó, íå îãðàíè÷åíà ñâåðõó, ðàñõîäÿùàÿñÿ.Ðåøåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, ó óêàçàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè1, 2, 1/3, 4, 1/5, 6, 1/7 ... âñå ÷ëåíû ïîëîæèòåëüíû, ÷ëåíû ñíå÷åòíûìè èíäåêñàìè óáûâàþò ïðè óâåëè÷åíèè n, à ÷ëåíû ñ ÷åòíûìè èíäåêñàìè íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàþò, ò.å.
äëÿ∀ M > 0, x2n > M, åñëè n > M/2 . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{xn } îãðàíè÷åíà ñíèçó íóëåì, íåîãðàíè÷åíà ñâåðõó. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè íå èìååò ìåñòà. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòüðàñõîäèòñÿ.Ïðèìåð 20. Ïîêàçàòü, ÷òî lim n+1= 1.nn→∞Ðåøåíèå. Äëÿ ∀ ε > 0( n+1n− 1) = n1 < ε äëÿ ∀ n > nε =[ 1ε ]. Äëÿ ðàçëè÷íûõ ε ïîëó÷èì ðàçëè÷íûå íîìåðà nε ∈ N.Äëÿ ε = 0, 1; 0, 01; 0, 001; ... ñîîòâåòñòâåííî ïîëó÷èì nε =3510, 100, 1000, ... Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå ýëåìåíòûñ èíäåêñîì n = 11 è âûøå ïîïàäàþò â ε − îêðåñòíîñòü( ε = 0, 1 ) òî÷êè 1, âî âòîðîì ñëó÷àå âñå ýëåìåíòû, íà÷èíàÿ ñx101 − â ”0, 01” - îêðåñòíîñòü òî÷êè 1, â òðåòüåì ñëó÷àå âñåýëåìåíòû, íà÷èíàÿ ñ x1001 − â ”0, 001” - îêðåñòíîñòü òî÷êè 1è ò.ä.
 ýòîì ïðèìåðå ÷åòêî âèäíà çàâèñèìîñòü íîìåðà nε ∈ Nîò ïðîèçâîëüíî çàäàííîãî ε > 0.Ïðèìåð 21. Ïóñòü xn = sinn n . Äîêàçàòü, ÷òî n→∞lim sinn n = 0.Ðåøåíèå.  ñàìîì äåëå,[1/ε].¯¯¯ sin n¯¯ n − 0¯ ≤ n1 < ε ïðè n > nε =Ïðèìåð 22. Íà ÿçûêå ε − nε äîêàçàòü, ÷òî n→∞lim n!1 = 0.¯¯Ðåøåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, ¯¯ n!1 − 0¯¯ =1n!=11·2·3·...·n≤11·2·2·...·2=< ε.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
