Введение в мат анализ в вопросах и задачах. Учебное пособие Анчиков А.М (968720)
Текст из файла
ÊÀÇÀÍÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒÀ.Ì. Àí÷èêîâ, Ð.Ë. Âàëèóëëèí, Ð.À. ÄàèøåâÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉÀÍÀËÈÇ Â ÂÎÏÐÎÑÀÕ È ÇÀÄÀ×ÀÕ.Êàçàíü 2006ÓÄÊ 517.5Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþÐåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòàÊàçàíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòàÐåöåíçåíò ê.ô.-ì.í., äîöåíò Ì.Ï. ÆåëèôîíîâÀ.Ì. Àí÷èêîâ, Ð.Ë. Âàëèóëëèí, Ð.À. Äàèøåâ. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç â âîïðîñàõ è çàäà÷àõ. Êàçàíü, 2006.Äàííîå ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ 1-ãî êóðñà ôèçè÷åñêîãîôàêóëüòåòà. Îíî ïðèçâàíî ïîìî÷ü ñòóäåíòàì, òîëüêî ÷òî ïîñòóïèâøèì íàïåðâûé êóðñ ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Êàçàíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, ïðåîäîëåòü áàðüåð ìåæäó øêîëüíîé è âóçîâñêîé ìàòåìàòèêîé,ìåæäó ñïîñîáàìè èçó÷åíèÿ ìàòåìàòèêè â ñðåäíåé øêîëå è íà ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòå óíèâåðñèòåòà.
 í¼ì êðàòêî èçëàãàþòñÿ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, îïðåäåëåíèÿ è òåîðåìû ïî ìåòîäàì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, òåîðèè÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ôóíêöèé îäíîãî àðãóìåíòà, èõ ïðåäåëîâ èíåïðåðûâíîñòè.  êàæäîì ïàðàãðàôå ïðåäëàãàþòñÿ êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ, ïðèâîäÿòñÿ ðåøåíèÿ ìíîæåñòâà ïðèìåðîâ è çàäà÷, à òàêæåïðèâîäÿòñÿ çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîéðàáîòû.
Ïðèâîäÿòñÿ îòâåòû è óêàçàíèÿ ê ðåøåíèþ íàèáîëåå òðóäíûõ çàäà÷.c Êàçàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, 2006.°Óêàçàòåëü îñíîâíûõ îáîçíà÷åíèé.N - ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë,Z - ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë,R - ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë,C - ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë,[ a, b ] - ñåãìåíò, (îòðåçîê),[ a, ∞ ), ( a, ∞ ), ( −∞, a ], ( −∞, a ) - ïîëóïðÿìàÿ,∃ x - ñóùåñòâóåò òàêîå x ,∀ x - äëÿ ëþáîãî x,x ∈ X - ÷èñëî x ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó X ,"ε- îêðåñòíîñòü" òî÷êè a − íà ÷èñëîâîé îñè - èíòåðâàë(a − ε, a + ε) ;íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè - îòêðûòûé êðóã |z − a| < ²,nε ∈ N - íàòóðàëüíîå ÷èñëî, çàâèñÿùåå îò ε > 0,nM - íàòóðàëüíîå ÷èñëî, çàâèñÿùåå îò M (M ìîæåò áûòüñêîëü óãîäíî áîëüøèì).31.
Ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.À. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû.Äîêàçàòåëüñòâî âåðíîñòè ãèïîòåç â íàóêå îñóùåñòâëÿåòñÿýêñïåðèìåíòàëüíûì, èíäóêòèâíûì èëè äåäóêòèâíûì ìåòîäàìè.Äåäóêòèâíûé ìåòîä - ïåðåõîä îò îáùèõ óòâåðæäåíèé ê ÷àñòíûì.Èíäóêòèâíûé ìåòîä - ìåòîä ðàññóæäåíèÿ, ïðè êîòîðîì íàîñíîâå ðàññìîòðåíèÿ íåñêîëüêèõ ÷àñòíûõ ïðåäëîæåíèé äåëàåòñÿ çàêëþ÷åíèå îá îáùåì.Ïîëíàÿ èíäóêöèÿ. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå."Êàæäîå ÷åòíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ...
â ïðåäåëàõ îò 1 äî 100ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ ïðîñòûõ ÷èñåë." Äëÿ ýòîãî ïåðåáèðàþòñÿ âñå òàêèå ÷èñëà è âûïèñûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèåðàçëîæåíèÿ:4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; ......; 98 = 93 + 5; 100 = 97 + 3.Ýòè 49 ðàâåíñòâ ïîêàçûâàþò, ÷òî êàæäîå èç èíòåðåñóþùèõíàñ ÷èñåë äåéñòâèòåëüíî ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ ïðîñòûõ ÷èñåë.
Îáùåå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî çäåñü ïåðåáîðîì âñåõâîçìîæíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ.Òàêîé ìåòîä ïåðåáîðà êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëó÷àåâ, èñ÷åðïûâàþùèõ âñå âîçìîæíîñòè, íàçûâàåòñÿ ïîëíîé èíäóêöèåé. Ýòîòìåòîä èìååò âåñüìà îãðàíè÷åííóþ îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè â ìàòåìàòèêå.Íåïîëíàÿ èíäóêöèÿ. Èíîãäà îáùèé ðåçóëüòàò óäàåòñÿ ïðåäóãàäàòü ïîñëå ðàññìîòðåíèÿ íå âñåõ, à äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ. Çäåñü ìû èìååì íåïîëíóþ èíäóêöèþ.
Ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé íåïîëíîé èíäóêöèåé, îñòàåòñÿ, îäíàêî,4ëèøü ãèïîòåçîé, ïîêà îí íå äîêàçàí òî÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèìðàññóæäåíèåì, îõâàòûâàþùèì âñå ÷àñòíûå ñëó÷àè. Íåïîëíàÿèíäóêöèÿ ìîæåò ïðèâåñòè ê îøèáêå.Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Äâóõ÷ëåí xn − 1, ãäå n - íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ðàçëîæèì íà ìíîæèòåëè ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè.Ðàññìîòðèì ýòè ðàçëîæåíèÿ ïðè ìíîãèõ ÷àñòíûõ çíà÷åíèÿõ n.Âñå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå ïðåâîñõîäÿò åäèíèöû  ñàìîì äåëå,(x − 1) = x − 1,(x2 − 1) = (x − 1)(x + 1),(x3 − 1) = (x − 1)(x2 + x + 1),(x4 − 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1),(x5 − 1) = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1),(x6 − 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1),.............................................................................................Ïîïûòêè äîêàçàòü ýòîò ôàêò äëÿ âñÿêîãî n óñïåõà íå èìåëè. Îêàçàëîñü, ÷òî óêàçàííûì ñâîéñòâîì îáëàäàþò âñå äâóõ÷ëåíû xn − 1, ñòåïåíü êîòîðûõ ìåíüøå 105.
Äâóõ÷ëåí x105 − 1 èìååòîäèí èç ìíîæèòåëåé, ðàâíûé x48 + x47 + x46 − x43 − x42 − 2x41 −x40 − x39 + x36 + x35 + x34 + x33 + x32 + x31 − x28 − x26 − x22 − x20 +x17 + x16 + x15 + x14 + x13 + x12 − x9 − x8 − 2x7 − x6 − x5 − x2 + x + 1,êîòîðûé íå îáëàäàåò óêàçàííûì âûøå ñâîéñòâîì.Ìîæíî ïðèâåñòè ìíîæåñòâî äðóãèõ ïðèìåðîâ, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ñäåëàòü ïðîñòîé è â òî æå âðåìÿ âàæíûé âûâîä.5Óòâåðæäåíèå ìîæåò áûòü ñïðàâåäëèâûì â öåëîì ðÿäå ñëó÷àåâ è â òî æå âðåìÿ íåñïðàâåäëèâûì âîîáùå.Òåïåðü âîçíèêàåò âîïðîñ. Èìååòñÿ óòâåðæäåíèå, ñïðàâåäëèâîå â íåñêîëüêèõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ. Âñå ÷àñòíûå ñëó÷àè ðàññìîòðåòü íåâîçìîæíî. Êàê æå óçíàòü, ñïðàâåäëèâî ëè óòâåðæäåíèåâîîáùå? Ýòîò âîïðîñ èíîãäà óäàåòñÿ ðåøèòü ïîñðåäñòâîì ïðèìåíåíèÿ îñîáîãî ìåòîäà ðàññóæäåíèé, íàçûâàåìîãî ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. îñíîâå ýòîãî ìåòîäà ëåæèò ïðèíöèï, çàêëþ÷àþùèéñÿ âñëåäóþùåì:Ïóñòü A(n) - ïðåäëîæåíèå (óòâåðæäåíèå), çàâèñÿùåå îò íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n.
Òîãäà, åñëè 1◦ . A(n) ñïðàâåäëèâî ïðèn = n0 ≥ 1; 2◦ . äëÿ ëþáîãî n = k ≥ n0 èç ñïðàâåäëèâîñòèA(k) ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü A(k + 1), òî ïðåäëîæåíèå A(n)ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ n ≥ n0 .Èòàê, ïðè ïîëüçîâàíèè ýòîé òåîðåìîé ìû äîëæíû ïðîâåðèòüâûïîëíåíèå äâóõ óñëîâèé:1) Ïðåäëîæåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ n = n0 ≥ 1 (ýòî áàçèñèíäóêöèè),2) Ïðåäëîæåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ n = k + 1 åñëè îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ n = k, ãäå k - ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëîíå ìåíüøåå n0 (ýòî èíäóêöèîííûé øàã).Á. Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ.1. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû äåäóêòèâíîãî è èíäóêòèâíîãî ðàññóæäåíèé.2.
×òî íàçûâàåòñÿ ïîëíîé èíäóêöèåé? Ïðèâåñòè ïðèìåð.3. Ïðèâåäèòå ïðèìåð íåïîëíîé èíäóêöèè, êîòîðàÿ ïðèâîäèòê îøèáî÷íûì âûâîäàì.64.  ÷åì ñîñòîèò ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè? Èç êàêèõýòàïîâ îí ñîñòîèò?5.  ÷åì ïðèíöèïèàëüíûå ðàçëè÷èÿ ìåæäó ðàññóæäåíèåì,îïèðàþùèìñÿ íà íåïîëíóþ èíäóêöèþ, è ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè?6. ×òî îáùåãî ó âñåõ çàäà÷, êîòîðûå ðåøàþòñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè?Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.Ïðèìåð 1. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè ∀n ∈ N ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2 .(1)Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà âû÷èñëèì ïîñëåäîâàòåëüíûå ñóììû íå÷åòíûõ ÷èñåë: 1 = 12 , 1 + 3 = 4 = 22 , 1 + 3 + 5 = 9 = 32 , 1 + 3 = 5 =7 = 16 = 42 .
Ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ïðèáàâèâ ê ïðåäûäóùåé ñóììå ñëåäóþùåå íå÷åòíîå ÷èñëî 9, ïîëó÷èì êâàäðàò ÷èñëà 5, ò.å.25. È äåéñòâèòåëüíî, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 . Ïîñëå ýòîãî ìûâûäâèãàåì ãèïîòåçó, ÷òî èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå (1). Ïåðâàÿ÷àñòü ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ñïðàâåäëèâà. Òåïåðü ïðîâåðèìâûïîëíåíèå âòîðîé ÷àñòè, ò.å. åñëè äëÿ ∀k èìååò ìåñòî1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k 2 ,(2)òî áóäåò âûïîëíåíî ðàâåíñòâî1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 .7(3)Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ê îáåèì ÷àñòÿì (2) ïðèáàâèì (2k + 1) :[1 + 3 + 5 + ...
+ (2k − 1)] + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1). Íî, ïîïðåäïîëîæåíèþ, âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ðàâíî k 2 . Âðåçóëüòàòå ïîëó÷èì òîæäåñòâî k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2 .Èòàê, (1) ñïðàâåäëèâî ïðè n = 1, à èç åãî ñïðàâåäëèâîñòèïðè n = k âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü è ïðè n = k + 1.
Òîãäà èçñïðàâåäëèâîñòè ïðè n = 1 ñëåäóåò, ÷òî îíî ñïðàâåäëèâî è ïðèn = 1 + 1 = 2, à òîãäà îíî ñïðàâåäëèâî è ïðè n = 2 + 1 = 3, èïðè n = 3 + 1 = 4 è âîîáùå ïðè âñåõ n ∈ N.Ïðèìåð 2. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè ∀n ∈ N è ∀x ≥ −1 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Áåðíóëëè(1 + x)n ≥ 1 + nx,(4)à ïðè x = 0 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî.Ðåøåíèå. Ïðè n = 1 ñîîòíîøåíèå (4) ñïðàâåäëèâî, ïîñêîëüêó îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî. Äàëåå ïðåäïîëîæèì,÷òî ñîîòíîøåíèå (4) ñïðàâåäëèâî äëÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà k èx > −1 :(1 + x)k ≥ 1 + kx.(5)Òàê êàê x > −1, òî 1 + x > 0.
Óìíîæèì íåðàâåíñòâî (5) íàïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî 1 + x :(1 + x)k+1 ≥ 1 + kx + x + kx2 .Îòáðàñûâàÿ íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî kx2 â ïðàâîé ÷àñòè, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî(1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x.8Ýòèì äîêàçàíî, ÷òî (5) ñïðàâåäëèâî äëÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëàk + 1 è x > −1.
Òåì ñàìûì äîêàçàíî, ÷òî (5) ñïðàâåäëèâî ïðè∀n ∈ N è x > −1.Ïðèìåð 3. Íàéòè ñóììóSn = −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + ... + (−1)n n.(6)Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì S1 , S2 , ...S6 :S1 = −1, S2 =−1 + 2 = 1, S3 = S2 − 3 = −2, S4 = S3 + 4 = 2, S5 = S4 − 5 =−3, S6 = S − 5 + 6 = 3. Ñ äðóãîé ñòîðîíû:¸··¸·¸·¸2+13+14+11+1=, 2==,1=2222·¸·¸5+16+13==.22Çäåñü ïîä [a] ïîíèìàåòñÿ öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà a . Îòñþäà èìååìãèïîòåçó:·¸n+1Sn = (−1)n.(7)2Äëÿ íàòóðàëüíûõ çíà÷åíèé 1, 2, ...
6 ñîîòíîøåíèå (7)ñïðàâåäëèâî.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ∀k > 6 ñîîòíîøåíèå (7)ñïðàâåäëèâî:"kSk = (−1)#k+1.2Äàëåå"k+1Sk+1 = Sk + (−1)k(k + 1) = (−1)Ãk+1= (−1)"(8)#k+1+ (−1)k (k + 1) =2k+1k+1−2#!.Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ∀n ∈ N, [ n2 ] + [ n+1] = n. Èñïîëüçóÿ ïðåäû29äóùåå ðàâåíñòâî, èìååìhk+12ihihk+12i+h ik2= k + 1. Îòêóäà (k + 1) −= k+2. Çíà÷èò, ïðèõîäèì ê Sk+1 = (−1)k+12ñàìûì ìû äîêàçàëè ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (7).hk+22i. ÒåìÏðèìåð 4. Íàéòè Sn = 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + ... + n · n!.Ðåøåíèå.
Ñíà÷àëà íàõîäèì S1 = 1·1! = 1 èëè S1 = 2!−1,S2 = S1 + 2 · 2! = 5 èëè S2 = 3! − 1, S3 = S2 + 3 · 3! = 23, èëèS3 = 4! − 1, S4 = S3 + 4 · 4! = 119 èëè S4 = 5! − 1, îòêóäàñëåäóåò ãèïîòåçàSn = (n + 1)! − 1.(9)Ïîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü (9) ïðè ëþáûõ n. Ïðè n = 1 ãèïîòåçà âåðíà. Ïóñòü îíà âåðíà ïðè ∀ k > 1.Sk = (k + 1)! − 1.(10)Äàëåå âû÷èñëÿåì Sk+1 .Sk+1 = Sk + (k + 1)(k + 1)! = [(k + 1)! − 1] + (k + 1)(k + 1)! == (k + 1)! [1 + k + 1] − 1 = (k + 1)! (k + 2) − 1 = (k + 2)! − 1.Îòñþäà ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü (9) è ïðè n = k + 1. Çíà÷èòìû äîêàçàëè ñïðàâåäëèâîñòü (9) ïðè ∀ n ∈ N.Ïðèìåð 5.
Äîêàçàòü, ÷òîsin x + sin 2x + ... + sin nx =ãäå x 6= 2πm, à m − öåëîå ÷èñëî.10xsin n+12sin x2sin nx,2(11)Ðåøåíèå. Ïðè n = 1 ðàâåíñòâî (11)èìååò ìåñòî. Ïóñòüïðè n = kkXsin sx =s=1sin k+1xkx2sin .xsin 22(12)Òîãäà (ïðè n = k + 1 )k+1Xsin sx === sinsin sx + sin(k + 1)x =s=1s=1=kXsin k+1xkx2sin+ sin(k + 1)x =xsin 22sin k+1xkxk+1k+12sin+ 2 sinx · cosx=xsin 2222+ 2 cos k+1· sin x2xk + 1 sin kxk + 1 sin k+2222x·=sinx·xx .2sin 22sin 2Ïîêàçàëè, ÷òî (11) ñïðàâåäëèâî è ïðè n = k + 1. Ñëåäîâàòåëüíî, (11) èìååò ìåñòî ïðè ∀ n ∈ N.Ïðèìåð 6.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
