Введение в мат анализ в вопросах и задачах. Учебное пособие Анчиков А.М (968720), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ n ïîëîæèòåëüíûõ÷èñåë x1 , x2 , ..., xn óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþx1 · x2 · ... · xn = 1,(13)èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèåx1 + x2 + ... + xn ≥ n.(14)Ðåøåíèå. Ïðè n = 1 èç óñëîâèÿ (13) ñëåäóåò x1 = 1.Ïîýòîìó (14) âûïîëíåíî.Ïóñòü ïðè n = k èç (13) ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå (14) è ïóñòük + 1 ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë x1 , x2 , ..., xk , xk+1 óäîâëåòâîðÿþò11óñëîâèþ (13).
Äîêàæåì, ÷òî äëÿ íèõ âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå(14). Åñëè âñå ýòè ÷èñëà ðàâíû 1, òî èõ ñóììà k + 1 è ñîîòíîøåíèå (14) èìååò ìåñòî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñðåäè íèõ èìååòñÿõîòÿ áû îäíî ÷èñëî, îòëè÷íîå îò 1. Òîãäà îáÿçàòåëüíî íàéäåòñÿåù¼ îäíî ÷èñëî, íå ðàâíîå 1. Ïðè÷åì, åñëè îäíî èç íèõ áîëüøååäèíèöû, òî âòîðîå ìåíüøå 1. Íå íàðóøàÿ îáùíîñòè, ïðåäïîëîæèì, ÷òî xk > 1, xk+1 < 1. Âîçüìåì ïðîèçâåäåíèå ÷èñåëx1 , x2 , ..., xk−1 , xk · xk+1 . Ýòî ïðîèçâåäåíèå ðàâíî 1. Ïîýòîìó ïîèíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ x1 +x2 +...+xk−1 +xk ·xk+1 ≥ k.Ïðèáàâëÿÿ ê îáåèì ÷àñòÿì ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ xk + xk+1 ,ïîëó÷àåì x1 +x2 +...+xk−1 +xk +xk+1 +xk ·xk+1 ≥ k +xk +xk+1 ,èëè x1 + x2 + ...
+ xk+1 ≥ k + 1 + xk + xk+1 − xk+1 xk · xk+1 − 1 =k + 1 + (1 − xk+1 )(xk − 1) ≥ k + 1, òàê êàê (1 − xk+1 )(xk − 1) > 0.Ìû äîêàçàëè ñïðàâåäëèâîñòü (14) ïðè n = k + 1 è, òåìñàìûì è äëÿ ∀ n ∈ N.Ïðèìåð 7. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè ∀ n ∈ N, ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî111111 1 1−=++ ... + . (15)1 − + − + ... +2 3 42n − 1 2nn+1 n+22nÐåøåíèå. Ïðè n = 1 ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî, ò.å. 1 − 12 =1.2Ïóñòü ïðè n = k ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (15), ò.å.1 1 1111111 − + − + ... +−=++ ... + . (16)2 3 42k − 1 2kk+1 k+22kÇàïèøåì òåïåðü äîêàçóåìîå ðàâåíñòâî (15) äëÿ n = k + 1 :1−1 1 11111+ − + ... +−+−=2 3 42k − 1 2k 2k + 1 2(k + 1)121111+ ... +++.(17)k+22k 2k + 1 2k + 2Âû÷èòàÿ ïî÷ëåííî èç (17) òîæäåñòâî (16), ïðèõîäèì ê òîæäåñòâó11111−≡+−.(18)2k + 1 2(k + 1)2k + 1 2k + 2 k + 1=Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè (16) èìååò ìåñòî, òî â ñèëó ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè (15) ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ çíà÷åíèé n.Çàìåòèì, ÷òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíî ðàçäåëèòü äðóã íà äðóãà ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòè äîêàçûâàåìûõòîæäåñòâ.Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ìîæíî äîêàçûâàòü ðàçëè÷íûå óòâåðæäåíèÿ, êàñàþùèåñÿ äåëèìîñòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.Ã.
Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû.Ïðèìåíÿÿ ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, äîêàçàòü, ÷òîäëÿ ∀ n ∈ N ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:1. 1 + 1 + 2 + 3 + ... + n =n(n+1);22. 12 + 22 + 32 + ... + n2 =n(n+1)(2n+1);63. 13 + 23 + 33 + ... + n3 =n2 (n+1)2;44. 1 + 2 + 22 + ... + 2n−1 = 2n − 1;;5. 1 − 22 + 32 − 42 + ... + (−1)n−1 n2 = (−1)n n(n+1)26. 12 + 32 + 52 + ...
+ (2n − 1)2 =n(2n−1)(2n+1);37. 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + n(n + 1) =13n(n+1)(n+2);38.11·39.1213·5++ ... +1(2n−1)(2n+1)n;2n+1=+ cos x + cos 2x + ... + cos nx =10. cos x · cos 2x · ... · cos 2n x =11.121·312.01!++223·512!+ ... ++23!n2(2n−1)(2n+1)+ ... +n−1n!sin 2n+1x2,2 sin x2sin 2n+1 x,2n+1 ·sin x==1−x 6= 2πm;x 6= πm;n(n+1);2(2n+1)1.n!Íàéòè çíà÷åíèÿ ñóìì Sn :13. Sn =11·4+14·7+17·10+ ... +h1;(3n−2)(3n+1)hn3n+1i.i14. Sn = 1− 1!x + x(x−1)−...+(−1)n x(x−1)...(x−n+1); (−1)n (x−1)...(x−n).2!n!n!Íàéòè çíà÷åíèå âûðàæåíèé:15.
Pn = (1 − 12 )(1 − 31 )(1 − 14 )...(1 −16. Pn = (1 − 14 )(1 − 91 )...(1 −1,n2 )h1);n+1hn ≥ 2;11+nn+12nii..Äîêàçàòü:17. 1 + x + x2 + ... + xn =xn+1 −1,x−1(x 6= 1);18. 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + ... + n(n + 1)(n + 2) =19.11+x+21+x2+41+x4+ ... +2n1+x2n=1x−1+2n+1n+1 ;1−x220. sin x + 2 sin 2x + 3 sin 3x + ...
+ n sin nx =21. cos x+2 cos 2x+3 cos 3x+...+n cos nx =n(n+1)(n+2)(n+3);4(n+1) sin nx−n sin(n+1)x;4 sin2 x2(n+1) cos nx−n cos(n+1)x−1.4 sin2 x2Ïðèìåíÿÿ ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè:22. Âûðàçèòü n-é ÷ëåí àðèôìåòè÷åñêîé, ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèé ÷åðåç ïåðâûé ÷ëåí ñîîòâåòñòâåííî. Íàéòè çíà÷åíèÿ ñóììýòèõïðîãðåññèé.hiq n −1n )nn−1an = a1 + (n − 1)d, Sn = (a1 +a;b=bq,S=b.n1n12q−11423. Ñî÷åòàíèÿìè èç n ýëåìåíòîâ ïî k íàçûâàþòñÿ òàêèåñîåäèíåíèÿ, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî ñâîèn!= k!(n−k)!− ÷èñëîìè ýëåìåíòàìè. Cnk = n(n−1)(n−2)...(n−k+1)k!ñî÷åòàíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k.
Ïîëüçóÿñü ýòîé ôîðìóëîé, ëåãêî óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäóþùèõ ðàâåíñòâ:Cn1 = n; Cnn = Cn0 = 1; 0! = 1.Äîêàçàòü òîæäåñòâà:a) Cnk = Cnn−k ;nb) Cn+1= Cnk + Cnk−1 ;m−kk mc) Cnm Cn−k= CmCn ;k;d) Cnk + 3Cnk−1 + 3Cnk−2 + Cnk−3 = Cn+3Cn1 + 2Cn2 + ... + nCnn= 2n−1 .n24. Ïðèìåíÿÿ ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, ïîëó÷èòü ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà:e)(a + b)n = Cn0 an b0 + Cn1 an−1 b + ... + Cnk an−k bk + ... + Cnn a0 bn . (19)25. Äîêàçàòü òîæäåñòâà:a) Cn0 + Cn1 + ...
+ Cnn = 2n ; ;b) Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + ... + (−1)n Cnn = 0.26. Äîêàçàòü ôîðìóëó:(a1 + a2 + ... + as )2 =sXi=1a2i + 2XÏî àíàëîãèè ïîëó÷èòü òàêæå ðàçëîæåíèå (15ai aj .i<jsPi=1ai )n .(20)27. Ðåøèòü óðàâíåíèÿ:x−23a) Cx+1+ 2Cx−1= 7(x − 1);[x = 5] .b) Cx1 + 6Cx2 + 6Cx3 = 9x2 − 14; [x = 7] .28. Òðåòüå ñëàãàåìîå ðàçëîæåíèÿ (2x + x12 )m íå ñîäåðæèò x.Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ x ýòî ñëàãàåìîå ðàâíî âòîðîìó ñëàãàåìîìó ðàçëîæåíèÿ (1 + x3 )30 ? [ x = 2 ] .Äîêàçàòü:29. |x1 + x2 + ...
+ xn | ≤ |x1 | + |x2 | + ... + |xn | .30. 2! · 4! · 6! · ... · (2n)! > [(n + 1)!]n ; ∀n ≥ 2.31. 2n > 2n + 1; ∀n ≥ 3.32. (0, 7)n ≥ 1 − 0, 3n.33. (1 + x1 )(1 + x2 )...(1 + xn ) ≥ 1 + x1 + x2 + ... + xn ,ãäå x1 , x2 , ..., xn − ÷èñëà îäíîãî çíàêà, áîëüøèå -1 (íåðàâåíñòâî Áåðíóëëè).34. a) 2n > n2 , n = 1, ∀n ≥ 5; b) 3n > n3 , n ≥ 4, n = 1, 2.√√35. n < 1 + √12 + √13 + ... + √1n < 2 n, ∀n ≥ 2.√√1[ Âîñïîëüçîâàòüñÿ íåðàâåíñòâîì √1+k> k + 1 − k ].36. 2n(n−1)2> n!, ∀n ≥ 3.n)n , ∀n ≥ 2.37. n 2 < n! < ( n+1238.22nn+1<(2n)!, ∀n(n!)2≥ 2.39. nn+1 > (n + 1)n , ∀n ≥ 3.40.
(2n)! < 22n (n!)2 .1641.1nñêîå,snPi=1ai ≥snnQi=1nnQi=1ai =ai , ai ≥ 0,√n1nnPi=1ai − ñðåäíåå àðèôìåòè÷å-a1 · a2 · ... · an − ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå níåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë a1 , a2 , ..., an .i[ Óêàçàíèå. Ðàññìîòðåòü ÷èñëà r aQ, (i = 1, 2, ..., n).
Ïðînnaii=1èçâåäåíèå ýòèõ ÷èñåë ðàâíî 1. Ïî ïðèìåðó (6), ðàçîáðàííîìónPaiâûøå, si=1nQn≥ n. Îòñþäà ñëåäóåò îòâåò ].ajj=11· · ... · 2n−1< √2n+1.2n√, a > 0, b > 0.43. n+1 a · bn < a+nbn+142.1234s44. ”n” êîðíåérc+c+qc + ... +√c≤√1+ 4c+1,2c > 0.45.
Äîêàçàòü:a) ÷èñëî 11n+1 + 122n−1 êðàòíî 133;nb) ÷èñëî 22 + 1 îêàí÷èâàåòñÿ íà 7 ïðè n ≥ 2;n;c) arctg 12 + arctg 18 + ... + arctg 2n1 2 = arctg n+1d) 32n − 1 äåëèòñÿ íà 8;e) 6n + 20n − 1 êðàòíî 25.2. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà.À. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû.Ðàññìîòðèì óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó (x, y) âåùåñòâåííûõ ÷èñåë x è y. Îáîçíà÷èì z = (x, y). Ïóñòü äàíû ïàðû17z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ), äëÿ êîòîðûõ ââåäåì ïðàâèëà ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî:1) z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ),(21)2) z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ).(22) ýòîì ñëó÷àå óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà (x, y) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíûì ÷èñëîì, x − âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü (x = Re z), y −ìíèìàÿ ÷àñòü (y = Im z).
Åñëè y = 0, òî ïàðà (x, 0)îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì x : (x, 0) = x. ÷àñòíîñòè ïàðà (0, 0) îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ íóëåì. Ìíîæåñòâîâñåõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îáîçíà÷èì ÷åðåç C. Ìíîæåñòâî Rÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì C.Äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà z1 = (x1 , y1 ), è z2 = (x2 , y2 ), íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè z1 = z2 , åñëè x1 = x2 , y1 = y2 .Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ñóììà è ïðîèçâåäåíèå êîìïëåêñíûõ÷èñåë îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è ñóììà è ïðîèçâåäåíèåâåùåñòâåííûõ ÷èñåë.Ðàçíîñòüþ äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 è z2 íàçûâàåòñÿòàêîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z, êîòîðîå â ñóììå ñ z2 äàåò z1 .Ïîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî, ÷òî z1 − z2 = (x1 − x2 , y1 − y2 ).×àñòíûì äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 è z2 íàçûâàåòñÿòàêîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z, êîòîðîå ïðè óìíîæåíèè íà z2äàåò z1 .
Ïîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî, ÷òîz=z1x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2=(,).z2x22 + y22x22 + y22(23)×èñëî (0, 1) = i íàçûâàåòñÿ ìíèìîé åäèíèöåé. Âîçâåäÿýòî ÷èñëî â êâàäðàò, ïîëó÷èì â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ18êîìïëåêñíûõ ÷èñåë: (0, 1)(0, 1) = (−1, 0), i2 = −1. Çàìåòèâýòî, ìû ìîæåì ëþáîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = (x, y) ïðåäñòàâèòü â âèäå z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0) =x + iy.
Ïðåäñòàâëåíèå z = (x, y) â âèäå z = x + iy íàçûâàåòñÿàëãåáðàè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå ïîçâîëÿåò ïðîèçâîäèòü îïåðàöèè ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè,êàê îíè ïðîèçâîäÿòñÿ ñ àëãåáðàè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè.Êîìïëåêñíîå ÷èñëî (x, −y) = x − iy íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ïî îòíîøåíèþ ê ÷èñëó (x, y) = x + iy è îáîçíà÷àåòñÿ z(ò.å. z = x − iy ).Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = (x, y) èçîáðàæàåòñÿ èëè òî÷êîé M−−→ñ êîîðäèíàòàìè (x, y) , èëè âåêòîðîì OM , èäóùèì èç íà÷àëàêîîðäèíàò O â òî÷êó M íà ïëîñêîñòè.
Ïðè ýòîì ïëîñêîñòü íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþ.  äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îñü àáñöèññ íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé îñüþ, à îñü îðäèíàò- ìíèìîé îñüþ. Ââåäÿ ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû x = r cos ϕ, y =r sin ϕ íà ïëîñêîñòè, êîìïëåêñíîå ÷èñëî z ìîæíî ïðåäñòàâèòüâ âèäå:z = (x + iy) = r(cos ϕ + i sin ϕ).(24)Ýòà ôîðìà ÷èñëà íàçûâàåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, r è ϕ íàçûâàþòñÿ ìîäóëåì è àðãóìåíòîìêîìïëåêñíîãî ÷èñëà è îáîçíà÷àþòñÿ ñèìâîëàìè r = |z| , ϕ =√arg z. ßñíî, ÷òî r = x2 + y 2 , tg ϕ = xy . Àðãóìåíò ÷èñëà z 6= 0 îïðåäåëåí ëèøü ñ òî÷íîñòüþ äî öåëîãî, êðàòíîãî2π. Argz = arg z + 2kπ, (k = 0, ±1, ±2, ...), ãäå arg z - ãëàâíîåçíà÷åíèå àðãóìåíòà (−π ≤ arg z < π). òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå óäîáíî ïðîèçâîäèòü îïåðàöèè19óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:z1 z2 = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )],(25)z1r1= [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )], r2 6= 0,(26)z2r2òî åñòü ïðè óìíîæåíèè ìîäóëè ïåðåìíîæàþòñÿ, àðãóìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ, à ïðè äåëåíèè ìîäóëè äåëÿòñÿ, à àðãóìåíòû âû÷èòàþòñÿ.
(Ïîêàæèòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî).Ïðîèçâåäåíèå n ìíîæèòåëåé, êàæäûé èç êîòîðûõ ðàâåí z,íàçûâàåòñÿ n− ñòåïåíüþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z è îáîçíà÷àåòñÿñèìâîëîì z n . Ïîëó÷èìz n = rn (cos nϕ + i sin nϕ)(27)(ôîðìóëà Ìóàâðà).Êîìïëåêñíîå ÷èñëî w íàçûâàåòñÿ êîðíåì n−é ñòåïåíè èç√÷èñëà z (îáîçíà÷àåòñÿ n z ) åñëè wn = z. ëåãêî ïîëó÷èòüwk =√nr(cosϕ + 2kπϕ + 2kπ+ i sin), k = 0, (n − 1).nn(28)Åñëè ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé Ýéëåðà eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ(çäåñü ìû å¼ íå äîêàçûâàåì), òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà ïåðåõîäèòz = r(cos ϕ + i sin ϕ) = reiϕ .(29)Ïðåäñòàâëåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z â âèäå z = reiϕ íàçûâàåòñÿ ïîêàçàòåëüíîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.Ìîæíî âû÷èñëèòü ëîãàðèôì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà:ln z = ln r + iϕ.20Òàê êàê àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ϕ îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî 2πk, (k = 0, ±1, ±2, ...) òîLn z = ln r + i(ϕ + 2πk) = ln z + i2πk.(30)Ïîëüçóÿñü ýòîé ôîðìóëîé ìîæíî âû÷èñëèòü ëîãàðèôì ëþáîãî îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
