promel (967628), страница 49
Текст из файла (страница 49)
При использовании генератора в качестве преобразователя постоянного напряжения в постоянное напряжение цепь нагрузки подключают к выходной обмотке трансформатора через выпрямитель со сглаживающим фильтром. й З.э. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ Как указывалось в 2 3.1, в настоящее время для построения систем обработки и преобразования информации широко применяют цифровые методы. Используемые при этом сигналы близки по форме к пря- 207 моугольиым и имеют два фиксированных уровня напряжения, у' низкого напряжения обычно приписывается символ (состояние а уровню высокого напряжения — символ (состояние) «1». Математическим аппаратом анализа и синтеза цифровых служиталгебра логики (булева алгебра), к' изучает связь между переменными (сигналами), принимающими ' ко два («О», «1») значения.
Символы «0» и «!» в алгебре Логики х'. теризуютсостояния переменных или состоя и х ф у и к ц и й, в связи с чем эти символы нельзя рассматр'. как арифметические числа. Алгебра логики является алгеброй с ' пий, а не алгеброй чисел, и для нее характерны основные дей ' отличные от принятых в обычной алгебре действий над числамц Аксиомы, законы, таясдества и теоремы алгебры логики':" В алгебре логики любая переменная может иметь состояние' или «!». Поэтому в алгебре логики каждой двоичной переменной, пример х, ставится в соответствие обратная или дополнительная к' (и н в е р с н а я) переменная, такая, что: если х=О, то х=!, если х = 1, то х = О.
6) х 0 = О, 7) х 1 = х, 8) х х = х, 9) х х = О, !0) (х) = х. 5) (х)=х, Правила 1 — 4 характеризуют операцию л о г и ч е с к о г о сл о-. же н и я (д и з ъ ю и к ц и и ), правила 6 — 9 — операцию л о г н. ческого умножения (конъюнкции) и правила 5,10 — операцию и н в е р с и и. Знак логического сложения «+» чн тается ИЛИ (например, правило 1: «х или 0 равен х»). Знак логического умножения «» читается И (например, «х и 0 равен 0»). Правила 1 — 4, 6 — 9 поясняются схемами (рис. 3.19, а — з) на двух ключах в соответствии с числом слагаемых (сомножителей) в соотношениях. Положению «Ключ включен» соответствует состояние «1» а положению «Ключ выключея» — состояние «0».
для логического сложения (правила 1 — 4) ключи в схемах соединены параллельн~. Уровень высокого иапряжеяия на выходе (с = 1) будет иметь место если хотя бы один ключ находится в состоянии «1» (правила 2, 4' рис. 3.!9, б, г). Результат суммы в правилах 1, 3 зависит от значений х »Ов Переменную х следует читать как НЕ х. В алгебре логики в случае одной переменной х действуют следу,' щие правила (аксиомы): 1)х+О=х, , Ъ" 2) х + 1 = 1, 3) х + х = х, (3.
55) 4)х+х=1, ! 3,58) Х (д + зй) = Хд + Х2. = 1 г = 1, при х = О г" =- О; рис, 3.19, а, в). Для логического (ОР" ения ключи соединены последс>вительно (рис. 3. !9, д — з). х= (сокого напряжения на выходе (г =- 1) будет только в том если оба сомножителя равны единице (оба ключа включены). овень вы вном случае результат умножения равен нулю (правила 6, чае, есл и отнвном р . 3.19, д, з). Результат умножения в правилах 7, 8 зависит от о рис. ' че„ин х (рис. 3.19, е, ж). зиачен х х х х +ЕЯ ~~, +Е +Е +Е К К=хна=Х К гихкм) Х Е х х=х и Е=х х=у О х К я=ха*в х кг=хгчх .х х Е=хх.х х, х е=хл=в О ( О) е) лг) О) рнс.
3.)9. Схемы, иллюстрируюн(ие оперении логнчесного сложения !а — г! и логического ун(ноження (д — н) Для алгебры логики, как и для ооычной алгебры, действительны следую:цие з а к о н ы. Пер е мест и тель н ы й з а ко н (закон ком м у та т и в- н о с т и ) для логического сложения и умножения: 1) х+д =д+ х, (3.56) 2) х д = д х. Сочетательный закон (закон ассоциативно- ст и ) для логического сложения и умножения: 1) х+д-1-2 =(х + д) +2 = х +(д+ 2), (3 57! 2) Х д.2=(Х д).х=х(д 2). Распределительный закон (закон дистрибу- т и в н о с т и логического умножения по отношению к сложениго)( Для многих случаев алгебраических преобразований полезными являются тождества, относящиеся к двум и трем переменным: 1) хд+хд=х, 4) х(х +д) = хд, 2) х+хд=х, 5) (х+д)(х+2)=х+ух, 3) х(х + д) = х, 6) хд + д = х + д. (3.59) В справедливости тождеств 1 и 2 нетрудно убедиться, вынося за скобку в левой части переменную х. Тождество 3 доказывается с помо(цыо распределительного закона х(х + д) = хх + хд = х + хд = з-ачз 209 (( 1 ! (,1 ) = х.
Аналогично доказывается и тождество 4. Для доказат тождества 5 раскроем скобки в левой части: (х + у)(х -1- г) + хг + ху + уг = х + ху + уг = х + уг. К основным законам алгебры логики относятся з а к о н ыь' версии для логических сложения и жения (теоремы де Моргана): хч-чтг=х и г т. е. инверсия суммы переменных есть произведение их инне х у.г=х+у+г т. е.
инверсия произведения переменных есть сумма их инверси Справедливость соотношений (3.60) и (3.60а) для двух переме ' подтверждает табл. 3. 1. Таблаа а а ! а л-~-а л а «ч-ч ( 2 а ~ ° а О ! О О О О $ О В общем случае теоремы де Моргана могут быть представлен виде, предложенном Шенноном: р(х,й,г,..., +, )=Е(х, у, г, ...,, +).
(36 Теорема в таком виде утверждает, что инверсия любой функ ' получается заменой каждой переменной ее инверсией и одновремей взаимной заменой символов сложения и умножения. При практич. ском применении теоремы необходимо строго соблюдать группировк членов, выраженные как явными, так и неявными скобками. В каче-'',' стве примера определим инверсию функции г = хр + ху. По прави-:.', лу (3.61) находим г' = ху + хи = (х + у) (х + и ). Понятия инверсии и инверсного преобразования играют важную роль при синтезе схем. Использование инверсии на определенном этапе синтеза, в частности, приводит иногда к сушественному упрощению функции, а следовательно, и средств ее реализации.
Логические функции Логическая функция может быть записана аналитически различными сочетаниями операций сложения и умножения переменных. Однако с точки зрения представления логической функции и после- 2!О о синтеза логической схемы наиболее удобны формы записи, гду рых функция выражается либо в виде с у м м ы и р о и з,а,цего с ' пр „!!й переменных, либо в аиде произведения их и «от едеи! сук сь логической функции в виде суммы произведений перемеи3апис наывают дизъюпктивной нормальной фор- х + уг + куг + хуг, „зап ись функции в виде произведения сумм — к о н ъ ю и к т и вязи нормальной формой (КНФ): х (х + у)(у + г)(х+ у+ г).
Диверсия любой функции, записанной в дизъюпктивной (когпюнктивяой) нормальной форме, па правилу (3.61) дает замену записи иа конъюнктивную (дизъюяктивную) нормальную форму, Например, инверсия функции г = х + у2 + ху2 имеет вид г" =х (у + г)(х+у+г). Логическую функцию, заданную любым аналитическим выражением, можно преобразовать к ДНФ или КНФ, пользуясь правилами алгебры логики. Для каждой логической функции может существовать несколько равносильных дизъюнктивиых и конъюнктивных форм. Вместе с тем имеется только один вид ДНФ и КНФ, в которых функция может быть записана единственным образом (с о в е р ш е нные нормальные формы). В совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ) каждое входящее слагаемое включает все переменные (с инверсиями и без них) и нет одинаковых слагаемых.
В с о в е р ш е н н о й к о н ъюнктивной нормальной форме (СКНФ)каждыйвходящий сомпожнтель включает все переменные (с инверсиями и без иих) и нет одинаковых сомножителей. Логическая функция наиболее наглядно н полно представляется так называемой таблицей соответствия или истинн ос т и, в которой для каждой комбинации значений переменных указывается значение функции. Таким образом, таблица истинности определяет алгоритм работы создаваемой цифровой схемы.
От табличного представления функции переходят к аналитической записи ее в СДНФ или СКНФ. Пусть в качестве примера функция Е' задана в виде табл. 3.2. Для комбинаций переменных 2, 7, 8 функция Р истинна (т. е. Р = 1), что означает для указанных комбинаций равенство единице следующих произведений: хуг = 1, хуг = 1 и хуг = 1. Комбинации переменных, ф 2!1 Табл Номер комбииаиии при которых функция истинна, называют к о н с т и т у е н т е д и н и ц ы или м и н т е р м а м и.
Представление логич функции в виде суммы минтермов определяет ее СДНФ, т. е. в да случае г =-хуг+ хуг + хуг . (; Функция, определяемая таблицей истинности, может быть и ставлена не только ее единичными, но и нулевыми значениями. на основании табл. 3.2 рассматриваемая функция ложна (Г = () 7 = 1), если истинно каждое из произведеяий хд г, хдг, хуг, ху г хдг, т, е. г" = х у г + ху г т хуг -~ ху г + ху г.
(3, Воспользовавшись законом ингерсии, приходим к записи функ в СКНФ: г" = (х ~- д + г) (х -~- у + г) (х + у + г ) (х + д + г) (х + у + г ). (3. Каждый сомножятель в соотношении (3.64) состоит из суммы пе' менных, для которых функция обращается в нуль в соответствии таблицей истинности. Такие суммы называют к о н с т и т у е и т",, м и н у л я или м а к с те р м а м и. Таким образом, произведение'' макстермов определяет СКНФ функции. Минимизация функции М и н и м и з а ц и я (упрощение формы записи) функции являета ся важной огерацией при синтезе логической схемы, так кгк благодаря предварительно проведенной минимизапии схема реализуется с наименьшим числом элементов.
Выявить и устранить избыточность в записи функции можно путем ее преобразований с использованием аксиом, законов, тождеств в теорем алгебры логики. Однако такие преобразования требуют гро моздких выкладок и связаны с большой затратой времени. Современная алгебра логики располагает рядом приемов, разработанных на основе ее правил, позволяющих производить минимиза 2!2 д 1 сс дг и 1с ЮП Д1 11 1С луг гуй гуг г луг луг луг Ууг 00 гуг б) а) рис. 3.20. Карта Карно функции для двух (а),трех (б) я четырех (в) пе- ременных Каждый минтерм изображается иа карте в виде клетки.
Карта образуется путем такого расположения клеток, при котором минтермы с о с е д и и х к л е т о к отличаются только значением одной переменной. В связи с указанным соседними считаются такзсе крайние клетки казсдого столбца или строки. Символ «1» характеризует прямое значение переменной, а «О» — ее инверсное значение. Минтермы минимизируемой функции отмечают единицами в соответствующих клетках карты. Минтермы, не входящие в функцию, отмечают в клетках нулями илн оставляют клетки пустымн.
На основании распределительного закона (3.58), а также аксиом ! и 4 в (3.55) два иинтерма, находящиеся в соседних клетках, могут быть заменены одним логическим произведением, содержащим нз одну переменную меньше. Если соседними являются две пары минтермов, то такая группа нз четырех минтермов может быть заменена произведением, содержащим уже на две переменные меньше, и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
