метода4 (устойчивость) (963636), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Им соответcтвует изгиб стержня по синусоиде с несколькими полуволнами, который получается в том случае, если изгиб по синусоиде с одной полуволной почему-либо невозможен, например из-за наличияпромежуточных связей.Следует обратить внимание на то, что постоянная A, а следовательно, иформа изогнутой оси стержня остались неопределенными.Если применить для исследования продольного изгиба не приближенное,а точное дифференциальное уравнение изогнутой оси, то оказывается возможным определить не только величину критической силы, но и зависимость между сжимающей силой и прогибом стержня.3. ВЛИЯНИЕ СПОСОБА ЗАКРЕПЛЕНИЯ КОНЦОВ СТЕРЖНЯНА ВЕЛИЧИНУ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫЧаще всего концы стержня закрепляют одним из четырех способов, показанных на рис.
4.Первый способ – шарнирное закрепление обоих концов – рассмотрен нами при выводе формулы Эйлера.При других способах закрепления обобщенная формула Эйлера для определения критической силы имеет видπ 2 EI min,(6)Pкр =(µ ⋅ l )2где µ – коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа закрепления концов стержня (см. рис. 4);l o = µl – приведенная длина стержня.Чем меньше µ, тем больше критическая, а следовательно, и допускаемаянагрузка стержня. Например, нагрузка стержня, с двумя заделанными концами,может быть в 16 раз больше нагрузки стержня, с одним заделанным концом,поэтому там, где возможно, следует осуществлять жесткую заделку обоих концов стержня.
Однако это не всегда можно осуществить на практике. Элементы,к которым прикрепляются концы рассматриваемого стержня, всегда более илименее упруго–податливы, что вносит некоторую неопределенность в расчет.Поэтому весьма часто даже при жестком соединении концов стержня с другими7элементами расчет в запас прочности ведут, предполагая шарнирное закрепление обоих концов.Рис. 44. ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРАФормулой Эйлера не всегда можно пользоваться. При ее выводе мыпользовались приближенным дифференциальным уравнением изогнутой осибалки, вывод которого основан на законе Гука.
Закон же Гука справедлив дотех пор, пока напряжения не превосходят предела пропорциональности.Для того, чтобы установить пределы применимости формулы Эйлера, определим критическое напряжение, т.е. напряжение, возникающее в поперечномсечении стержня при действии критической нагрузки,Pкр π 2 EI min,(7)σ кр ==2A(µl ) Aгде A – площадь поперечного сечения стержня.8I min– наименьший радиус инерции поперечного сечения стержAня, поэтому формулу (7) можно записать в видеπ2Eσ кр =.2 µl i min µlВеличинахарактеризует влияние размеров стержня и способа заi minкрепления концов; она называется гибкостью стержня и обозначается λ. Гибкость – величина безразмерная.Таким образом, обозначаяµlλ=,i minполучаемπ2Eσ кр =.(8)2λЧтобы можно было пользоваться формулой Эйлера, необходимо удовлетворить следующему условию:π2 Eσ кр =≤ σ пц .(9)2λгде σ пц – предел пропорциональности материала стержня.
Записываяформулу (9) относительно гибкости, получаем условие применимости формулыЭйлера в видеπ2Eλ≥(10)σ пцНо imin =Вводя обозначение предельной гибкостиλ пр =π2 E, получаем слеσ пцдующее условие применимости формулы Эйлераλ ≥ λ прНапример, для стали Ст.3 σпц = 200 МПа и3,14 2 ⋅ 2 ⋅ 10 5λ пр == 100 .200Таким образом, для стержней из малоуглеродистой стали формула Эйлера применима, если их гибкость больше 100.9Аналогичным образом можно получить предельные гибкости для другихматериалов:• для дерева (сосна) λпр = 110;• для чугуна λпр = 80.5.
ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯКРИТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙЕсли, как это очень часто случается на практике, гибкость стержней будетменьше предельной, то формула Эйлера становится неприменимой, так каккритические напряжения превзойдут предел пропорциональности и закон Гукапотеряет силу.В этих случаях обычно пользуются следующей эмпирической формулой,полученной русским ученым Ф.С.
Ясинским на основании многочисленныхопытов, проведенных рядом исследователей, которая для стали и дерева имеетвидσ кр = a − bλ ,(11)для чугунаσ кр = a − bλ + cλ2 ,(12)где a, b и с – коэффициенты, зависящие от материала.Для стали Ст.3 коэффициенты a и b равны: a = 310 МПа, b = 1,14 МПа.Для дерева (сосна): a = 29,3 МПа, b = 0,194 МПа.Для чугуна: a = 776 МПа, b = 12 МПа, с = 0,053 МПа .График зависимости критических напряжений от гибкости стержня длямалоуглеродистой стали Ст.3 показан на рис.
5. Из рисунка видно, что при гибкости меньше 40 стержни на устойчивость рассчитывать не нужно.Рис. 5106. ПРАКТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ РАСЧЕТА НАУСТОЙЧИВОСТЬВместо двух формул Эйлера и Ясинского, каждая из которых пригоднадля определенного диапазона гибкостей, удобнее иметь одну формулу, которойможно было бы пользоваться при любой гибкости стержня.Эта практическая формула имеет видP(13)σ = ≤ σyAгде [σy] – допускаемое напряжение при расчете на устойчивость;A – площадь поперечного сечения стержня без учета ослаблений (отверстий под болты, заклепки и т.п.).σ y = ϕ[σ c ](14)[ ][ ]где[σс] – основное допускаемое напряжение на сжатие;ϕ – коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения(иликоэффициент продольного изгиба).Тогда формулу расчета на устойчивость можно записать в виде:Pσ=≤ [σ c ]ϕ⋅ A(15)Основное допускаемое напряжение на сжатие [σс] равно[σ c ] = σ оп ,nгде σоп – опасное напряжение для материала, принимаемое равным пределутекучести для пластичных материалов или пределу прочности на сжатие дляхрупких материалов.Коэффициент продольного изгибаϕ=[σ y ] =[σ с ]ϕравен (см.
(14))σ крn y [σ с ].Величина ϕ зависит от материала и гибкости стержня и определяется потаблице (с. 12).По формуле (15) производят следующие виды расчетов:1. Проверка устойчивости стержня.Заданы P, [σс], l, размеры поперечного сечения.• Зная размеры, находим площадь A и минимальный радиус инерции imin.µl• Определяем гибкость стержня λ =.i min• По таблице находим коэффициентϕ = ϕ (λ).11•Проверяем устойчивость стержня: σ =Гибкость,µlλ=i min0102030405060708090100110120130140150160170180190200P≤ [σ с ].ϕ⋅ AКоэффициенты ϕСт. 2Ст.
3Ст. 41,000,990,960,940,920,890,860,810,750,690,600,520,450,400,360,320,290,260,230,210,19Ст. 5ЧугунДерево1,000,980,950,920,890,860,820,760,700,620,510,430,360,330,290,260,240,210,190,170,161,000,970,910,810,690,570,440,340,260,200,16––––––––––1,000,990,970,930,870,800,710,600,480,380,310,250,220,180,160,140,120,110,100,090,082.
Определение допускаемой нагрузки на стержень (грузоподъемность стержня).Заданы[σс], l, размеры поперечного сечения.• Зная размеры находим площадь A и минимальный радиус инерции imin.µl.• Определяем гибкость стержня λ =i min• По таблице находим коэффициент ϕ = ϕ (λ).• Определяем грузоподъемность стержня: [P ] = ϕA[σ с ].3. Подбор поперечного сечения стержня.Заданы P, [σс], l, форма сечения стержня.12В формуле (15) два неизвестных: A и ϕ . Коэффициент ϕ зависит от гибµlкости λ =, imin – неизвестен.i minЗадачу решаем методом последовательных приближений:1. Задаемся величиной коэффициента ϕ1 (рекомендуемое значение ϕ1 = 0,5).2. По формуле (15) определяем площадь поперечного сечения стержняPA≥.ϕ1 [σ с ]3. Зная площадь, подбираем сечение (определяем размеры) и находим imin.µl4. Вычисляем гибкость стержня λ =.i min5.
По таблице находим новое значение коэффициента продольного изгиба ϕ2.6. Если разница между ϕ1 и ϕ2 меньше 5 %, то расчет заканчиваем. В противϕ + ϕ2ном случае принимаем новое значение ϕ1 = 1и расчет повторяем, на2чиная с пункта 2).Пример 1. Для стойки, нагруженнойпродольной силой P, определить:1) критическую силу;2) допускаемую нагрузку на стойку;3) коэффициент запаса устойчивости.Если [σ] = 160 МПа, l = 3 м.Стойка изготовлена из уголка140×140×10 мм.Решение. Определяем по сортаментугеометри-ческие характеристики уголка, необходимые для расчета:А = 27,3 см2, I min = I y = 211 см4.oimin = i yo = 2,78 см.Рис.
62. Определяем критическую силу.Вычисляем гибкость стержня:µl1⋅ 3λ=== 108 > λ пр = 100 .i min 2,78 ⋅ 10 − 2Определяем критические напряжения по формуле Эйлера:π 2 EI min 3,14 2 ⋅ 2 ⋅ 10 8 ⋅ 211 ⋅ 10 − 8Pкр === 461 кН.22(µl )(1 ⋅ 3)133. Определяем допускаемую нагрузку на стойку.Определяем коэффициент продольного изгиба по таблице (с.
12) для стали марки Ст. 3 и гибкости λ = 108.По таблице находим для λ1 = 100, ϕ1 = 0,6; для λ2 = 110, ϕ2 = 0,52. Промежуточное значение определяем по линейной интерполяции:ϕ − ϕ2ϕ = ϕ1 − 1(λ − λ1 ),λ 2 − λ10,6 − 0,52ϕ = 0,6 −(108 − 100) = 0,536 .110 − 100[P] = ϕA[σ с ] = 0,536 ⋅ 27,3 ⋅ 10 − 4 ⋅ 160 ⋅ 10 3 = 234 кН.4. Находим коэффициент запаса устойчивостиPкр 461ny === 1,97 .[P] 234Пример 2. Для стойки, нагруженной продольной силой P, определить:1) размер a из условия равноустойчивости;2) критическую силу;3) допускаемую нагрузку настойку;4) коэффициент запаса устойчивости.Если [σс] = 160 МПа.Стойка изготовлена из двухшвеллеров № 16.Рис.
7Решение. Определяем по сортаменту геометрические характеристики//швеллера, необходимые для расчета: I x = 747 см4, I y = 63,3 см4,1A / = 18,1 см2, xo = 1,8 см.1. Находим размер a из условия равноустойчивости.Стержень равноустойчив, если гибкости в направлении осей x и y одина-ковы:λ=µli min⇒µl µl=ix i y⇒ ix = iy ⇒14Ix=AIyA⇒ Ix = Iy.Вычислим моменты инерции относительно главных центральных осей:Ix = 2 I x/ = 2 ⋅ 747 = 1494 см4.aa/22+ xo) A ) = 2 (63,3 + ( + 1,8) ⋅ 18,1).122Приравниваем моменты инерции/Iy = 2 ( I y + (2 (63,3 + (a2+ 1,8) ⋅ 18,1) = 1494.2Решая, находим a1 = 8,7 см, a2 = –15,9 см.Отрицательное значение нас не интересует, следовательно, a = 8,7 см.2. Определяем критическую силу.µlВычисляем гибкость стержня λ =.i minСтержень равноустойчив, следовательно, imin = ix = iy , а ix =Ix.AНаходим площадь стержня A = 2 A / = 2 ⋅ 18,1 = 36,2 см2.Тогда imin = ix =λ=µli min=Ix1494== 6, 42 см иA36, 20,7 ⋅ 4= 43,6 < λ пр = 100 .2−6,42 ⋅ 10Определяем критические напряжения по формуле Ясинского для сталиPкр = σ кр ⋅ A = (a − bλ )A == ( 310 − 114, ⋅ 43,6) ⋅ 103 ⋅ 36,2 ⋅ 10 −4 = 942,3 кН.3.
Определяем допускаемую нагрузку на стойку.PИз условия устойчивости σ =≤ [σ с ], получаемϕA[P] = ϕA[σ с ],где ϕ – коэффициент продольного изгиба (определяем по таблице (с.12) длястали марки Ст. 3 и гибкости λ = 43,6).По таблице находим для λ1 = 40, ϕ1 = 0,92; для λ2 = 50, ϕ2 = 0,89. Промежуточное значение определяем по линейной интерполяции:0,92 − 0,89ϕ = 0,92 −(43,6 − 40) = 0,91 .50 − 40[P] = 0,91⋅ 36,2 ⋅10−4 ⋅160 ⋅103 = 527,1 кН.4. Находим коэффициент запаса устойчивости:Pкр 942,3ny === 1,79 .[P] 527,115Пример 3. Подобрать сечение стойки в виде двутавра из условия устойчивости. Материал стойки Ст.3, [σc] = 160 МПа.Задачу решаем методом последовательныхприближений.Принимаем в первом приближении ϕ = 0,4.1-я итерацияОпределяем площадь поперечного сечениястойки:P250A≥== 3,91 ⋅ 10 − 3 м 2 = 39,1 см2.ϕ[σ с ] 0,4 ⋅ 160 ⋅ 10 3По сортаменту подбираем двутавр № 27(А = 40,2 см2, imin = 2,54 см).Рис. 8Определяем гибкость стойки:2 ⋅ 2,2µlλ=== 173,23 .i min 2,54 ⋅ 10 − 2По таблице (с.12) находим коэффициент продольного изгиба ϕ .Для λ1 = 170 ϕ1 = 0,26; для λ2 = 180 ϕ2 = 0,23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
