Кирюшин О.В. - Управление техническими системами - курс лекций (962906), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Процесс получения передаточной функции объекта, исходя из данных о переходном процессе, называется идентификацией объекта.

Предположим, что при подаче на вход некоторого объекта ступенчатого воздействия была получена переходная характеристика (см. рис. 1.26). Требуется определить вид и параметры передаточной функции.

П редположим, что передаточная функция имеет вид

,

(инерционной звено с запаздыванием).

Параметры передаточной функции:

К - коэффициент усиления,

Т - постоянная времени,

 - запаздывание.

Коэффициентом усиления называется величина, показывающая, во сколько раз данное звено усиливает входной сигнал (в установившемся режиме), и равна отношению выходной величины у в установившемся режиме ко входной величине х:

,

Установившееся значение выходной величины у_уст - это значение у при t  .

Запаздыванием  называется промежуток времени от момента изменения входной величины х до начала изменения выходной величины у.

Постоянная времени Т может быть определена несколькими методами в зависимости от вида передаточной функции. Для рассматриваемой передаточной функции 1-го порядка Т определяется наиболее просто: сначала проводится касательная к точке перегиба, затем находятся точки пересечения с осью времени и асимптотой y_уст; время Т определяется как интервал времени между этими точками.

В случае, если на графике между точкой перегиба имеется вогнутость, определяется дополнительное запаздывание _доп, которое прибавляется к основному:  =  + _доп.

2.7. Частотные характеристики.

2.7.1 Определение частотных характеристик.

Известно, что динамические процессы могут быть представлены частотными характеристиками (ЧХ) путем разложения функции в ряд Фурье.

Предположим, имеется некоторый объект и требуется определить его ЧХ. При экспериментальном снятии ЧХ на вход объекта подается синусоидальный сигнал с амплитудой А_вх = 1 и некоторой частотой , т.е.

x(t) = А_вхsin(t) = sin(t).

Тогда после прохождения переходных процессов на выходе мы будем также иметь синусоидальный сигналтой же частоты , но другой амплитуды А_вых и фазы :

у(t) = А_выхsin(t + )

При разных значениях  величины А_вых и , как правило, также будут различными. Эта зависимость амплитуды и фазы от частоты называется частотной характеристикой. Виды ЧХ:

• А ФХ - зависимость амплитуды и фазы от частоты (изображается на комплексной плоскости);

• АЧХ - зависимость амплитуды от частоты;

• ФЧХ - зависимость фазы от частоты;

• ЛАХ, ЛАЧХ - логарифмические АЧХ.

На комплексной плоскости входная величина x = А_вх^.sin(t) для каждого момента времени t_i определяется вектором х на комплексной плоскости. Этот вектор имеет длину, равную А_вх, и отложен под углом t_i к действительной оси. (Re - действительная ось, Im - мнимая ось)

Тогда величину х можно записать в комплексной форме

х(t) = А_вх(cos(t) + j^.sin(t)),

где j = - мнимая единица.

Или, если использовать формулу Эйлера e^j = cos + j^.sin, то можно записать

х(t) = А_вх^.e^jt.

Выходной сигнал y(t) можно аналогично представить как вектор

y(t) = А_вых^.e^j(t+).

Рассмотрим связь передаточной функции и частотной характеристики.

Определим производные по Лапласу:

у  Y

у’  sY

у”  s²Y и т.д.

Определим производные ЧХ:

у’(t) = j А_выхе^{j(t + )} = j у,

у”(t) = (j)² А_выхе^{j(t + )} = (j)² у и т.д.

Отсюда видно соответствие s = j. Вывод: частотные характеристики могут быть построены по передаточным функциям путем замены s = j.

Пример: .

При s = j имеем:

= = = =

= - j = Re() + j Im().

Изменяя  от 0 до , можно построить АФХ (см. рис.). 

Д ля построения АЧХ и ФЧХ используются формулы:

, .

Формулы получения АФХ по АЧХ и ФЧХ:

Re() = A() cos (),

Im() = A() sin ().

2.7.2 Логарифмические частотные характеристики.

Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) используются довольно часто для описания динамических параметров различных устройств. Существуют два основных вида ЛЧХ, которые, как правило, используются совместно и изображаются в виде графиков:

1) ЛАЧХ - логарифмическая АЧХ.

Ф ормула для построения ЛАЧХ: L() = 20^.lg A_вых().

Единица измерения - децибел (дБ).

На графике ЛАЧХ по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе. Это означает, что равным величинам отрезков по оси  соответствуют кратные значения частоты. Для ЛЧХ кратность = 10.

По оси ординат откладываются значения L() в обычном масштабе.

2) ЛФЧХ - логарифмическая ФЧХ. Представляет из себя ФЧХ, у которой ось частоты  проградуирована в логарифмическом масштабе в соответствии с ЛАЧХ. По оси ординат откладываются фазы .

Примеры ЛЧХ.

1. Фильтр низких частот (ФНЧ)

ЛАЧХ ЛФЧХ Пример цепи

Фильтр низких частот предназначен для подавления высокочастотных воздействий.

2. Фильтр высоких частот (ФВЧ)

ЛАЧХ ЛФЧХ Пример цепи

Фильтр высоких частот предназначен для подавления низкочастотных воздействий.

3. Заградительный фильтр.

Заградительный фильтр подавляет только определенный диапазон частот

ЛАЧХ и ЛФЧХ Пример цепи

.

3. Качество процессов управления.

3.1. Критерии устойчивости.

3.1.1 Устойчивость.

Важным показателем АСР является устойчивость, поскольку основное ее назначение заключается в поддержании заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменение его по определенному закону. При отклонении регулируемого параметра от заданной величины (например, под действием возмущения или изменения задания) регулятор воздействует на систему таким образом, чтобы ликвидировать это отклонение. Если система в результате этого воздействия возвращается в исходное состояние или переходит в другое равновесное состояние, то такая система называется устойчивой. Если же возникают колебания со все возрастающей амплитудой или происходит монотонное увеличение ошибки е, то система называется неустойчивой.

Для того, чтобы определить, устойчива система или нет, используются критерии устойчивости:

1) корневой критерий,

2) критерий Стодолы,

3) критерий Гурвица,

4) критерий Найквиста,

5) критерий Михайлова и др.

Первые два критерия являются необходимыми критериями устойчивости отдельных звеньев и разомкнутых систем. Критерий Гурвица является алгебраическим и разработан для определения устойчивости замкнутых систем без запаздывания. Последние два критерия относятся к группе частотных критериев, поскольку определяют устойчивость замкнутых систем по их частотным характеристикам. Их особенностью является возможность применения к замкнутым системам с запаздыванием, которыми является подавляющее большинство систем управления.

3.1.2 Корневой критерий.

Корневой критерий определяет устойчивость системы по виду передаточной функции. Динамической характеристикой системы, описывающей основные поведенческие свойства, является характеристический полином, находящийся в знаменателе передаточной функции. Путем приравнивания знаменателя к нулю можно получить характеристическое уравнение, по корням которого определить устойчивость.

Корни характеристического уравнения могут быть как действительные, так и комплексные и для определения устойчивости откладываются на комплексной плоскости (см. рис. 1.34).

( Символом обозначены корни уравнения).

В иды корней характеристического уравнения:

- Действительные:

положительные (корень № 1);

отрицательные (2);

нулевые (3);

- Комплексные

комплексные сопряженные (4);

чисто мнимые (5);

По кратности корни бывают:

одиночные (1, 2, 3);

сопряженные (4, 5): s_i =   j;

кратные (6) s_i = s_i+1 = …

Корневой критерий формулируется следующим образом:

Линейная АСР устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Если хотя бы один корень находится на мнимой оси, которая является границей устойчивости, то говорят, что система находится на границе устойчивости. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости (не зависимо от числа корней в левой), то система является неустойчивой.

Иными словами, все действительные корни и действительные части комплексных корней должны быть отрицательны. В противном случае система неустойчива.

Пример 3.1. Передаточная функция системы имеет вид:

.

Характеристическое уравнение: s³ + 2s² + 2.25s + 1.25 = 0.

Корни: s₁ = -1; s₂ = -0,5 + j; s₃ = -0,5 - j.

Следовательно, система устойчива. 

Характеристики

Список файлов лекций