Кирюшин О.В. - Управление техническими системами - курс лекций (962906), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

3.1.3 Критерий Стодолы.

Этот критерий является следствием из предыдущего и формулируется следующим образом: Линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического полинома положительны.

То есть, для передаточная из примера 3.1 по критерию Стодола соответствует устойчивой системе.

3.1.4 Критерий Гурвица.

Критерий Гурвица работает с характеристическим полиномом замкнутой системы. Как известно, структурная схема АСР по ошибке имеет вид (см. рис.)

W_p - передаточная функция регулятора,

W _y - передаточная функция объекта управления.

Определим передаточную функцию для прямой связи (передаточную функцию разомкнутой системы, см. п. 2.6.4): W_ = W_p W_y.

Далее с учетом наличия отрицательной обратной связи получаем передаточную функцию замкнутой системы:

.

Как правило, передаточная функция разомкнутой системы имеет дробно-рациональный вид:

.

Тогда после подстановки и преобразования получаем:

.

Отсюда следует, что характеристический полином замкнутой системы (ХПЗС) можно определить как сумму числителя и знаменателя W_:

D_з(s) = A(s) + B(s).

Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица таким образом, чтобы по главной диагонали были расположены коэффициенты ХПЗС с a_n+1 по a₀. Справа и слева от нее записываются коэффициенты с индексами через 2 (a₀, a₂, a₄… или a₁, a₃, a₅ …). Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были больше нуля.

Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находится на границе устойчивости.

Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива не зависимо от числа положительных или нулевых определителей.

Пример. Дана передаточная функция разомкнутой системы

.

Требуется определить устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица.

Для этого определяется ХПЗС:

D(s) = A(s) + B(s) = 2s⁴ + 3s³ + s² + 2s³ + 9s² + 6s + 1 = 2s⁴ + 5s³ + 10s² + 6s + 1.

Поскольку степень ХПЗС равна n = 4, то матрица будет иметь размер 4х4. Коэффициенты ХПЗС равны а₄ = 2, а₃ = 5, а₂ = 10, а₁ = 6, а₀ = 1.

Матрица имеет вид:

(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители:

Δ₁ = 5 > 0,

,

Δ₄ = 1* Δ₃ = 1*209 > 0.

Поскольку все определители положительны, то АСР устойчива. ♦

3.1.5 Критерий Михайлова.

Описанные выше критерии устойчивости не работают, если передаточная функция системы имеет запаздывание, то есть может быть записана в виде

,

где  - запаздывание.

В этом случае характеристическое выражение замкнутой системы полиномом не является и его корни определить невозможно. Для определения устойчивости в данном случае используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.

Порядок применения критерия Михайлова:

1) Записывается характеристическое выражение замкнутой системы:

D_з(s) = A(s) + B(s)^.e^-s.

2) Подставляется s = j: D_з(j) =Re() + Im().

3) Записывается уравнение годографа Михайлова D_з(j) и строится кривая на комплексной плоскости.

Д ля устойчивой АСР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова (см. рис.), начинаясь при  = 0 на положительной вещественной полуоси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) при возрастании  от 0 до  n квадрантов, где n - степень характеристического полинома.

Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то говорят, что система находится на границе устойчивости.

3.1.6 Критерий Найквиста.

Данный критерий аналогичен критерию Михайлова, но работает с АФХ системы, поэтому более сложен для расчетов.

Последовательность:

1) Определяется передаточная функция разомкнутой системы .

2) Определяется число правых корней m.

3) Подставляется s = j: W_(j).

4) Строится АФХ разомкнутой системы.

Для устойчивости АСР необходимо и достаточно, чтобы при увеличении  от 0 до  АФХ W_(j) m раз охватывала точку (-1; 0), где m - число правых корней разомкнутой системы.

Если АФХ проходит через точку (-1; 0), то замкнутая система находится на границе устойчивости.

В случае, если характеристическое уравнение разомкнутой системы A(s) = 0 корней не имеет (т.е. m = 0), то критерий, согласно критерию, замкнутая система является устойчивой, если АФХ разомкнутой системы W_(j) не охватывала точку (-1; 0), в противном случае система будет неустойчива (или на границе устойчивости).

3.2. Показатели качества

Если исследуемая АСР устойчива, то может возникнуть вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям. На практике качество регулирования может быть определено визуально по графику переходной кривой, однако, имеются точные методы, дающие конкретные числовые значения.

Показатели качества разбиты на 4 группы:

1) прямые - определяемые непосредственно по кривой переходного процесса,

2) корневые - определяемые по корням характеристического полинома,

3) частотные - по частотным характеристикам,

4) интегральные - получаемые путем интегрирования функций.

3.2.1 Прямые показатели качества.

К ним относятся: степень затухания , перерегулирование , статическая ошибка е_ст, время регулирования t_p и др.

Рис. 1.38

Предположим, переходная кривая, снятая на объекте, имеет колебательный вид (см. рис. 1.38).

Сразу по ней определяется установившееся значение выходной величины у_уст.

Степень затухания  определяется по формуле

,

где А₁ и А₃ - соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной кривой.

Перерегулирование  = , где y_max - максимум переходной кривой.

Статическая ошибка е_ст = х - у_уст, где х - входная величина.

Время достижения первого максимума t_м определяется по графику.

Время регулирования t_p определяется следующим образом: Находится допустимое отклонение  = 5% у_уст и строится «трубка» толщиной 2. Время t_p соответствует последней точке пересечения y(t) с данной границей. То есть время, когда колебания регулируемой величины перестают превышать 5 % от установившегося значения.

3.2.2 Корневые показатели качества.

К ним относятся: степень колебательности m, степень устойчивости  и др.

Не требуют построения переходных кривых, поскольку определяются по корням характеристического полинома. Для этого корни полинома откладываются на комплексной плоскости и по ним определяются:

Степень устойчивости  определяется как граница, правее которой корней нет, т.е.

 = min ,

где Re(s_i) - действительная часть корня s_i.

Степень колебательности m рассчитывается через угол : m = tg . Для определения  проводятся два луча, которые ограничивают все корни на комплексной плоскости.  - угол между этими лучами и мнимой осью. Степень колебательности может быть определена также по формуле:

m = min .

3.2.3 Частотные показатели качества.

Для определения частотных показателей качества требуется построение АФХ разомкнутой системы и АЧХ замкнутой системы.

По АФХ определяются запасы:  - по амплитуде,  - по фазе.

Запас  определяется по точке пересечения АФХ с отрицательной действительной полуосью.

Для определения  строится окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Запас  определяется по точке пересечения с этой окружностью.

По АЧХ замкнутой системы определяются показатели колебательности по заданию М и ошибке М_Е как максимумы соответственно АЧХ по заданию и АЧХ по ошибке.

3.2.4 Связи между показателями качества.

Описанные выше показатели качества связаны между собой определенными соотношениями:

; t_p = ; ; M = .

4. Настройка регуляторов.

4.1. Типы регуляторов.

Для регулирования объектами управления, как правило, используют типовые регуляторы, названия которых соответствуют названиям типовых звеньев:

1) П-регулятор (пропорциональный регулятор)

W_П(s) = K₁.

Принцип действия заключается в том, что он вырабатывает управляющее воздействие на объект пропорционально величине ошибки (чем больше ошибка е, тем больше управляющее воздействие u).

2) И-регулятор (интегрирующий регулятор)

W_И(s) = .

Управляющее воздействие пропорционально интегралу от ошибки.

3) Д-регулятор (дифференцирующий регулятор)

W_Д(s) = K₂ s.

Генерирует управляющее воздействие только при изменении регулируемой веричины:

u = K₂ .

На практике данные простейшие регуляторы комбинируются в регуляторы вида:

4) ПИ-регулятор (пропорционально-интегральный регулятор)

Характеристики

Список файлов лекций