FMP7 (957144)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

68

2.12. Локальный экстремум числовой функции нескольких вещественных переменных

В этом параграфе содержится элементарное изложение вопроса о точках локального экстремума числовой функции векторного аргумента. Слово «локальный» (как и в одномерном анализе) означает, что экстремальные свойства имеют место лишь в некоторой окрестности рассматриваемой точки. Если на векторный аргумент в пределах соответствующей окрестности не накладывается никаких дополнительных ограничений, то говорят о безусловном локальном экстремуме. В противном случае, т.е., когда ставится задача об отыскании точки локального экстремума при условии, что аргумент должен удовлетворять определенным ограничениям, заданным в виде системы уравнений, говорят об условном локальном экстремуме.

Безусловный локальный экстремум

Определение 2.24. Точка из области определения функции называется точкой безусловного локального экстремума, если существует такая окрестность точки , что приращение функции при любом не меняет знака.

Соответственно, если это приращение неотрицательно, то точка называется точкой безусловного локального минимума, если же неположительно, то - точкой безусловного локального максимума.

Если указанное приращение строго положительно (отрицательно), то точка называется точкой строгого безусловного локального минимума (максимума).

Впредь, рассматривая безусловный экстремум, будем, как правило, прилагательное «безусловный» опускать.

Докажем сначала простое необходимое условие локального экстремума.

Теорема 2.8. Если функция дифференцируема в точке , и эта точка есть точка локального экстремума функции , то первый дифференциал функции в этой точке обращается в нуль: .

Доказательство. Для дифференцируемой функции ее приращение в точке представимо в виде:

.

По условию найдется такое , что это приращение не меняет знака. Предположим тогда, что при этом . Вектор всегда можно выбрать так, что как точка , так и точка принадлежат той окрестности точки , в которой приращение функции не меняет знака (см рис. 2.15). Но если , то , а так как слагаемое не влияет на знак всего приращения, то приращение функции в рассматриваемой окрестности точки меняет знак. Полученное противоречие и доказывает теорему.

Рис. 2.15

Определение 2.25. Точка называется стационарной точкой функции ( дифференцируемой в ), если .

Из теоремы 2.8 следует, что точка локального экстремума функции является ее стационарной точкой. Обратное, конечно, неверно, что показывает простой пример: точка является стационарной точкой функции , но не является точкой ее локального экстремума (почему?).

Достаточное условие локального экстремума мы докажем в предположении, что исследуемая функция является достаточно гладкой в некоторой окрестности стационарной точки.

Теорема 2.9. Если - стационарная точка функции , для некоторой окрестности точки , и , то - точка строгого локального минимума (максимума) функции .

Доказательство. По теореме 2.7 можно написать:

.

Так как - стационарная точка функции , то , и, следовательно, знак приращения функции в точке определяется знаком ее второго дифференциала в этой точке.

Теорема доказана.

Практически для определения знака второго дифференциала достаточно применить критерий Сильвестра (п. 1.17, теорема 1.18) к матрице Гессе функции в исследуемой точке.

Таким образом, может быть предложена следующая схема исследования функции на локальный экстремум.

1. Найти все стационарные точки функции из условия (или, что равносильно, ).

2. Для каждой стационарной точки выяснить знакоопределенность квадратичной формы второго дифференциала .

3. В тех точках, в которых указанная форма положительно (отрицательно) определена, имеет место строгий локальный минимум (максимум).

4. В тех точках, где квадратичная форма второго дифференциала является формой общего вида, экстремума нет.

5. В тех точках, где форма полуопределена, требуется дополнительное исследование.

Это дополнительное исследование нуждается в комментарии. Рассмотрим пример. Зададим функцию двух переменных

Вычисляя частные производные, получим:

Из условия равенства их нулю будем иметь:

откуда .

Вычислим вторые производные:

Поэтому второй дифференциал в произвольной точке будет равен

Матрица Гессе в точке равна , и

Сразу видно, что второй дифференциал в данной точке положительно полуопределен, причем при он обращается в нуль (это соответствует вектору приращения аргумента ). Следовательно, по направлению, задаваемому этим вектором, приращение функции не может быть вычислено, если ограничиться только вторым дифференциалом. Попробуем тогда найти третий дифференциал нашей функции в этой точке. Имеем:

(вычисляем частные производные от выражения второго дифференциала, считая приращения переменных константами!).

Итак, третий дифференциал не зависит от точки и равен

.

При получаем , что, очевидно, меняет знак (при изменении знака приращения первой переменной).

Следовательно, в точке исследуемая функция экстремума не имеет.

Точка рассматривается аналогично.

Таким образом, если по некоторым направлениям второй дифференциал функции в исследуемой стационарной точке обращается в нуль, а сама функция имеет дифференциалы третьего и более высоких порядков, то можно предложить такой метод дополнительного исследования.

Вычисляем третий дифференциал - если он (при равенстве нулю второго дифференциала) отличен от нуля, то экстремума нет (так как третий и любой дифференциал нечетного порядка есть нечетная функция приращений независимых переменных); иначе вычисляем четвертый дифференциал. Если он строго положителен (отрицателен), то имеем в точке локальный минимум (максимум). Если же он по некоторым направлениям обращается в нуль, то вычисляем пятый дифференциал и т. д. Другими словами, если наименьшее такое, что , нечетно, то экстремума в точке у функции нет; если же четно, то (при строгой положительности или отрицательности дифференциала порядка ), то имеет место локальный экстремум.

Условный локальный экстремум

Поставим задачу об отыскании точек локального экстремума функции

(1)

при дополнительном ограничении, состоящем в том, что искомая точка должна удовлетворять системе уравнений вида:

(2)

Уравнения (2) называются уравнениями связи.

В векторной форме задача (1) - (2) может быть переписана так: найти точки локального экстремума функции (1) при выполнении векторного уравнения , где . Уравнения связи (2) (или одно векторное уравнение связи) определяют подмножество точек в пространстве , в котором производится поиск точек экстремума.

Более подробно, следует, конечно, определить понятие точки условного локального экстремума.

Определение 2.26. Точка из области определения функции (1) называется точкой условного локального экстремума при выполнении уравнений связи (2), если существует такая окрестность точки , что приращение функции для любого такого , что и не меняет знака.

Совершенно аналогично безусловному случаю вводятся понятия условного локального минимума и максимума, а также понятие строгого условного локального экстремума.

Решение задачи об условном экстремуме может резко отличаться от решения задачи о безусловном экстремуме для одной и той же функции. Например, линейная функция вовсе не имеет точек локального безусловного экстремума, но если мы поставим задачу об условном экстремуме для этой функции при уравнении связи , то даже чисто геометрический анализ показывает, что эта задача имеет решение, так как здесь уже рассматриваются не все точки плоскости, которая является графиком нашей функции, а точки линии пересечения плоскости с цилиндром, уравнение которого есть уравнение связи. Плоскость наклонена под углом 45° к координатной плоскости и проходит через начало координат; следовательно, эллипс, являющийся линией пересечения этой плоскости с цилиндром, ось которого перпендикулярна плоскости , имеет «наивысшую» точку и «наинизшую» точку - это и будут искомые точки условного локального экстремума. На рис. 2.16 изображено сечение описанной «конструкции» плоскостью . Точно такая же «картинка» будет и в сечении плоскостью .

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)