FMP5 (957139), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Можно доказать индукцией, что 
-ый дифференциал представляется в виде суммы:
. (6)
При 
(первый дифференциал) выражение (6) есть линейная (1-) форма, при 
(второй дифференциал) - квадратичная (2-)форма. В общем случае это выражение называется степенной ( -) формой от переменных 
. Коэффициенты в сумме (6), содержащей, очевидно, 
слагаемых, называются частными производными порядка функции 
. По определению
Эта производная обозначается также и как 
. В случае непрерывности этих производных их значение не зависит от порядка дифференцирования.
Определение 2.23. Функция называется функцией класса 
(записывают 
), если она имеет в каждой точке множества 
все дифференциалы до -ого включительно, причем дифференциал 
непрерывен в каждой точке множества .
Нетрудно понять, что при мы получим непрерывно дифференцируемую на функцию, т.е. функцию класса 
(определения 2.17 и 2.18, п. 2.6).
Функцию класса называют также гладкой функцией класса гладкости (на множестве ). Говорят, что функция есть функция класса гладкости ¥, если она принадлежит множеству для каждого 
(это записывают еще так: 
). Такую функцию называют также просто гладкой.
Поверхность 
, где 
, называют гладкой поверхностью класса гладкости , если 
, где 
- область определения функции 
. Если 
, то указанная поверхность называется просто гладкой. При 
получаем гладкую кривую.
Практически все поверхности и кривые, которые мы рассматриваем, являются гладкими - таковы, в частности, все линейные многообразия и поверхности второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
