LINALG4 (957112), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Доказательство. Отображение из в определим так:

. (2)

(т.е., если расписать подробно, через координаты, то

).

Линейность данного отображения легко проверяется.

То, что матрица в данной паре базисов совпадает с , следует непосредственно из выражения (2).

Теорема доказана.

Таким образом, не только линейный оператор имеет матрицу в данной паре базисов, но и любая матрица определяет - при фиксированной паре базисов - линейный оператор. Это соответствие того же порядка, что и соответствие между любыми векторами, элементами конечномерных линейных пространств, и арифметическими векторами.

Последнее наблюдение может быть выражено и строго алгебраически, в терминах изоморфизма линейных пространств.

С этой целью необходимо установить соответствие между алгеброй линейных операторов и матричной алгеброй. Это соответствие оформим в виде следующей теоремы:

Теорема 1.5 Имеют место следующие соотношения (для любых линейных операторов и любого действительного числа ):

3. (матрица нулевого оператора - нулевая)

4. (матрица тождественного оператора - единичная)

(Более подробно: линейный оператор обратим тогда и только тогда, когда, когда его матрица в любой паре базисов обратима, причем матрица обратного оператора есть обратная к матрице исходного оператора).

Доказательство сводится к простой проверке.

Следствие 1.3 , где .

Итак, подобно тому, как любое конечномерное линейное пространство изоморфно арифметическому векторному пространству подходящей размерности, так пространство линейных операторов, действующих из одного конечномерного линейного пространства в другое, изоморфно пространству матриц подходящего размера (см. п. 1.1). В этом смысле линейные операторы и матрицы можно в конечномерном случае отождествить, как можно отождествить в том же случае произвольные векторы и арифметические векторы.

1.10. Ортогональное дополнение

Определение 1.16 Пусть - подпространство евклидова пространства .

Ортогональным дополнением подпространства называется такое множество векторов , что .

Утверждение 1.11 Ортогональное дополнение есть подпространство (каково бы ни было подпространство ).

Доказательство. Из свойств скалярного умножения ясно, что для любых (каков бы ни был вектор ). Тем самым вместе с любыми двумя векторами ортогональное дополнение содержит их сумму. Аналогично - для умножения на число.

Утверждение 1.12 Для любых ненулевых векторов и .

Доказательство очевидно.

Утверждение 1.13

Доказательство. Предположим, что существует ненулевой вектор . Тогда должно быть , что невозможно.

Утверждение 1.14

Утверждение 1.15 .

Доказательство 1.14 и 1.15 очевидно.

Пусть теперь в подпространстве задан ортонормированный базис . Введем также ортонормированный базис во всем пространстве : , и пусть - обычное разложение системы по базису . Тогда, если вектор , то тогда и только тогда, когда столбец есть решение однородной системы

(1)

(действительно, каждый столбец матрицы есть столбец координат соответствующего вектора базиса в базисе , а при скалярном перемножении векторов , заданных разложениями в ортонормированном базисе .

Размерность пространства решений системы (1) равна . Значит,

(2)

Тем самым мы доказали, что имеет место разложение произвольного конечномерного евклидова пространства в виде объединения некоторого его подпространства и его ортогонального дополнения:

, причем

подпространства и не имеют общих точек, кроме нулевого вектора, и выполняется соотношение размерностей (2).

Такое разложение евклидова пространства называется разложением в прямую сумму двух подпространств, каждое из которых служит ортогональным дополнением другого. Это записывают в виде:

Например,

,

т.е., пространство геометрических векторов раскладывается в прямую сумму подпространства всех векторов, параллельных плоскости , и всех векторов, параллельных оси аппликат.

Более общо, если в пространстве фиксировать некоторую плоскость , то пространство геометрических векторов раскладывается в прямую сумму:

,

где - подпространство всех векторов, параллельных плоскости , а - подпространство всех векторов, параллельных прямой .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)