Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами (955108), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Аналогичное определение имеет место для абсолютного максимума (с заменой знака неравенства ≤ знаком ≥).Из определения абсолютного минимума (9) следует, что абсолютное минимальное значение функционалаJ * = J [u * , a * ] является единственным, чего нельзя утверждать, вообще говоря об оптимальном управлении u*(t) и оптимальном параметре a*.3.1. Основная задача оптимального координатного управленияОсновная задача оптимального координатного управления известна в теории оптимальных процессов как проблемасинтеза оптимального закона управления, а в некоторых задачах – как задача об оптимальном законе поведения.Задача синтеза оптимального закона управления для системы (1) с критерием (4) и краевыми условиями (6) и (7), гдедля упрощения предполагается, что функции f0, f, h, g, Φ от вектора а не зависят, формулируется следующим образом.Среди всех допустимых законов управления v(x, t) найти такой, что для любых начальных условий (t0, x0) из (6) приподстановке этого закона в (1) и в (4) осуществляется заданный переход (7) и критерий качества J[u] принимает наименьшее(наибольшее) решение.3.2.

Оптимальные траекторииТраектория системы (1), соответствующая оптимальному управлению u*(t) или оптимальному закону v*(x, t), называется оптимальной траекторией. Совокупность оптимальных траекторий x*(t) и оптимального управления u*(t) образует оптимальный управляемый процесс {x*(t), u*(t)}.Установлено, что при отсутствии вектора а управляющих параметров в f0, f, h, g, Φ задача программного и координатного управления эквивалентны.Так как закон оптимального управления v*(x, t) имеет форму закона управления с обратной связью, то он остается оптимальным для любых значений начальных условий (x0, t0) и любых координат x.В отличие от закона v*(x, t) программное оптимальное управление u*(t) является оптимальным лишь для тех начальныхусловий, для которых оно было вычислено.

При изменении начальных условий будет меняться и функция u*(t). В этом состоит важное, с точки зрения практической реализации системы управления, отличие закона оптимального управления v*(x,t) от программного оптимального управления u*(t), поскольку выбор начальных условий на практике никогда не может бытьсделан абсолютно точно.3.3.

Свойства оптимальных управленийи оптимальных траекторий1. Всякая часть оптимальной траектории (оптимального управления) также, в свою очередь, является оптимальнойтраекторией (оптимальным управлением). Это свойство математически формулируется следующим образом.Пусть u*(t), t0 ≤ t ≤ t1 – оптимальное управление для выбранного функционала J[u], соответствующее переходу из состояния (t 0 , x 0 ) в состояние (t1 , x1 ) по оптимальной траектории x*(t).

Числа t 0 , t1 и вектор x0 – фиксированные, а векторx1 , вообще говоря, свободен. На оптимальной траектории x*(t) выбираются точки x* (τ 0 ) и x* (τ1 ) , соответствующие моментам времени t = τ 0 , t = τ1 , где t0 ≤ τ0 ≤ τ1 ≤ t1 . Тогда управление u*(t) на отрезке [τ 0 , τ1 ] является оптимальным, соответ-ствующим переходу из состояния x * (τ 0 ) в состояние x * (τ1 ) , а дуга [x * (τ 0 ), x * (τ1 )] является оптимальной траекторией S.Таким образом, если начальное состояние системы есть x* (τ 0 ) и начальный момент времени t = τ0 , то независимо оттого, каким образом пришла система к этому состоянию, ее оптимальным последующим движением будет дуга траекторииx*(t), τ0 ≤ t ≤ τ1 , являющейся частью оптимальной траектории между точками (t 0 , x 0 ) и (t1 , x1 ) .

Это условие является необходимым и достаточным свойством оптимальности процесса и служит основой динамического программирования.П р и м е ч а н и е . Приведенная краткая формулировка основного свойства оптимальных траекторий не должна толковаться слишком широко. Требование, чтобы начальная и конечная точки траекторий сравнения лежали на оптимальной траектории в те же моменты времени τ 0 , τ1 , что и точки оптимальной траектории, или чтобы свободный правый конец x1′ траектории сравнения оканчивался в тот же момент t1 , что и конец оптимальной траектории, являются существенными. Без ихвыполнения это свойство, вообще говоря, не имеет места.

Так, если заданы только начальная точка x0 = x(t0 ) и моментывремени t0 и τ 0 , а x(τ0 ) свободен, то отрезок траектории x*(t), t0 ≤ t ≤ τ0 может и не быть оптимальным. В этом случае оптимальным может быть, вообще говоря, другой отрезок x′(t ) (рис. 5).Рис. 5. Основное свойство оптимальных траекторий:J 2′ > J 2 ; J1 , J1′ (i = 1, 2, 3) – значения функционала на участках оптимальной траектории и на траекториях сравнения, соответственно2. Автономные системы инвариантны относительно сдвига вдоль оси t.

Это означает, что если u*(t), t0 ≤ t ≤ t1 совершает переходx0 → x1 и сообщает функционалу J[u] значение J*, то при любом действительном τ управлениеu* (t + τ), t 0 − τ ≤ t ≤ t1 − τ также совершает переход x0 → x1 и придает функционалу J[u] значение J*.3.4. Геометрическая интерпретация основной задачиоптимального управленияОсновным задачам оптимального управления при закрепленных концах можно дать следующую эквивалентную геометрическую формулировку.Пусть при t = t0 задано начальное состояние x0 = x(t0 ) , а при t = t1 – конечное состояние x1 = x(t1 ) , где t 0 , t1 , x0 , x1 –фиксированные значения. Тогда в функционале J[u] (4) слагаемое Φ (t 0 , t1 , x0 , x1 ) является известным числом Φ 0 .Введем новую переменную x0, закон изменения которой имеет видdx0= f 0 (t , x, u, a)dt(10)с начальным условиемx0 (t0 ) = x00 = Φ 0 .Присоединим эту переменную к системе (1).

Тогда при t = t0 система находится в точке ( x0 (t 0 ), x1 (t 0 ), ..., xn (t 0 ))T , апри t = t1 – в точке ( x0 (t1 ), x1 (t1 ), ..., xn (t1 ))T , гдеx0 (t1 ) = Φ 0 +t1∫ f 0 (t , x, u, a)dt = J [u] .t0Таким образом, если в (n + 1)-мерном пространстве точек ( x0 , x) провести через точку (0, x1 ) прямую П параллельно оси0x0 , то решение системы (1), (10) проходит при t = t1 через точку на прямой П с координатой x0 (t1 ) = J .Теперь основная задача оптимального программного управления формулируется геометрически как на рис.

6.Рис. 6. Геометрическая формулировка основной задачиоптимального управления:1 – оптимальная траектория; 1' – изменение критерия качества J вдольоптимальной траектории; 2, 3 – неоптимальные траектории, проходящие через точки (x0, t0), (x1, t1); 2', 3' – изменение критерия качества Jвдоль неоптимальных траекторийВ (n + 1)-мерном фазовом пространстве ( x0 , x1 , ..., xn )T даны:1) при t = t0 точка (Φ 0 , x 0 ) ;2) прямая П, параллельная оси 0x0 и проходящая через точку (0, x1 ) .Среди всех допустимых программных управлений u = u(t), обладающих тем свойством, что соответствующее решение( x0 (t ), x(t )) системы (1), (10) с начальным условием (Φ 0 , x1 (t 0 ), ..., xn (t 0 ))T пересекает при t =t1 прямую П, найти такое,для которого точка пересечения с прямой П имеет наименьшую (наибольшую) координату x0 (t1 ) = J .Контрольные вопросы1.2.3.4.Основная задача оптимального координатного управления.Оптимальные траектории.Основные свойства оптимальных управлений и оптимальных траекторий.Геометрическая интерпретация основной задачи.Глава 4НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИДЛЯ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ.ПРИНЦИП МАКСИМУМА4.1.

Краткая формулировка задачиПусть даны:• система дифференциальных уравнений движенияdx= f (t , x, u, a) ,dt(11)~где f (t , x, u, a) определены для всех x = ( x1 , x2 , ..., xn )T ∈ X n ⊂ R n , t 0 ≤ t ≤ t1 , u ∈ U m , a ∈ A r , непрерывны по совокупностипеременных(t, x, u, a) и непрерывно дифференцируемы по (x, a);• соотношения, которым удовлетворяют начальные (t 0 , x 0 ) и конечные (t1 , x1 ) фазы движения системы (11):g j (t 0 , t1 , x 0 , x1 , a) = 0 ( j = 1, 2, ..., l < 2n + 2 + r ) ,(12)где функции g j непрерывно дифференцируемы по всем своим аргументам;• критерий качества управления (функционал)J [u(t ), a] = Φ (t 0 , t1 , x 0 , x1 , a) +t2∫ f 0 (t, x, u, a)dt ,(13)t1где Φ, f 0 обладают всеми необходимыми производными.Множество U m представляет собой замкнутую и ограниченную область евклидова m-мерного пространства R m .

Функ-ция u(t) считается допустимой, если она кусочно-непрерывна и ее значения принадлежат множеству U m : u(t ) ∈ U m , т.е. такие управления ui(t), каждое из которых непрерывно для всех рассматриваемых t, за исключением лишь конечного числамоментов времени, где функция ui (t) может терпеть разрывы первого рода. Во избежание недоразумений отметим, что, поопределению разрывов первого рода, в точке разрыва τ предполагается существование конечных пределов:u (τ − 0) = lim u (t ), u (τ + 0) = lim u (t ) .t →τt <τt →τt >τ4.2. Некоторые вспомогательные построения и терминологияВводятся:• зависящий от времени вектор сопряженных координат (вектор-функция множителей Лагранжа)λ (t ) = (λ 0 (t ), λ1 (t ), ..., λ n (t ))T ;(14)• постоянный вектор µ :µ = (µ1 , µ 2 , ..., µ l )T ;(15)• вспомогательные функции (гамильтониан задачи оптимизации и функция Лагранжа)H (t , x, u, λ , a) =n∑ λi fi (t , x, u, a) + λ0 f0 (t , x, u, a)(16)i =1иL(t0 , t1, x0 , x1, a, µ) =l∑ µ j g j (t0 , t1, x0 , x1, a) + λ0Φ(t0 , t1, x0 , x1, a) ;(17)j =1• система дифференциальных уравнений, сопряженная к (11) (13) и определяющая изменение вектора λ(t ) ,ndλ i∂f (t , x, u, a)∂H= − λk k=−dt∂xi∂xik =0∑(i = 0, n) .(18)З а м е ч а н и е .

Система линейных дифференциальных уравнений y& = B (t )y называется сопряженной для системы x& =A(t)x + f(t), если B (t ) = − AT (t ) и размерность векторов x и y (а также матриц B(t) и A(t)) одинаковы. Таким образом, система(18) является фактически сопряженной к линеаризованной системе (11), (20):δx& =∂f∂x))x ((t ), u (t )δx +∂f∂u))x (t ), u (t )δu(t ) ,где xˆ (t ), uˆ (t ) – некоторая опорная траектория и опорное управление, соответственно.С помощью функции H исходная система уравнений (1) записывается в видеdxi ∂H== f i (t , x, u, a) (i = 0, n) .dt∂λ iИндексу i = 0 соответствует новая переменная x0 (t ) , определяемая скалярным уравнением(19)dx0= f 0 (t , x, u, a) ,dt(20)x0 (t 0 ) = x00 = Φ (t 0 , t1 , x 0 , x1 , a) .(21)с начальным условиемСистема уравнений(22)T ~T&λ = − ∂H  = − ∂ f  λ ,~ ∂~  ∂x  x ~ ~~~где H = λ T f , ∂ f ∂x – матрица Якоби, ~x = ( x0 , x1 , ..., x n ) , f = ( f 0 , f1 , ..., f n ) ; x ∈ X n+1 , называется канонической системойдифференциальных уравнений, связанной с основной задачей.T~ ∂H x& =  = f;∂λ4.3.

Принцип максимума Л.С. Понтрягина*(u1* (t ),..., u m* (t ))T ,Пусть u (t ) =t ∈ [t 0 , t1 ] – такое допустимое управление, а a* = (a1* , a 2* , ..., a r* )T – такое допустимоезначение вектора параметров, что соответствующая им траектория x*(t) системы (11) удовлетворяет условиям (12) для концов.Для оптимальности (в смысле минимума) критерия качества (13) управления u*(t), траектории x*(t) и вектора управ-необходимосуществованиетакогоненулевогопеременноговектораляющихпараметрова*Tλ (t ) = (λ 0 (t ), λ1 (t ), ..., λ n (t )) , λ 0 (t ) = const ≥ 0 (обычно можно принимать λ 0 = 1 , см. следствие 2, п.

Характеристики

Список файлов книги