Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами (955108), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Общая задача оптимального управленияи ее математическая модельИсходная информация для решения задач оптимального управления содержится в постановке задачи. Задача управления может формулироваться в содержательных (неформальных) терминах, которые часто носят несколько расплывчатыйхарактер. Для применения математических методов необходима четкая и строгая формулировка задач, которая бы устранялавозможные неопределенности и двусмысленности и одновременно делала бы задачу математически корректной. С этой целью для общей задачи необходима адекватная ей математическая формулировка, называемая математической моделью задачи оптимизации.Математическая модель (ММ) – достаточно полное математическое описание динамической системы и процесса управления в рамках выбранной степени приближения и детализации.ММ отображает исходную задачу в некоторую математическую схему, в конечном итоге – в некоторую систему чисел.В ней, с одной стороны, явно указываются (перечисляется) все сведения, без которых невозможно приступить к аналитическому или численному исследованию задачи, а с другой, – те дополнительные сведения, которые вытекают из сущности задачи и которые отражают определенное требование к ее характеристикам.Полная ММ общей задачи оптимизации управления состоит из ряда частных ММ:• процесса управляемого движения;• располагаемых ресурсов и технических ограничений;• показателя качества процесса управления;• управляющих воздействий.Таким образом, математическая модель общей задачи управления характеризуется совокупностью определенных математических соотношений между ее элементами (дифференциальных уравнений, ограничений типа равенств и неравенств,функций качества, начальных и граничных условий и т.д.).

В теории ОП устанавливаются общие условия, которым должныудовлетворять элементы ММ для того, чтобы соответствующая математическая задача оптимизации была бы:• четко определена;• имела бы смысл, т.е. не содержала условий, приводящих к отсутствию решения.Отметим, что формулировка задач и ее ММ в процессе исследования не остаются неизменными, а находятся во взаимодействии друг с другом (рис. 1).Обычно первоначальная формулировка и ее ММ претерпевают значительные изменения в конце исследования. Такимобразом, построение адекватной ММ напоминает итерационный процесс, в ходе которого уточняется как постановка самойобщей задачи, так и формулировка ММ.

Важно подчеркнуть, что для одной и той же задачи ММ может быть не единственной (разные системы координат и т.д.). Поэтому необходим поиск такого варианта ММ, для которой решение и анализ задачи были бы наиболее просты.Постановка исходной задачи (формулировка). Выбор критерия оптимальностиФормулировка ММ общейзадачи. Постановка математической задачи оптимизацииВыбор общего подхода крешению математическойзадачи оптимизацииКорректировка ММ на основе интерпретации полученного решения ММ. Исследование возможности упрощения моделиАнализ полученного решения, оценка точности идостоверности предварительных результатовВыбор численного метода(алгоритма) решения задачиУточнение формулировкизадачи на основе результатов решения ММУлучшение точности и вычислительной эффективности алгоритмов решения задачи оптимизацииРис.

1. Схема взаимосвязи постановки технических задач оптимизации с соответствующей математическоймоделью и результатами решения задач оптимизации для ММВажным шагом в постановке и решении общей задачи управления является выбор критерия оптимальности. Этот выборявляется неформальным актом, он не может быть предписан какой-либо теорией, а целиком определяется содержанием задачи. В некоторых случаях формальное выражение понимания оптимальности системы допускает несколько эквивалентных(или почти эквивалентных) формулировок. В таких случаях успех и простота получаемого решения во многом определяетсявыбранной формой критерия оптимальности (при условии, что во всех случаях он достаточно полно определяет требованиязадачи к системе). После построения ММ процесса управления дальнейшее ее исследование и оптимизация проводятся математическими методами.1.2.

Классификация методов теории оптимальных процессовМетоды теории оптимальных процессов (ТОП) можно условно разделить на прямые и непрямые (косвенные).Непрямые методы сводят задачу оптимизации динамических характеристик системы, которые являются функционалами, к решению известных математических проблем.К непрямым методам относятся:1. Принцип максимума Л.С. Понтрягина [1, 2] и метод множителей Лагранжа классического вариационного исчисления [24 – 27].

Принцип максимума сводит решение задачи оптимизации функционалов к решению известных задач – максимизации или минимизации некоторой специальной функции конечного числа переменных в сочетании с решением краевойзадачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка. В классическом вариационномисчислении (ВИ) задача оптимизации функционала сводится к решению краевой задачи для системы ОДУ. Принцип максимума особенно удобен для решения оптимизационных задач, так как позволяет наиболее простым образом учесть различного рода ограничения на величины управляющих и фазовых переменных (переменных состояния).

Классическое вариационное исчисление более удобно в задачах, описываемых ОДУ более общего вида (в частности, не разрешенных относительнопроизводных) и не содержащих ограничений в виде неравенств на управляющие и фазовые переменные.2. Принцип оптимальности, положенный в основу динамического программирования Р. Беллмана [19] и метод Гамильтона-Якоби классического вариационного исчисления [25 – 27]. В этих методах задача оптимизации функционала сводится к решению системы нелинейных ДУ в частных производных первого порядка с соответствующими граничными условиями.3. Некоторые методы, основанные на использовании результатов функционального анализа (метод моментов и т.д.).Прямые методы ТОП сводят задачу оптимизации функционала к построению минимизирующей (или максимизирующей) последовательности, на основании которой с помощью предельного перехода может быть получено точное решениезадачи (В.Ф.

Кротов, В.И. Гурман [7, 8]). К прямым методам относятся методы, основанные на сведении задач оптимизациифункционалов к задачам на условный экстремум функций конечного числа переменных, различные варианты градиентныхметодов (Э. Полак, Б.Т. Поляк [21 – 23]), методы типа Ритца-Галеркина и др.Как в случае применения непрямых методов, так и в случаях использования прямых методов окончательное решениезадачи оптимизации может отыскиваться либо в аналитической (замкнутой) форме, либо в числовой.Решения в квадратурах (за исключением редких случаев, таких как линейные системы с квадратным критерием качества) могут быть найдены лишь для задач в упрощенной постановке.С их помощью можно исследовать качественные особенности оптимального управления.

Если аналитическое решениене слишком громоздко, из него можно получить необходимые технико-экономические выводы. Поскольку решение такогорода не зависит от конкретных числовых значений параметров системы и граничных условий, они обладают высокой степенью универсальности. Однако в задачах, постановка которых приближается к реальным технико-экономическим ситуациям,получение решений в замкнутой форме, как правило, либо невозможно, либо приводит к весьма сложным выражениям. Вэтом случае следует обратиться к численным методам решения.Численные методы на современном этапе развития вычислительной математики обладают общностью, сравнимой собщностью аналитических методов. Хотя при их использовании возникают определенные проблемы, связанные с оценкамискорости сходимости, устойчивости, ошибками округлений, ограниченной разрядностью и т.д.1.3. Необходимые условия оптимальности управления,достаточные условия оптимальности и проблемасуществования оптимального управленияРассмотренные в данном пособии необходимые условия оптимальности управления для различного типа задач оптимизации получены на основе использования аналитических непрямых методов оптимизации и образуют совокупность функциональных соотношений, которым обязательно должно удовлетворять экстремальное решение.При выводе их сделано существенное для последующего применения предположение о существовании оптимальногоуправления (оптимального решения).

Другими словами, если оптимальное решение существует, то оно обязательно удовлетворяет приведенным (необходимым) условиям. Однако этим же необходимым условиям могут удовлетворять и другие реdfшения, не являющиеся оптимальными (подобно тому, как необходимому условию= 0 для минимума функции однойdxпеременной удовлетворяют, например, точки максимума и точки перегиба функции f (x)). Поэтому, если найденное решениеудовлетворяет необходимым условиям оптимальности, то это еще не означает, что оно является оптимальным.Использование одних только необходимых условий дает возможность в принципе найти все решения, им удовлетворяющие, и отобрать затем среди них те, которые действительно являются оптимальными.

Однако практически найти все решения, удовлетворяющие необходимым условиям, чаще всего не представляется возможным в силу большой трудоемкоститакого процесса. Поэтому после того, как найдено какое-либо решение, удовлетворяющее необходимым условиям, целесообразно проверить, является ли оно действительно оптимальным в смысле исходной постановки задачи.Аналитические условия, выполнимость которых на полученном решении гарантирует его оптимальность, называютсядостаточными условиями.

Формулировка этих условий и особенно их практическая (например, вычислительная) проверкачасто оказывается весьма трудоемкой задачей.В общем случае применение необходимых условий оптимальности было бы более обоснованным, если бы для рассматриваемой задачи можно было установить факт существования или существования и единственности оптимального управления.

Характеристики

Список файлов книги