Громов Ю.Ю. и др. - Специальные разделы теории управления, оптимальное управление динамическими системами (955108), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Этот вопрос является математически весьма сложным.Проблема существования, единственность оптимального управления состоит из двух вопросов.1. Существование допустимого управления (т.е. управления, принадлежащего заданному классу функций), удовлетворяющего заданным ограничениям и переводящего систему из заданного начального состояния в заданное конечное состояние. Иногда граничные условия задачи выбраны так, что система – в силу ограниченности ее энергетических (финансовых,информационных) ресурсов – не в состоянии их удовлетворить. В этом случае не существует решения задачи оптимизации.2. Существование в классе допустимых управлений оптимального управления и его единственность.Эти вопросы в случае нелинейных систем общего вида не решены еще с достаточной для приложений полнотой.
Проблема осложняется также тем обстоятельством, что из единственности оптимального управления не следует единственностьуправления, удовлетворяющего необходимым условиям. К тому же, обычно удовлетворяется какое-либо одно, наиболееважное необходимое условие (чаще всего – принцип максимума).Проверка дальнейших необходимых условий бывает достаточно громоздкой. Это показывает важность любой информации о единственности управлений, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности, а также о конкретных свойствах таких управлений.Необходимо предостеречь от заключений о существовании оптимального управления на основании того факта, что решается «физическая» задача. На самом деле, при применении методов теории ОП приходится иметь дело с математическоймоделью. Необходимым условием адекватности описания физического процесса ММ как раз и является существование решения для математической модели.
Поскольку при формировании математической модели вводятся различного рода упрощения, влияние которых на существование решений трудно предсказать, доказательство существования является отдельнойматематической проблемой.Таким образом:• из существования ОУ вытекает существование, по крайней мере, одного управления, удовлетворяющего необходимым условиям оптимальности; из существования управления, удовлетворяющего необходимым условиям оптимальности, невытекает существование оптимального управления;• из существования ОУ и единственности управления, удовлетворяющего необходимым условиям, вытекает единственность оптимального управления; из существования и единственности ОУ не следует единственность управления, удовлетворяющего необходимым условиям оптимальности.1.4.
Общая характеристика результатов, которые могут бытьполучены методами теории оптимального управленияТОП является основой единой методологии проектирования оптимальных движений, технических, экономических иинформационных систем. В результате применения методов ТОП к задачам конструирования различных систем могут бытьполучены:1) оптимальные по тому или иному критерию временные программы изменения управляющих воздействий и оптимальные значения постоянных управляющих (проектных, настроечных) параметров с учетом различного рода ограниченийна их значения;2) оптимальные траектории, режимы с учетом ограничений на область их расположения;3) оптимальные законы управления в форме обратной связи, определяющие структуру контура системы управления(решение задачи синтеза управления);4) предельные значения ряда характеристик или иных критериев качества, которые затем можно использовать как эталон для сравнения с другими системами;5) решение краевых задач попадания из одной точки фазового пространства в другую, в частности, задача попадания взаданную область;6) оптимальные стратегии попадания в некоторую движущуюся область.1.5.
Условие рационального применения методов оптимизацииМетоды оптимизации управления рационально применить:1) в сложных технико-экономических системах, где отыскание приемлемых решений на основе опыта затруднительно.Опыт показывает, что оптимизация малых подсистем может приводить к большим потерям в критерии качества объединенной системы. Лучше приближенно решить задачу оптимизации системы в целом (пусть в упрощенной постановке), чем точно для отдельной подсистемы;2) в новых задачах, в которых отсутствует опыт формирования удовлетворительных характеристик процесса управления.
В таких случаях формулировка оптимальной задачи часто позволяет установить качественный характер управления;3) на возможно ранней стадии проектирования, когда имеется большая свобода выбора. После определения большогоколичества проектных решений система становится недостаточно гибкой и последующая оптимизация может не дать существенного выигрыша.При необходимости определить направление изменения управления и параметров, дающих наибольшее изменение критерия качества (определение градиента качества).Следует отметить, что для хорошо изученных и долго эксплуатируемых систем методы оптимизации могут давать небольшой выигрыш, так как найденные из опыта практические решения обычно приближаются к оптимальным.В некоторых практических задачах наблюдается определенная «грубость» оптимальных управлений и параметров, т.е.большим локальным изменением управлений и параметров отвечают малые изменения критерия качества.
Это дает иногдаповод к утверждению, что на практике всегда пологие и строгие методы оптимизации не нужны.На самом деле «грубость» управления наблюдается лишь в случаях, когда оптимальное управление соответствует стационарной точке критерия качества. В этом случае изменение управления на величину ε приводит к отклонению критериякачества на величину ε2.В случае управлений, лежащих по границе допустимой области, указанная грубость может и не иметь место. Это свойство должно исследоваться для каждой задачи специально.
Кроме того, в некоторых задачах даже небольшие улучшениякритерия качества, достигаемые за счет оптимизации, могут иметь существенное значение.Сложные задачи оптимизации управления часто предъявляют чрезмерные требования к характеристикам ЭВМ, используемых при решении.Контрольные вопросы1. Расскажите о роли теории оптимальных процессов при решении технических задач.2. Дайте характеристику общей задачи управления.
Какие математические модели и почему она должна включать?3. Дайте характеристику прямым и косвенным методам теории оптимальных процессов.4. Перечислите условия рациональности применения методов оптимизации.5. Дайте общую характеристику результатам, которые могут быть получены вследствие применения методов теорииоптимальных процессов.6. Расскажите о необходимых и достаточных условиях в теории оптимальных процессов.7. Расскажите о проблеме существования оптимальных управлений.Глава 2ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯМАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ2.1. Математические модели. Переменные состояния(фазовые координаты) управляемого процессаТОП управления имеет дело с ММ технических или экономических (ТЭ) задач оптимизации процесса управления физическими системами.
ММ есть достаточно полная сводка функциональных соотношений, описывающих основные свойствафизических объектов, процессы их функционирования и управления в рамках выбранной степени приближения и детализации и отражающая все существенные требования к конкретным техническим характеристикам системы.Математическая модель ТЭ задачи оптимизации процесса управления состоит из ряда частных математических моделей, включая ММ управляемого процесса, математическая модель ТЭ ограничений на величины управляющих воздействийи на возможное расположение на траектории, математическое описание показателя эффективности (критерия качества) процесса управления и т.д.Основные элементы общей ММ ТЭ задачи оптимизации процесса управления приведены в табл.
1.Математическая задача оптимизации процесса управления считается полностью определенной (корректно поставленной), если точно описаны все элементы ММ, представленные в табл. 1.В основе ММ ТЭ задачи ОПУ лежит ММ управляемого процесса. Эта модель основывается на понятии переменных состояния (фазовых координат), которые вводятся в задачу следующим образом.Пусть управляемая система S может быть идеализирована настолько, что в каждый фиксированный момент времени наблюдения t = t ′ на интервале T = {t , t0 ≤ t ≤ t1}, t ′ ∈ T ее свойства могут быть описаны конечным множеством действительx1 (t ′), x2 (t ′), ..., xn (t ′) ,которыерассматриваютсякаккомпонентынекотороговектораныхчиселx(t ′) = ( x1 (t ′), x2 (t ′), ..., xn (t ′))T .При изменении момента времени наблюдения, вообще говоря, изменяется и вектор х.
Это изменение может быть вызвано приложенными к объекту воздействиями. Если и при t > t ′ свойства системы по-прежнему полностью описываютсявекторомx = ( x1 (t ), K , xn (t ))Tи если n – наименьшее количество величин xi (t ′) , с помощью которых оказывается возможным предсказать значение x(t )при всех t > t ′ по известным значениям x(t ′) и известным на Т значениям приложенных воздействий, то вектор x(t) называется вектором состояния (детерминированной) системы S в момент t (или векторам фазовых координат).Величины xi называются компонентами вектора состояния, или фазовыми координатами.Множество всех возможных состояний x = ( x1 (t ), K , xn (t ))T в различные моменты времени t ∈ T образуют n-мерноепространство состояний X n ⊂ R n (n – мерное фазовое пространство), точка x ∈ X n является изображающей точкой этогопространства.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
