Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 97
Текст из файла (страница 97)
3!). В этом случае область О в 96) пеимввы о-внивввсальных ллговифмов 601 Из формул (25) получим Х,=ВХ+ а, х,=2те,(вх,+о)+(1 — 2те,)х,=(1+0,-')(вх,+-а) — е х,, Х;=(1+ Е,')(ВХч,+а) — Е,'Х,, Как мы видим, эти формулы совпадают с формулами, пОлученными выше для отрезка вещественной оси. г 4. 5 — отрезок мнимой оси ~ — —, —,) (рнс.
32). В этом 0/ случае область О есть плоскость с двумя разрезами вдоль мнимой оси, исходящими нз точек — рг и Р1 в бесконечность. Отображающая функция есть а( )=, 0=)гр'+1 — р, Рис. 33. Рис. 32. Так же как и в предыдущем случае, функция — будет квадрате (ег) 1 ным полиномом, именно — = — (1 — ти'), и потому из= 23, (ы) = 20 г)а= А=г(а=4= ... =О, Для последовательных прибли- 2 3 1 3 4 ткений из формулы (25) получаются рекуррентные формулы Х; = 2~0 (ВХ,, + а) + еах~ =(! — 0')(ВХ,,+о)+0'х,, (1:..3) Х,=ВХ,+О, Х,=(! — еа)(ВХ,+О)+ЕаХ,. 1 1 5. 8 — эллипс с фокусами в точках — — 1 и — 1 и мнимой полуосью —, а > 1 (рис.
33). 1 а ' [гл. !х 902 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГОРИФМЬГ В этом случае область О будет внутренностью некоторого овала. Отображающая функция есть л(щ)=! э ° где Р= ' 2рагз )газ+ 9а — 9 г'3т-(-! — 9 0~ ! уьне Р Р ' Так как — — =,— — — гза, получим нз формул (25) гюсле про- и ! р л (гз) 213 2З етых преобразований Х,=ВХ„-)-О. Х,=(! — 97)(ВХ,+О)+9ЕХ, Хг=(! — 97)(ВХг+О)+9!зХ! ' Вычислительные формулы для приближений совпадают с формулами п. 4 после замены в них 9 на 9,. 1! б. 5 — два касающихся круга, опирающихся на отрезки (О, — ! т 1! и (О, — — ) как на диаметры, т ) 1 (рис. 34). В этом случае Рнс. 34.
область 0 есть полоса — Т < Кез < Т, отображзющая функция 41 2" 1+ге! 4тг юа теа 1 в г (ю) = — агс!я щ = — ' 1а = — ! тв — — + — —... з!, 9 = !я —. А А! .1 — гзг ИГ 3 5 '' )' 4! Замечание. При практическом пользовании методом конформного отображения нет необходимости использовать наименьшее известное нам множество 5, содержащее собственные значения данной матрицы, в силу имеющейся информации.
Множество 8 Следует и 97[ мзтод конвогмного отовгажвния подбирать так, чтобы отображающая функция имела наиболее простой вид. Небольшие изменения множества 5 влекут за собой лишь небольшое увеличение О. й 97. Метод конформного отображения в применении к неподготовленной системе Метод конформного отображения может быть применен и непосредственно к решению системы АХ= Р. Пусть Š— ограниченное замкнутое множество, дополнение к которому Ь (включая бесконечно удаленную точку) есть односвязная область, содержащая точку О. Мы будем считать, что все собственные значения матрицы А принадлежат множеству с. Рассмотрим систему АХ вЂ” иХ= Г, (2) зависящую от комплексного параметра и. Исходная система получается из (2) прн и=О.
Положим, что функция и = и (ш) отображает единичный круг [ш[( ! на область Ь так, что и(О)=со. Обозначим через 9 прообраз О. Решение системы (2) запишется в виде Х(и) = (А — аЕ) г".. (3) ! Исследуем функцию —. Эта функция регулярна в области Ь, включая точку и=со, при любом ~, принадлежащем множеству Е. Ясно, что функция и(ю) имеет следующее разложение в ряд л (тд) = —: — са — с,тс — сатв с 2 Ю причем с, Ф О.
Следовательно, 1 сс г — и(вб с,+(с+се)та+с,гст+ ... гс / се+ Г сг — — + ш+ м2 [ ) с с, с = та[с!с(г) + с),(Г) тв+ йа(г) Ю+ ...[, где с(с(1) полиномы степени О Радиус сходимости итого ряда будет не меньше единицы. В соответствии с разложением (5) решение системы (2) будет Х(и) = тв [с(о(А) г + ачКг(А) Р+ вас!а(А) Р+ ...[. (б) 604 (гл. »х УНИВВРСАЛЬНЫВ АЛГОРИФМЫ Решение же исходной системы прелставится в виде сходящегося ряда Х=9((р(А)В+9(»(А)В+92»2(А)Е+ ...), (7) отрезки которого дают приближенные решения системы.
Метод допускзет следующее видоизменение. Вместо функции 1 можно ввести в рзссмотреиие функцию,, где Р(ы) г — и (гр) гр (г — и(ы)) ' 9(п») любая регулярная в единичном круге функция, удовлетворяющая условию р(В) = 9. Тогла г (»и) ( )) = ар(»)+п» (1) ш+Д2 О) шт+ (8) где а»(Г) — некоторые полиномы от 1. Радиус сходимости последнего ряда по-прежнему равен единице. Соответственно решение системы (1) представится в виде Х = ар(А) Е+ Оа, (А) Е+ Охх (А) Г+ ....
(9) Сравним теперь решение системы АХ= В. найденное по ряду (7). с решением той же системы, найденным по ряду (8) $95 после предварительной подготовки системы (1) к виду Х=ВХ+О при В= =Š— йА, О= — Ей. Собственные значения матрицы В связаны с собственными значениями матрицы А соотношением р» = 1 — й)ч. Поэтому ва множество В для матрицы В можно принять множество точек 1 — йг при 1~ Е. Тогда область 0 будет дополнением к множеству —, » ~ А, 1 1 — гй' 1 так что (в силу однолистиости функции — на всей плоскости 1 — $й комплексного переменного, включая бесконечно далекую точку) В получается из й отображением посредством функции— 1 1 — 1й' функция и(ш) отображает единичный круг на область и, следо- 1 вательно г(ш)=1 й отображает единичный круг на О, причем а(0)=0, г(9) =1. Таким образом, функция а(ш) удовлетворяет требованиям 9 95.
Положив Г, = 1 — й» (здесь 1 является .представителем" матрицы А, 1, „представителем" матрицы В), имеем Х = Ьр (В) О + ЬЬ» (В) О + 9 Ь (В) О+ ... где Ь»(1) коэффициенты в разложении функции 1 по степе-. 1 1 — г»л (ш) ням и». Подстзвив В=Š— йА и О=ЬГ, получим Х = й)»р (А) Е+ Ьй~ (А) Е + уф (А) Е + ..., где р» (1) = Ь» (1 — й»). э 97) МЕТОД КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 605 Ясно, что полиномы рг(1) будут коэффициентами в разложении функции 1 1 1 — Ии (га) ! — (1 — ИГ) «(ги) 1 — ИГ И(à — и(2«)) ' а полиномы И(2;(Г) будут коэффициентами з разложении функции 1 — Ии (м) г — и (ы) Таким образом, сопоставляя с формулой (8), получим, что ИР1 (1) = — и; (1) при р (ш) = тв (1 — И и (ш) ) .
Отсюда мы делаем заключение, что порядок быстроты сходимостн рядов, дающих решение системы АХ= Г при различных ее подго- товках, не зависит от числа И, определяющего данную подготовку, так как этот порядок определяется лишь числом В. Интересно отме- тить. что решение, даваемое рядом (7), получается как предельный случай решения подготовленной системы прн И-+О. функция Грина сг(и) для области Ь и функция и(ш) связаны, кзк известно, следующим образом: 0(и) = — 1д ! Ти(и) ), где ти(и) функция, обратная и(ш).
Поэтому ! В ~ = ! ш (О) ) = е ~ м!. Таким образом. метод конформного отображения имеет такой же порядок бь!строты сходимостн, какой имеет метод подавлении компонент полиномами, наименее уклоняющимися от нуля (см. 9 94). Мы не будем останавливаться на разборе конкретных «'-алгорифмов, которые могут быть построены так же, как это делалось при построении конкретных З-алгорифмов. Остановимся теперь на случае, когда область Ь многосвязна. Метод конформного отображения рзспространяется на этот случай почти без изменений.
Берется мероморфная в единичном круге функция «(ш), имеющая простой полюс в точке «и==0, принимающая значение 0 в некоторой точке В и не принимающая значений из множества «', Тогда à — «(гз) 2~О+ 2'2(4) ~+ йз(') ~ + есть сходящийся ряд в круге )тв~«, 1 при любом 1~Е. Решение системы АХ= Р представляется з виде Х=2(ЯИ'+Мд(А) Р+ВЯБ2 (А) Р+ ...
(10) Ряд (10) будет сходиться тем быстрее, чем меньше !В/, так что в качестве В следует брать наименьший по модулю прообраз точки «=О, если их много. боб [гл. гх унивввсллъныв Алгогивмы Наилучшей функцией г(ш) является функция г=ф(ш), отображающая единичный круг на односвязную накрывающую область 4 риманову поверхность. Действительно, пусть г(тв) какая-либо функция рассматриваемого класса.
Каждая ветвь функции з (г(ш)) будет регулярна внутри единичного круга, так что многозначная функция е '(г (тв)) в действительности распадается на однозначные регулярные ее~ни. Выберем из них ту Ф (та), для которой Ф (0) =- О. Ясно, что ! Ф (та)( ( ( 1 при ~ ш! (!. По известной лемме Шварца 1Ф(ш) ~ (! ш1, (1 1) 0 наименьший по модулю прообраз точки г = О при отог=г(ш) и 0е=Ф(0). Ясно, что ф(0,)=О, так что 0~ одним из прообразов точки г =- О при отображении Положив еа = 0 в неравенстве (11) получим: Пусть бражении является г = ~р(ш).
!0,~ <1О!. Если обозначить через Ое наименьший по модулю прообраз точки г=О при отображении г= ф(ш). то подавно !0ь~ <,0~. рр(го)= — !К!ф-'(го)1== / — !й!9 '(г)! !' Из той же леммы Шварца следует, что знак равенства возможен, только если Ф(ш)=ттв при !ъ!= 1, т. е. если г(ш)=ф(ттв). Тем самым доказано, что наименьшее по модулю число 0 доставляет функция 2 = ср (м), Покажем теперь, что в случае многосвязной области метод конформного отобрзжения дает худший результат, чем метод подавления компонент при помощи полиномов, наименее уклоняющихся от нуля. Пусть 6(г) функция Грина для области Ь с логарифмической особенностью в точке г= со.
Обозначим через ф(г) наименьшее по модулю значение функции ф-'(г) (если их несколько, выбираем какое-нибудь одно) и рассмотрим функцию Н (г) = — 1д ) ф(г) !. Ясно, что Н(г) есть гармоническая функция в окрестности точки 'г= — оо, исключая эту точку, в которой Н(г) имеет логарифмическую особенность, ибо ф(г) в окрестности бесконечно далекой точки совпадает с той ветвью функции ф-'(г), для которой ч-'(оо) =О, Пусть ге произвольная точка области Ь, 0 круг с центром в точке гв, содержащийся со своей границей т внутри области Ь. Возьмем ту ветвь функции ф '(г), для которой р-'(ге)=ф(ге).
Тогда !ф(г)!()ф-'(г)( во всех точках круга 0, включая его границу т. Ясно, что 607 й 97) МЕТОД КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ибо — 1я!чг '(г)~ есть гармоническая функция в круге 6 (через г обозначен радиус этого круга). Поэтому Н(з ) ~~ — „— ( — 1я! ф(») ! г(а = —, ( Н(»)г)а. т Таким образом, Н(») есть субгармоническая функция н области Ь. Далее, Н (г) — 0 (») есть субгармоническая функци я, ограниченная в окрестности точки» вЂ” — со, и ее нзибольшее значение не может достигаться внутри области Ь. Допустим, что Ь ограничена конечным числом аналитических кривых.
Тогда на границе Ь как О(»), так и Н(»), определены и равны нулю. Следовательно, Н(г) — О(») ( О во всех точках области Ь или Н(») = 0(г) в Ь. Вторая возможность отпадает, ибо для многосвязной области Н(») не является гармонической функцией в точках, для которых имеется более одного прообраза с наименьшим модулем. Итак, Н(») — О(») (О в Ь. В частности, Н (О) = — 1я ~ 9 ( ( 0 (О), откуда /01~» (12) Предположение о границе области Ь, при котором выведено неравенство (12), снимается посредством предельного перехода от областей Ь„ограниченных е-линиями уровня для функции Грина исходной области Ь. Неравенство (12) означает, что быстрота сходимости метода конформного отобрзжения уступает быстроте сходимости метода подавления компонент при помощи полиномов, наименее уклоняющихся от нуля.
Приведем один пример, иллюстрирующий это обстоятельство. Пусть Х есть совокупность двух отрезков ( — К вЂ” а) и (а, Ь) вещественной оси (рис. 35). В этом случае область Ь двусвязна. -г - о д д Рис. 35. функция, отображающая единичный круг на универсальную накрывающую, задается уравнением а 4аг г㻠— агс1я ш = )' (»г — аг) (»г аг) Здесь 'г' (»г — аг) (»' — Ьг) ' )Гаг — аг Маг т 608 [гл.
гд вниввгслльные алгогнемы При атом а гй В~=1 1+е во, где '$~(ео — ае) (Во — ет) г Ч ба — (ба — ао) о1но т Если взять а= 1, Ь='у'2, то яг= йа и потому ) О ( = 0.6558, 1+о Покажем, что метод подавления компонент приведет к процессу с более быстрой сходимостью. Рассмотрим полином т (3 — 2го) К,. (г) = „(8) ' где То (б) = соз а агс соз б. При б ~ 2' 1ка, (г)! < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
