Фаддеев, Фаддеева - Вычислительные методы линейной алгебры (947503), страница 95
Текст из файла (страница 95)
429 а 99 . 495 45 135 15 5. 112 56 112 28 112 56 112 ' (гл. вх 588 униВВРслльныв алГОРиемы В табл. 93.1 даны значениЯ е и 7в, где в, и 7, имеют тот же смысл, что и в 99 91 и 92. Рис. 28. Рис, 27: Полиномы е,(/) просто связаны с полиномами Лежандра /-. (/) =— 1 Лв (Гв — 1)в 2в. В1 исв Таблица Ж/ Значения в, и т, Именно свев(В ив(Г) е, (/) = + ( При р (Г) = (1 — /) (1 + /) (а ) — 1, ~ ) — 1) в мы придем к полиномам, ортогональным по весу (1 — /) в-'(1 + /)а, т. е.
к так называемым полиномам Якоби (гипергеометрическим полиномам). Применение таких полиномов рассматривается в работе Штифеля [5).. орифм. наилучший в среднем при р(/) = 1, был для нахождения решения системы (9) 9 23, = 2/2.62. Было получено Универсальный алг ~ применен циклически подготовленной при /в — 1.3813506 — 1.2464295 — 1.2588065 — 1 .2577045 — 1.2578015 — 1.2577939 ' 1.2577930 Хв Х Хщ х„ Х„ Хвв х /в в/в /в % в/в 0.6 0.735 0.804 0.860 0.894 0.0338070 0.0446982 0.0433614 0.0434986 0.0434862 0.0434873 0.0434874 1.1209397 1.0325678 1.0397375 1.039П77 1.0391704 1.0391663 1.0391658 1.598 5210 1А726554 1А832186 1.4823210 1А823990 1.4823930 1А823923 э 94) метод подлвляния компонвнт в комплвксной овллсти 589 Здесь Хм оказался ближе к точному решению, чем Хам Это свидетельствует о том, что один из корней полинома еь(Г) оказался близким к тому собственному значению, компонента которого была еще недостаточно подавлена за счет предыдущих циклов.
Вообще, при пользовании специальными полиномами для подавления компонент вектора ошибки целесообразно использовать также „аномальное" нодавление, нроисходящее от близости одного нз корней к собственному значению, подобно тому, как это делается в ВТ- процессе .с управлением". 9 94. Метод подавления компонент в комплексной области Все рассмотренные до сих пор универсальйые алгорифмы строились для систем с вещественными собственными значениями матрицы коэффициентов.
Идея подавления компонент, в теоретическом плане, легко распространяется н на системы, матрицы которых имеют комплексные собственные значения. Пусть на плоскости комплексной переменной задано ограниченное замкнутое множество Х, дополнение к которому есть связная область Ь, содержащая точку г = О. Рассмотрим класс систем АХ= В таких, что все собственные значения матриц А лежат на множестве Е. Для такого класса систем можно строить (в теоретическом плане) универсальный алгорифм, наилучший в смысле первого критерия. С этой целью достаточно построить волиномы а;(г), удовлетворяющие требованию д,(О)=! и наименее уклоняющиеся от нуля на множестве л, а затем строить приближения к решению системы по формуле Ха Хв+ Уса-~(А)(В АХо) гд, л ,(е) . ' - в(В . Приведем оценку сходимости такого универсального алгорифма при з-+со.
Пусть т (в) — яв+ полипом, наименее уклоняющийся от нуля на множестве Е и такой, что корни полинома ".,(л) лежат на множестве Е. Тогда уклонение от нуля полинома аг,(г) на множестве Е не более, чем уклонение от еа (е) нуля полинома ' ) . Обозначим уклонение от нуля цолинома е,(а) (о) ' (гл. !х 590 УНИВЕРСАЧЬНЫВ АЛГОРИФМЫ через т,. Тогла, как известно.') "Г (О)1 где 0(г) функция Грина для области Ь с логарифмической особенностью в точке з = со. Поэтому, при л ~ Х ~д( )! < ~ " 1 <С()е '1~1) '), где е сколь угодно малое положительное число, С(е) константа, зависящая от е. С другой стороны, пусть Р = шах ! а в (а) ! и Х вЂ” совокупввз ность точек, таких, что )йв(а)~ <)т, Х есть ограниченное замкнутое множество, содержащее Х, и дополнение к нему Ь' есть связная область, содержащаяся в Ь.
Ясно, что — 1д в' есть функция 1 1д,(е) ( Грина для области Ь'. Так как А*с- Ь, то будет выполнено нера- венство — )д Л". < 0(г) для всех г~вв'. Это неравенство будет верно и для всех точек г~б, ибо если г~б и г(Ьв, то 6(г))~0. а (у,(г)) ()с, так что — 1в. <О. Положив а=О, получим „)ав (а) ! —, 1д ~ < П(0), 1 1 откуда вт = шах дв (г) ) е ' вяз Итак -вп 10) < )тв < С (е) -в 18 (О)- ° ) Таким образом, универсальный алгорнфм, наилучший в смысле ! -го критерия, сходится с быстротой геометрической прогрессии со знаиенателем е Общие способы построения полиномов а (а) неизвестны, так что описанный алгорифм может применяться лишь к некоторым частным областям.
В и 97 будет установлена возможность построения Х-универсальных алгорифмов при помощи конформного отобра)кения единичного круга на область Ь(или на ее односвязную накрывающую), которые для односвязных областей Ь обладают почти той же быстротой сходимости. Технически проще строить универсальный алгорифм, наилучший в среднем. Это сводится к построению полиномов д,(Г), мннимизи- ч) Г.
М. Г о ау з н и. Геометрическая теория функций комплексного переменного, ГИТТЛ, 1952, гл. Ч)П. $ 95) ПРИМЕНЕНИЕ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 591 рувоп»их ~ ~ 9; (г) ~в !»!». где Н некоторая неотрицательная мера, сосредоточенная на множестве Х. Нетрудно дать формулы для построения полиномов ив(г), как только известна система ортогональных полиномов по мере 1». Пусть *1 Р! (г) ) — ортогональная система полиномов по мере р. Будем искать поливом дв(а) в виде 8 а, (а) — ~ с»Р! (Е). Тогда ) = ~ ! »в, (г) )в»(1» = ( св)в+ ) с, ',в+ ... + ! с„(з. Условие !Рв(0) = 1 примет вид в У с!Р»(0) = 1. в в По неравенству Коши — Буняковского в в в !в ~~.",~с!~в,~~(Р!(О) ~в в ~~с;Р;(0)~ = — 1, откуда »:з 1 ч,,'~1,(О) Р Рв(0) Равенство достигается при с; = ' , где Рв(0) число ком~в!Р! (О) 1в в-в плексно-сопряженное с Р;(О).
Следовательно, в д(а)= „' '~~'Р!(0) Рв(а), ~~~~ !Рв(0) !в в-в Ортогональные полиномы по данной мере для разных множеств а' изучались в классических работах Сеге, Бохнера и В. И. Смирнова. 9 95. Применение конформного отображения к решению линейных систем До сих пор мы рассматривали универсальные алгорифмы для систем Х=ВХ+!» при условии, что все собственные значения матрицы В вешественные и закл!Очены в промежутке ( — 1, 1). 592 [гл.
~х униввослльныв Алгооиомы В. Н. Кублановской ') разработан метод, использующий аппарат теории функций комплексной переменной, который позволяет строить универсальные алгорифмы для систем Х= ВХ+ О при других предположениях о расположении собственных значений матрицы В. Вместо системы Х=ВХ+О Х= гВХ+ О, изучается система (2) содержащая комплексный параметр г.
Решение последней системы есть, очевидно, Х(г) = (Š— гВ) О. Все компоненты решения являются аналитическими и даже рациональными функциями от г с полюсами 1 1 только в точках —, ..., —, где ро ..., и„собственные значения и~ к.и матрицы В. Действительно, Х(г)=(Š— гВ) О= . В С(г) О, где С(г) союзная с Š— гВ матрица. Элементы С(г) являются, очевидно, полиномами от г, корнями же знаменателя являются числа, обратные к собственным значениям матрицы В. Имеем далее (Š— гВ) '0=0+гВО+г'В'О+ (4) 1 Радиус сходимости этого ряда равен , и если среди собтах! щ[ ' ственных значений матрицы В имеются собственные значения, по модулю большие единицы, то интересующая нас точка г = 1 окажется за пределами круга сходиности.
Положим теперь ') В. Н. Куб ла навек ая [
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
