Гильберт, Бернайс - Основания математики. Теория доказательств (947376), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ФормулУ ()гг) мы вывели, опиРаЯсь на Явное опРеделение символа щА(*) р щ р...р, () д у р ') о нвдлежнт прн этом соблюдать, мы вскоре поговорим более подробно. ') См. т. 1, гл. А)1П, с. 482 нлн Приложение 1, с. 469. з! ГИЛЬБЕРТОВ е-СИМВОЛ И епФОРМУЛА ИСКЛЮЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ /ГЛ что для формализма арифметики способы умозаключений, формализуемые с помощью В-символа и формулы (е„), не дают ничего нового: их применение сводится к применению обычного е-правила. Это обстоятельство находит простое объяснение и с содержательной точки зрения. Формула (В„) равнозначна е)-правилу, а это правило сильнее е-правила лишь в том отношении, что из-за отсутствия второй формулы единсзвенности оно включает в себя применение принципа выбора.
Но в арифметике без принципа выбора можно обойтись, потому что — ввиду справедливости принципа наименьшего числа — во всякой непустой числовой совокупности некоторое число может быть указано и без принципа выбора: например, наименьшее. Эта взаимосвязь находит свое отражение также и в том, что при введении Отерма, с помощью которого определяется символ р А (х), существенным образом используется формула, выражающая принцип наименьшего числа. Таким образом, е-символ представляет собой определенного рода обобщение р-символа на случай произвольной (не обязательно числовой) индивидной области.
По форме он представляет собой функцию от переменного предиката, который кроме того аргумента, к которому относится указанная в данном е-символе связанная переменная, может содержать в качестве аргументов («параметров») и какие-нибудь другие свободные переменные. Значением этой функции для шобого конкретного предиката рИ (при фиксации параметров) будет один из объектов индивидной области, причем в соответствии с содержательным переводом формулы (В,) предикат ()( будет выполняться для этого объекта, если этот предикат выполняется вообще хотя бы для одного объекта из данной индивидной области. Предположение о наличии такого универсального соотнесения объектов предикатам выглядит как очень сильное допущение.
Однако надо иметь В виду, что в формализме первой ступени, где, как известно, связанных формульиых переменных нет, такое соотнесение приводит лишь к весьма ограниченному эффекту, так как переменная А, входящая в состав символа В А (х),может быть исключена только в результате какой-либо подстановки. Конечно, это рассуждение еще не устраняет того впечатления чего-то возмутительного с точки зрения логической сисзематики, которое на нас производит введение е-символа и относящейся к нему формулы (е„). Действительно, введение в логический формализм символа, имеющего вид некоторой универсальной функции от предиката, в то время как никакого логического определения такого рода функции не имеется, выглядит каким-то несоответствием.
Однако на это возражение имеется простой ответ. Он состоит в том, что на самом деле не существует никакой необходимости включать В-символ в окончательный дедуктивный вариант нашего логико-математического формализма. Наоборот, вводимое нами исчисление с В-символом можно рассматривать как чисто вспомогательное исчисление, которое всего-навсего по ряду метаматематических соображений обладает определенными преимуществами. С учетом будущих метаматематических рассмотрений наш способ введения «-символа оказывается целесообразным подвергнузь небольшой модификации: именно, в качестве аксиомы для В-символа вместо формулы (В,) ЭХА (х) -р- А (е А (х)) мы возьмем дедуктивно равную ей формулу А(а)- А (В„А(х)), не содержащую квантора существования. Эту последнюю формулу мы будем кратко называть е-формулой. О введением В-формулы в качестве исходной мы связываем следующие соглашения: !.
Если р)((а) — какая-либо формула, не содержащая связанной переменной г, то выражение е Р)((й) будет счизаться термом. Термы такого вида мы будем называть е-термами. 2. В отношении связанных переменных, входящих в состав е-символов, будет действовать правило переименования. Однако оно должно подчиняться ограничивающему его применение услов~по не допускать коллизий между связанными перем е и и ы и и. Это условие здесь можно сформулировать точно так же, как мы ранее формулировали ого для «-символа '): именно, следует ие допускать того, чтобы в область действия какого- нибудь квантора )У~, =(й или -символа Р попадал другой квантор или В-символ с той же самой связанной переменной х.
3, На подстановки вместо свободных иидивидных и формульных переменных тоже должны быть наложены ограничения, обеспечивающие отсутствие коллизий. Однако чтобы из-за всего этого не возникало слишком сильных осложнений, мы разрешим выполнять вместе с подстановкой переименование любого количества связанных переменных. В самом деле, требование отсутствия коллизий мешало бы нам производить подстановку в е-формулу вместо именной формы А(с) фигурирующей в ией формульной переменной какой-нибудь ДРУгой формулы й((с), у которой переменная с стоит в области действия какого-либо квантора или В-символа. Эта трудность устраняется разрешением переименования связанных переменных '>С., п„.~РР.;.~р-» Прг, р, Р . исключение сВязАнных пгремвнных 1гл. 1' ГИЛЬБЕНтОВ е-СИМВОЛ И е.ООРМКЛА 4 21 при такой подстановке, так что в рассматриваемом случае мы':, получим формулу вида 91 (а)- 91 (е„бе (х)), где 'Ле(х) отличается от 91(х) переименованием в ней одной илн нескольких связанных переменных ').
Например, если е((с) представляет собой формулу Зу(с=у), то ее подстановк в ну -формулу в сочетании с переименованием связанных переменных можно выполнить следующим 'образом. Сначала вместо терма е„А (х) у нас появится терм е„(Зу (х = у)), который мы будем сокращенно записывать в виде Е„Зу (х у), отбросив ненужные внешние скобки '). Теперь мы переименуем у в г, так что получится е„Зг (х г).
Вместо формулы А(е„А (х)) мы получим формулу Зу (е„3г (х г) = у), а вместо формулы А (а) — формулу Лу(а=у), так что в целом у нас получится формула =)у (а = у) -+ =(у (а =)г (х = г) = у). А налогичным образом, с помощью подходящих переименова-,' ний переменных, всегда сможем предохранить себя от б каких ы димые в этих ло коллизий между связанными переменными. П роизво-: всег а.
М целях переименования мы будем упоминат е,",'' чениями л да. Мы позволим себе также пользоваться одинаковь б ыми о ознад я формул, отличающихся друг от друга лишь обозна- чениями связанных переменных. Далее, всюду, где мы будем говорить об одинаковы х или различных термах, их равенство и различие будут пониматься о точностью до обозначений связанных переменных, если не б дет, четко оговорено противное. ли не улет, ') Об определении Не (х) см. также т.
1, с. 469. е) Вообще, мы е-снмволамн мы б условимся, что прн нейнсвннн формул с квант р удем всюду, где вто не будет выэыветь резпочтеннй оп ' оремп н спеть скобки, кек мы вто уже делклн ркпьше. енн, опу' Преимушества, доставляемые введением е-символа и е-фор- мулы, проявятся немедленно, как только мы уясним себе их бли- жайшие дедуктивные последствия. Сначала от е-формулы мы с помощью схемы (())') вернемся к формуле (ее), которая совместно с формулой А (к„А (х)) -ь ЭХА (х), получающейся подстановкой из основной формулы (Ь) исчисления предикатов, даст нам эквивалентность (е,) :-(хА (х) А (Б„А (х)).
Если в эту формулу вместо именной формы А (а) подставить фор- мулу ч А (а), а затем от обеих частей получившейся таким обра- зом эквивалентности взять отрицание, то получится формула ~ Эх ) А (х) ) ~ А (е, ~ А (х)), из которой затем легко выводится формула (е,) 'ехА (х) А (е„ ) А (х)). Вид формул (е,) и (е,) наводит нас на мысль о том, что эти эквивалентности можно взять в качестве явных определений для кваиторов всеобщности и существования и сделать таким образом ненужными как основные формулы (а) и (Ь), так и схемы (а) и (р) исчисления предикатов'). Действительно, такая возможность реально существует. Во-первых, е-формула, взятая совместно с (е,), средствами исчисления высказываний дает нам формулу (Ь) А (а) -+.
'ЗхА (х). Если же мы теперь подставим в е-формулу вместо именной формы А (с) формулу ) А (с), то сначала получим формулу 1А(а)- )А(е„)А(х)), из которой затем путем контрапозиции получится формула А (е„) А (х)) — А (а), а последняя в сочетании с формулой (е,) дает нам формулу (а) ехА (х) -ь А (а). Теперь осталось рассмотреть схемы (а) и (р). Но оин с помощью эквивалентностей (е,) и (е,) могут быть сведены просто к ') См. Приложение 1, с. 460 — 461. д гвльеере П верлене" исключяния связанных пирвмяиных (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
