Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (947375), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Но формула Я (а) представляет какое-либо определенное свойство только тогда, когда она не содержит других свободных переменных, кроме а. В противном случае она изображает двучленное или же многочленное отношение между объектами или, если в ней содержатся формульные переменные, отношение между объектами и предикатами. Постараемся понять, чтб же содержательно соответствует введению терма «„Я(х) в случае формулы Я (а) с несколькими свободными переменными. Простейший мыслимый случай — это случай, когда имеется формула 3 (а, Ь), которая не содержит никаких свободных переменных, кроме а и Ь, и для которой по отношению к переменной а оказываются выводимыми формулы единственности ЭхЗ (х, Ь) и 'ухну (3 (х, Ь) б«З (у, Ь) -+х = у), так что с помощью Оправила выражение Е„З(х, Ь) может быть введено в рассмотрение в качестве терма.
Здесь З (а, Ь) изображает некоторое двучленное отношение, и формулам единственности содержательно соответствует выскааывание о том, что для всякого объекта Ь (из положенной в основу 4тл ПОНЯТИИ «ТОТ, КОТОРЫЙ» И ЕГО УСТРАНИМОСТЬ 1ГЛ. Ч1П рассмотрения индивидной области) существует один и только один объект с, находящийся к нему в отношении >О (а, Ь).
Значит, терм г, >г) (х, Ь) изображает «объект, находящийся к Ь в отношении й) (а, Ь)з в его зависимости от Ь, т. е. Как функцию от Ь. С помощью этой функции отношение й) (а, Ь) можно разрешить относительно а в виде равенства а = г„й) (х, Ь). Формально это осуществляется путем вывода эквивалентности З (а, Ь) — а = г„й) (х, Ь), которан представляет собой частный случай эквивалентности, уже упоминавшейся ранее. Подобно тому, как в атом рассмотренном нами случае терм г„>О (х, Ь) при содержательном его истолковании изображает некоторую функцию от аргумента Ь, которая каждому принимаемому в качестве значения Ь объекту (из поло>кепкой в основу рассмотрения индивидной области) однозначно сопоставляет некоторый новый объект (этой области), в общем случае терм г„р!(х), содержащий одну или несколько свободных переменных, изображает функцию, имеющую эти переменные в качестве аргументов. В частности, если все фигурирующие в этом терме свободные переменные являются индивидными переменными, то иаображаемая им функция является математической функцией, т.
е. однозначным соотнесением какого-либо нового объекта одному или нескольким исходным объектам '), в то время как при наличии формульных переменных изображаемая функция одному илн нескольким (одноместным или же многоместным) предикатам, а кроме того, быть может, одному или нескольким объектам будет однозначно сопоставлять в качестве значения некоторый новый объект. 2.
Вложение и подчинение; символы для сокращений. Теперь посмотрим, какое влияние оказывает г-правило на наш формализм и чтб мы благодаря этому правилу выигрываем. Прежде всего, мы должны проиавести обзор различных термов вида г„Я (х), возникающих на основе применения г-правила (такие термы мы будем кратко называть г - т е р м а и и).
Большое разнообразие этих термов получается благодаря возможности комбинированных применений г-символа; мы будем отличать друг от друга два различных способа комбинирования этих символов: вложение н подчинение. ') См. гл. Ч с. 23Э г"П1'АВИЛО И ОПЕРИРОВАНИЕ С НИМ Речь здесь идет о следующем. Мы исходим из некоторои ормулы Я (а, Ь).
Предположим, что в эту формулу вместо Ь мы подставили некоторый г-терм г 5(у). Пусть для получившейся в результате этого формулы Я (а, гУВ (у)), которую мы сокращенно обозначим 5(а), оказались выводимыми формулы единственности, так что в соответствии с г-правилом может быть введен терм г„б (х). Если переменная а не входит в г В (у), то при связывании и -с мволом переменной а в формуле 6 !а) этот терм не аатрагивается, т. е. он без изменений входит в г„б(х) в качестве саста но" части; тогда терм»,5(х) будет иметь вид г„Я (х, г„>л)(у)).
В атом слУчае мы бУДем говоРить, что теРм гв>О(У) вложен в теРм г Я(х). Вообще, мы будем говорить о вложении г-герма, когда он в качестве составной части входит в какой-ли о об х' "- и о объемлющий его г-терм. Если же, напротив, терм г 5 (у) содержит переменную а, так что точнее было бы записать его в виде г„л),а» у» о р * ( ) У будет иметь вид гхЯ (х, гвл) (х, у)). В этом случае мы будем говорить, что внешнин г-символ под- чинлепг г-символ, стоящий внутри формулы, или соответственно, что внутренний г-символ подчинен внешнему. При этом следует заметить, что составная часть г)О(х, у) из-за входящей в нее переменной х не является термам, так что. мы должны называть ее не г-термам, а разве лиш - р шь г-вы ажениелг.
Относительно вложения мы заметим также, что р т к оме только что указанного случая оно может возникнуть и в результате под- становки. Действительно, такой терм, как г„Я (х, 1„5 (у)) может быть, например, получен в результате под по становки те ма г й) ( ) вместо какой-либо свободной переменной скажем, Ь иэ >„Я(х, Ь), но, разумеется, только тогда, когда дл ф р у Я(а, Ь) могут быть выведены формулы единственности по пере- менной а, 47А ПОНЯТИИ»ТОТ» НОТОРЫН» И ХГО УСТРАНИМОСТЬ [ГЛ, У111 »ПРАВИЛО И ОПЕРИРОВАНИИ С НИЫ Мы продемонстрируем различные упоминавшиеся возможности комбинирования ывыра>кений на совсем простых примерах '), относящихся к формализму аксиом равенства и пеановских аксиом (Р1) (Рь) В качестве Я (а, Ь) возьмем сначала формулу а = Ь'.
Для нее формулы единственности, относящиеся к переменной а, имеют вид Лх(х=Ь), ь>х >Уу (х = Ь' д> у = Ь'-»- х = у) и могут быть выведены с помощью аксиом равенства. В качестве В (а) возьмем формулу а=О, формулы единственности для которой также можно получить при помощи аксиом равенства. Мы можем теперь построить термы >вЯ (х, Ь), т.
е. 1„ (х = Ь'), >РД) (У), т. е. >в (У = 0), и, подставив второй терм вместо переменной Ь в первый, мы получим терм 1„(х = 1„(у = 0) ), в котором >в (у = 0) выступает в роли вложенного >-герма. Однако этот терм мы можем ввести и непосредственно, выведя формулы единственности для Я (а, 1„5 (у)), т. е. для а = >в (у = О)'. Если мы в качестве Я (а, Ь) возьмем формулу а'=Ь, то соответствующие формулы единственности по переменной а уже не будут выводимы. Но формулы единственности для формулы а' = ьв (у = 0') ') Этв примеры выбраны бев учета лх математической ввачиыости, в руководствуясь только твы, что выводлыость отвечающих им формул единственности усматривается немедленно.
Примеры, ии>вресные с математической точки арввля, мы рассмотрим в дальпейщеы. будут выводимы, и поэтому выражение (х' = >в (у = 0')) также может быть введено в качестве терма. В обоих рассмотренных нами примерах мы встречаемся с вло- жением >-термов, но только в первом из пих вложение может быть получено также и в результате подстановки. Если мы теперь возьмем в качестве Я (а, Ь) формулу а = 0 >/ Ъ = 0', а в качестве З (а, Ь) формулу Ь = а', то с помощью 1-правила выражение 1,З(а, У), т. е. ье (У = а'), может быть введено в качестве терма и затем с помощью 1-правила мы получим формулу >в (У = а') = а . При помощи этой формулы с использованием аксиом равенства и аксиомы (Рв) могут быть выведены соответствующие формулы единственности для формулы а = 0 >/ 1в (у = а') = 0'.
Тем самым мы можем ввести в качестве герма вь>ражение 1„Я (х, >вй) (х, у)), т, е. 1, (х = 0 )~ >в (у = х') = 0'). Мы имеем здесь пример подчинения. Внешний, подчиняющий 1-символ связывает свободную перемепную, входящую в подчиненный теРм >в (У = а'). Кроме такого способа подчинения, когда переменная какого- либо 1-выражения непосредственно связывается подчиняющим его >-символом, существует еще и косвенный способ подчинения, который заключается в том, что какая-либо переменная 1-выражения связывается снаружи каким-нибудь квантором (всеобщности или существования) илн же каким-нибудь >-символом, а этот в свою очередь находится в области действия какого-нибудь другого 1-символа.
Подчинение такого типа имеет, например, место в случае герма вида 1,'Ч'уЯ (х, 1»5 (у, з)), где переменная у в выражении 1,3 (у, в) связывается квантором всеобщности 1>у, который сам находится внутри рассматриваемого нами >-герма. Другой пример косвенного подчинения представляет собой терм 1„Я(х, >в>О(у, 1,5 (у, з))), г !) »-ПРАВИЛО И ОПЕРИРОВАНИЕ С НИМ 47б пОнятие»тот, котОРый» и его устРАпимость 1гл, у1п в котором выражение 1,»э (у, г) подчинено всему рассматриваемому 1-терму через посредство вложенного герма »т5 (У, 1,6 (У, г)). Возможны и такие случаи, когда прямое подчинение имеет место наряду с косвенным; действительно, различные переменные какого-либо 1-выражения могут быть связаны по-разному.
Так, например, терму ДуоЛ (1,23 (х, у, г)) встречающееся в нем 1-выражение 1,5 (х, у, г) подчинено, с одной стороны, непосредственно (связыванием переменной х), а с другой стороны, косвенно (связыванием у). Как можно видеть уже иа этих примеров, в результате комбинирования различных способов сочетания 1-символов на свет могут появиться чрезвычайно запутанные структуры. Уже в случае сравнительно простых обравований 1-термы становятся трудно обозримыми. Поэтому для тех или нных часто встречающихся 1-термов целесообразно вводить с помощью явных определений сокращающие их символы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
