Главная » Просмотр файлов » Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление

Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 7

Файл №947330 Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление) 7 страницаЭльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330) страница 72013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Если в уравнении у(х у) еу (1.22) фуннлия /(х, у) непрерывна в прямоугольнике О1 «а и (х (хо+а Уо д (у (уо+д и удовлетворяет в Е) условию Лиишица: Ч(х У ) — У( уэ) 1 (А(1У вЂ” у 1 где М вЂ” постоянная, то суигествует единственное решение у=у(х), ха — Н (х (х + Н, уравнения (1.22). Удовлетворяющее условию у(хе)=уе, где Н(пня(а. м у1 а 1 М = шах Т (х, у) в О. Условия теоремы нуждаются в некоторых пояснениях. Нельая утверждать. что искомое решение у=у(х) уравнения (1.22), уловлетворяющее условию у(х ) =у„. будет существовать прн г(е — аа,„ .я;х ~',ха+а, так как интегральная кривая у=у(х) может выйтн д а) твоявмы сэщвствованмя н вдннстваннбсти 41 из прямоугольника Й через его вериною илн нижнюю стороны у = уа + Ь (рис. 1.14) прп некотором аначении х = хц хэ — а ( х, < ( хэ + а, и тогда, если х, ~ ха, при х ) х, решение уже может быть не определено 1если х, < х, то решение может быть не определено при х < х,).

Можно гарайтировать. что интегральная кривая у=у1х) не выйдет за прелелы области О прн х, изменяющемся на у, .б Ьь-Ь д, =-н 1дя= И О! х,-э Ю-Ь Ю г;лай+а Рнс. 1.15. Рнс. 1.14. отрезке хэ — Н ( х < х„+ Н, где Н вЂ” наименьшее из двух чисел а, — (рис. 1.15), так как угловой коэффициент касательной к искомой Ь М интегральной кривой заключен между угловыми коэффициентами М и — Л4 прямых, изображенных на рис. 1,15. Если этн прямые, между которыми заключена искомая интегральная кривая, выходят за пределы прямоугольннкз О через его горизонтальные стороны у = уа ~ Ь, Ь то абсциссы точек пересечения этих сторон будут ха+ —, следовательно, абсцисса точки выхода интегральной кривой из прямо- Ь угольника й может быть лишь меньше или равна ха+ — и больше Ь4 Ь или равна ха — —.

Ь4 ' Можно доказать существование искомого решения на отрезке Ь з х — Н (х < хэ+Н, где Н=ш!и !а, — „,), однако проще вначале доказать существование решения на отрезке х„— Н (х (хэ+Н, Ь 11 где Н( пня~а, —, — !, а в дальнейшем будут указаны условия, м ' ьг,!' при выполнении которых решение может быть продолжено. Условие Липшнца !У(х у) — У(х. у)! <Н!у — уа! 42 ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. ! может быть заменено несколько более грубым, но зато обычно легко проверяемым условием существования ограниченной по иодулю частной производной у„'(х, у) в области О. Действительно, если в прямоугольнике 1У 1У„'(х, у)! (И, то, пользуясь теоремой о конечном приращении, получим )у(х. У,) — У(х, уа))=У (х, Ь))у, — у,!. где ь — промежуточное между у, и уа значение.

Следовательно, точка (х, а) лежит в г1, поэтому (х ц)~ ~(М и !у (х у!) — у(х уз) ~ ~()тг ~ у1 — ут!. Нетрудно привести примеры функций у (х, у) (например, ,Г(х, у)=1у~ в окрестности точек (х, 0)), лля которых условие Липшица выполнено, но производная — в некоторых точках не дУ ду существует, следовательно, условие ~ — ~ < гтГ является более гру- дУ ду 1 бым, чем условие Липшица.

Доказательство теоремы существования и единственности. Заменим дифференпиальиое уравнение —.=/ (х, у) ду дх (1.22) с начальным условием у(ха) =Уз эквивалентным интегральным уравнением (!.23) у = у + ) .г ( ° у) д (! .24) Действительно, если некоторая функция у = у(х) при подстановке обращает в тождество уравнение (1.22) и удовлетворяет условию (1.23), то, интегрируя тождество (1.22) и принимая во внимание условие (1.23), получим, что у = у (х) обращает в тождество и уравнение (1.24). Если же некоторая функция у=у(х) прн подстановке обращает уравнение (1.24) в тождество, то она, очевидно, удовлетворяет и условию (1.23), а дифференцируя тождество (1.24), получим. что у =у(х) обращает в тождество и уравнение (1.22). Строим ломаную Эйлера у=у„(х), исходящую из точки (х, уз) и с шагом гг„= — на отрезке хр (х ~ ха+Н, а — целое положив л в) теОРемы суп!естаовлния и единственности 43 у,'(х) = у'(х», у») при х» < х ~~ х ,.

!г = О, 1, ..., я — 1 (в угловой точке х» взята правая производная), или у,'(х)=~(х, у„(х))+~~(х», у ) — ~(х, у„(х))1 (1.25) обозначим г" (х», у») — у (х, ул (х)) = т1„(х). В силу равномерной непрерывности функции Г" (х, у) в О получим ! Чл (х) / = ! у (х», у„) — ! (х, у, (х) ) ~ < ел (1.26) при я.» Н(ел), где е„— »О при а — ь со, так как !х — х»~ (Ьл, а ) у» — у,(х)/ ч, Мд„н альт — -»О при и — »со. Н л л Интегрируя (1.25) по х в пределах от хв до х и учитывая, что у,(ха)=уз, получим к к у.(х)=уз+ / У(! ул(1))д1+ / т!.(!)д~. к кк (1.27) Здесь л может принимать любое целое положительное значение, сле- довательно, при целом т ) О увы (х) =уз+ ~ У(!' Ул»т(~)) а!+ ~ цл»т(!)с(!' (1'26) кк тельное число !совершенно аналогично доказывается сушествование решения на отреаке хз — Н ( х (хз). Ломаная Эйлера, проходящая через точку (х, ув), не может выйтн пз области !) при хел.

х ( (хв+ Н (или хв — Н (х ( хв), так как угловые коэффициенты каждого звена ломаной по модулю меньше Я. Дальнейшее доказательство теоремы разобьем на три этапа: 1) Носледовательность у=у„(х) равномерно сходится. 2) Фуннлия у(х)= !Нп у„(х) является решением интеграл»- к -«т ного уравнения (1.24). 3) Решение у(х) уравнения (1.24) единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о 1). По определению ломаной Эйлера 44 днеекгвниилльныа квавнзння ивяного пояядкл [гл. ~ Вычитая нз (1.281 почленно (1.27) и взяв молуль разности, получим к )Ул„,л(х) У„(х)) — ~ (7(1. Ул (1)) — ~($, У„(Е)) с(1 -1- а 1 п...ааааа ) п.ааааа< а,, а < ~ ~,7И ул, Я) —,7(г у„(1))!а(1+ к, х + ~~~„,„(1)~Я 4 ~~и.Н)((1 к, при хз ~х(хе+Н или, принимая во внимание (1.26) и условие Липшица.

1) пит(Х) Уи(Х)! ~~ о ~ ! Улит(Г) Ул(Г) !а(Г+(Ел+т + Ел) ' Н' к, Слеаовательно, плах /)а„.„(Х) — ул(х) ~ < к ч к~хаим к ~~Ишак ~ )у„+ (1) — ул(1)(Ж+(ел„„+е„)Н, к, откуда х, К к <' х, .а Н для любого е > О при лостаточно большом л ) И, (з).

Итак, шах )У„ит(х) — У,(х)(( е х <кКхаи Н пРи п) М,(е), т, е. послеловательность непРеРывпых фУнкций Ул(х) равномерно схолнтся при хе ~ х ~( хе+ Н: Ул(х) ь У(х) гле у(х) — непрерывная функция. Доказательство 2). Перейлем в уравнении (1.27) к пределу при л->со: к к !пнул(х)=уз+ Вш 1,7(х, у„(х))пах+ Вгп ~ т)„(х)ах лЭт Л.Ъ л-а а ка «а $ Я1 ТВОРВМЫ СЯ1ПВСТВОВЛНИЯ И ЕДИНСТВЯННОСТИ или у(х)=уе+ 1ип ] г(х, у„(х))с(х+ Дш ] 1)„(х)в1Х. (1.29) к.«ск «-« к к, В силу равномерной сходимости у„(х) к у(х) и равномерной непрерывности функпии )'(х, у) в 1) последовательность 1(х, у„(х))~~ ' г'(х, у(х)).

Действительно, У(х, у(х?) — У(х, у„(х)) [ < е, гле е ) О, если [у(х) — у„(х)[ < 6(е), но ]у (х) — у„(х)' < А(е), если и ) Л11(Ь(е)) лля всех х из отрезка хв < х < хе+ гт'. Итак, [~(х, у(х)) — Г(х, у„(х) )] < е при а ) 1тг1(Ь(е)), гле 1Ч1 не зависит от х. В силу равномерной схолимости последовательности 1(х. у„(х)) к у (х, у(х)) в (1.29) возможен переход к пределу пол знаком интеграла. Принимая, кроме того, во внимание, что ]1)„(е)] < е„, где ее †« О при и †« оо, окончательно в (1.29) получим к у(х)=у,+ ~ у'(х, у(х)) с(х.

Итак, у(х) удовлетворяет уравнению (1.24). Д о к а з а т е л ь с т в о 3). Допустим существование двух несовпалающих решений у,(х) н ут(х) уравнения (24). слеловательно, гпах ]у, (х) — уя(х)[ + О. ; <к~;к,+Н Вычитая почленно ив тождества к у1(х)=уе+ ) У(х у1(х))г(х тождество к ув(х)=уе+ ~ г'(х, у (х) )с(х, к, получим к ,у1 (х) — уя (х)— : ~ [ Г (х у1 (х) ) — у (х, уя (х) )] с(х. ке 46 дижеевенцмлльные кплвняния пепвого попядкл 1гл.

г Следовательно, шах )у,(х) — уа(х)~ = х~ жкцк,кп к шах ~ (у'(х «о схж«~ч» ~ у, (х) ) — Г(х, ут (х) )] Их ( / )кк(х, у,[х)) — у'(х, ув(х))1цх ( шах .к, цхцк,+и Пользуясь условием Липшица, будем иметь п1ах (у,(х) — у,(х)~ (И 1пах ~ 1у, (х) — у,(х)) г1х к,жк <к,~-н и цкхях,-~ц < И шах 1у, (х) — у, (х)) |пах ~ г)х к,жхжк, кн ХОЯК К К КН ~ ~к, = ИН шах )у, (х) — ут (х) ~. к,жх к,~-н Полученное неравенство 1пах 1У,(х) — Уя(х)( < ИН |пах )У,(х) — У,(х)( (1.ЗО) хо<«<к+и к,цк „«,~-Н противоречиво. если шах )у,(х) — у,(х)~ Ф О, так как по услок,жкмх,ьн 1 вию теоремы Н < —, а из (1.30) следует, что ИН = 1. Ф ' Противоречие снимается лишь при шах ~ч,(х) — у,(х)( =О к, <хцхкьм т.

е. если у,(х)= — ут(х) при ха (х (ха+ Н. Заме чан ив 1. Существование решения уравнения (1.221 можно было бы доказать иным методом лишь в предположении непрерывности функции у'(х, у) (без условия .'!ппшица), однако одной непрерывности функции Г'(х, у) недостаточно для локазательства единственности решения. 3 а и е ч а н не 2.

Существование и единственность решения у=-у(х) доказаны лишь на отрезке хе — Н ( х ( ха+ Н, однако, взяв точку (хе+ Н, у(хв+ Н1) за начальную, можно, повторив рассуждение, продолжить решение еще на отрезок длины Нн если, конечно, в окрестности новой начальной точки выполнены условия теоремы существования и елинственности решения.

Продолжая этот процесс $ а! твогвмы существоялния и елинстввнности 47 в некоторых случаях, можно нрололжить решение на всю полуось х)~ хе или лаже на всю ось — со ( х ( со, если продолжить решения и в сторону меньших значений х. Олнако возможны н другие случаи, ламге если функция 7(х, у) опрелелена для любых значенийхиу. Возможно, что интегральная кривая становится пепролол касмой авилу приближения к точке, в которой нарушены условия теоремы Рнс. !.!6.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6314
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее