Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Остановимся несколько подробнее на последнем из этих вопросов применительно к уравнению движения (В.2). В прикладных задачах начальные значения га и гз почти всегда являются результатом измерения и, следовательно, неизбежно определены с некоторой погрешностью. Поэтому естественно возникает вопрос о влиянии малого изменения начальных значений на искомое решение. Если сколь угодно малые изменения начальных значений способны вызвать значительные изменения решения, то решение, определяемое неточными начальными значениями гз и ге, обычно не имеет никакого прикладного значения, так как оно даже приближенно не описывает движение рассматриваемого тела.
Следовательно, возникает важный для приложений вопрос о нахождении условий, при которых малое изменение начальных значений гз и гевызывает лишь малое изменение определяемого ими решения г(Г). Аналогичный вопрос возникает и в задачах, в которых требуется выяснить. с какой точностью надо задавать начальные значения га и гз, чтобы движущаяся точка с ваданной точностью вышла на требуемую траекторию или попала бы в данную область.
ввадгник Столь же большое значение имеет вопрос о влиянии на решение малых слагаемых в правой части уравнения (В,2) — малых, чю постоянно действующих снл. В некоторых случаях этн малые силы, действующие в течение большого промежутка времени, способны сильно исказить решение и ими нельзя пренебречь. В других случаях изменение решения пол действием этих сил незначительно, и если оно не превосходит требуемой точности вычисления, то малыми возмущающими силами можно пренебречь. Ниже излагаются методы интегрирования дифференинальных уравнений и простейшие способы исследования их решений. ГЛАВА 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 5 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка первой степени можно, разрешив относительно производной, представить в виде лУ .г (х у) Простейший пример такого уравнения — = У(х) лу рассматривается в курсе интегрального исчисления.
В этом простей- шем случае решение у = ~ у (х) а'х+ с содержит произвольную постоянную, которая может быть определена, если известно значение у(х„) =уз, тогла у=ус+ ~ У(х) ' ° о В дальнейшем будет доказано, что при некоторых ограничениях, налагаемых на функцию у(х, у), уравнение — „=У(х.
у) лх также имеет единственное решение, удовлетворякицее условию у (хе) = =у, а его общее решение, т. е. множество решений, содержащее все без исключения решения, зависит от одной проиввольной постоянной. 16 днеЕВГВНЦИЛЛЬНЫВ ГПЛВНЕНИЯ ПВПВОГО ПОЯядил (ГЛ. 1 Пример 1. ду у а'х х' Рнс.
1.1. В каждой точке, отличной от точки (О, 0), угловой коэффициент касательной к искомой интегральной кривой равен отношению —, т. е. совпадает с уг- У ловым коэффициентом прямой, направленной аз начала координат в ту же Рнс. 1хй Рис. 1.2. точку (х, у). На рнс. 1.2 стрелками наобрансено поле направлений, определяемое рассматриваемым уравнением. Очевидно, что'интегральными кривымн в данном случае будут прямые у = сх, так кан направления этих прямых есюду совпадают с направлением поля Пример 2.
иу х д.х у' Дифференциальное уравнение — = у (х, у) устанавливает вавилу я'х снмость между коорлинатами точки и угловым коэффициентом касательной — к графику решения в той же точке. Зная х и у, можно ау лх вычислить —. Следовательно, дифференциальное уравнение рассмачу лх' триваемого вида определяет поле направлений (рис. 1.1) и задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в том, чтобы найти кривые, называемые инлтегральными кривылги, направление касательных к которым в каждой точке совпадает с направлением поля.
4 И гедвнения, пдзвешенные относительно неоизводнои !у Замечаем, что угловой козффициент касательной н искомым интегральным х у кривым — — и угловой козффициент касательной — к интегральным крк- у х вым примера 1 в каждой точке удовлетворяют условию ортогональности: х у — — .
— = — 1. Следовательно, поле направлений, определяемое рассматри- ,у х ваемым дифференциальным уравнением, ортогонально полю направлений, изображенному на рис. 1.2. Очевидно, что интегральными кривыми уравне- йу х ння — = — — являются окружности с центром в начале координат х'+ и'х у +уз = с' (рис. 1.3) (точнее, полуокружности у=)' с' — х' и у = — Уст — х'). При мер 3. — =)' х'+у'. и'х Для построения поля направлений найдем геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются илокхинажи. Уравнение изоклин получим, считая — а, где а — постоянная; р х' + у' = а кли х + ут = йд У и и'х Следовательно, в данном случае изоклинами являются окружности с центром в начале координат, причем угловой козффициент касательной к искомым Рис.
1.4. интегральным кривым равен радиусу зтих окружностей. Для построения поля направлений дадим постоянной Ф некоторые определенные значения (см. рис. 1.4 слева). Теперь можно уже приближенно провести искомые интегральные кривые (см. рис. 14 справа). Пример 4. 1+ ху. Изоклннами являются гиперболы «=ху+1 или ху=а — 1, причем при а = 1 гипербола распадается на пару прямых х = О и у =О (рис. 1.5). При Ф = О получаем изоклину 1 + ху = О; зта гипербола разбивает плоскость на части, в каждой из которых у' сокраняет постоянный знак (рис.
1.6). Интегральные кривые у = у(х), пересекая гиперболу 1 + ху = О, переводят иэ области возрастания функции у (х) в области ее убывания или, наоборот, 2 л. з. зльспыьк 18 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ГЛ. 1 из области убывания з область возрастания. и следовательнж на ветвях втой гиперболы расположены точки максимума и минимума интегральнык кривых. Рис. 1.5 Рис. 1.6. Определим теперь знаки второй производной в различных областяк плоскости: у" ху'+у или у" х(1+Ау)-(-у х+(ля+1) у. Кривая л+(х'+1) у О или х у 1+к' (рис.
1.7) разбивает плоскость иа две части, в одной из которых у' < О, и следовательно, интегральные кривые выпуклы вверк, а в аругой у" > О, и значит, интегральные кривые вогнуты вверх. у При переходе через кривую (1.1), интегральные кривые переходят от выпуклости к вогнутости, и следовательно, на втой кривой расположены точки перегиба интегральных кривых. В результате проведенного исследования известны области возрастания и Рис.
1.7. Рис. 1.8. убывания интегральных кривых, известно расположение точек максимума и минимума, известны области выпуклости и вогнутости и расположение точек перегиба, известна изоклииа а = 1. Этих сведений вполне достаточно для того. чтобы сделать набросок расположения интегральных кривых ая эилвнзния с влзделяюшимнся пзэзмзнными 19 (рнс. !.8). но можно было бы вычерпыь еще несколько нзоклнн, что позво- лило бы уточнить расположение интегральных кривых. Во многих задачах, в частности почти во всех задачах геометрического характера, переменные х и у совершенно равноправны. Поэтому в таких задачах, если они сводятся к решению дифференциального уравнения (1.2) естественно наряду с уравнением (1.2) рассматривать также уравнение ил 1 иу у(х, у) (1.3) Если оба эти уравнения имеют смысл, то они эквивалентны, так как если функция у=у(х) является решением уравнения (1.2), то обратная функция и=л(у) является решением уравнения (1.3), и слелозательно, уравнения (1.2) и (1.3) имеют общие интегральные кривые.
Если же в некоторых точках одно из уравнений (!.2) или (1.3) теряет смысл, то в таких точках естественно его заменять другим из этих уравнений. Например, уравнение — = — теряет смысл при л= О. Заменив "У У ил х дх х его уравнением — = —, правая часть которого уже не теряет смысла при х=О, находим в дополнение к ранее найденным решениям у=сх (см. стр. !6) еше одну интегральную кривую х=О етого уравнения. ф 2. Уравнения с разделяющимися перемеинымн Лифференциальные уравнения вида 7з (у) пу = Уз (х) дх (1.4) называются уравнениями е разделенными переменными. Функции у,(л) и у (у) будем считать непрерывными.
Предположим, что у (х) является решением этого уравнения, тогда при подстановке у(х) в уравнение (1.4) получим тождество, интегрируя которое, будем иметь: ~ Уз (у) с(у = ! У, (х) дл + с, (1. 5) где с — произвольная постоянная. Мы получили конечное уравнение (1.5), которому уловлетворяют все решения уравнения (!.4), причем каждое решение уравнения (1.5) 20 пиФФеРенцилльные уРАВнения пеРВОГО пОРядкА [Гл. т х лх+ у в'у = О. Переменные разделены, так как коэффициент при только х, а коэффициент при лу является функцией Ых является функцией только у.
Интегрируя, получим хах-1- ~ уму с или х*-1-у'=сз является решением уравнения (!.4), так как если некоторая функ- ция у(х) прн подстановке обращает уравнение (1.5) в тождество, то, дифференцируя это тождество, обнаружим, что у(х) удовлетво- ряет и уравнению (1.4). Конечное уравнение г1з(х, у) = О, которое определяет реше- ние у(х) дифференциального уравнения как неявную функцию х, называется интегралом рассматриваемого лифференциального урав- нения. Если это конечное уравнение определяет все без исключения решения данного дифференциального уравнения, то оно называется общим интегралом рассматриваемого дифференциального уравне- ния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
