Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Действительно, с к ~ гг(х, у,, уа, ..., Ук)ах (М / сгх ( 1ЧЬе к, Ь1, к к и следовательно, )у! — уге( .((11. Остается проверить выполнение условия 2) принципа сжатых отображений: р(А [)'), А (к.)) = к к %ч = 7 Псак ! ~ (т'1(Х, Уи УЯ...,, Ук) — т'1(Х, гн а,, ..., ал)) ПсХ!.( 1=1 к кт < 7„ГПак ( ) ) (1(Х, Ун УЯ, ..., У„) — Л(Х, ан а,,..., ал) ) Г(Х ( к к (и ~~ гпах! ~ ~ (ус — гл!гхх! ( 1=1 кл 1=1 л !л к (И ~ щах)уг — гг! ~ап1ах ~ / ах ~ =Ипл,р()с, л). кл З а1 твопвмы сящвствовлння и пдннстввнностн 53 Следовательно, если выбрать )зо ( — ", где О ( а < 1, или Мино (а < 1, то условие 2) принципа сжатых отображений будет удовлетворено и будет существовать единственная неподвижная точка Г, причем ее можно найти методом последовательных приближений.
Но условие г' = А (Р) по определению оператора А эквивалентно тождествам у,==усе+ ~ у,(х, уо уз, ..., у ) озх (з'= 1, 2, ..., п), где уг(1=1, 2, ..., является единстненным п) — коорлинаты вектор-функции )к, то есть )к решением системы (1.33). несколько последовательных приблн яений уь уь Пример 1. Найти уз к рсшснию уравнения — = х'+ уз; Йх У(О)=О, — 1(. (1, — гк.»<1. у= / (х'+у') Лх, Л, = изШ~1, —,) = —,. 11 ! ' г) 2' о Полагая у,(х) — = О, получим к к хз , т хз1 хз хг у, = / хззтх= —. у,= 1 (хз+ — ) згх= — + —, 3' ' / (, 9) 3 б3' о о к о П р и м е р 2.
При каких ограничениях линейное уравнение — + р (х) у = у (х) зту удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Лля выполнения первого условия теоремы достаточно, чтобы на рассматриваемом отрезке изменения х, а, (х (аз, функции р(х) и у(х) были бы непрерывны. Прн этом будет выполнейо и второе условие теоремы существования н единственности, тан хая частная производная по у от правой части уравнения — = — р(х] у + у(х) равна — р(х) и вследствие непрезту в'х рывности функции р(х) на отрезке а, (х (а, ограничена по модулю (см. стр. 42).
Итак, если р(х) и /(х) нейрерйвны на отрезке а,(х(аз, то через каждую точку (х,, у,), где а, < х, < а,, а у, задается произвольно, проходят единственная интегральная кривая рз гмзтриваемого линейного- уравнения. 54 ЛГГФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВГГЕИИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ГГЛ.
Г Теорема 1.2 (о непрерывной зависимости решения от параметра и от иачальньгх зггачеп), Если правая часть дифференциального уравнения еу „— '=1(х У Р) (1.34) непрерывна ио р при ро.< ц ~( р, и удовлетворяет условиям теоремы сушествования и единслгвенности, прггчем постоянная Лггпигигга ггГ не зависит от р, то решение у(х, р) расслгатриваемого уравнения, удовлетворяюигее условию у(хо) =у„, непрерывно зависит от р. Строим ломаные Эйлера у„=уо(х, р), являющиеся непрерывными функциями р, и, повторяя рассуждения на стр. 40 — 45, получим, что последовательность у„(х, р) сходится равномерно пе только гго х, но и по р при х, е х с хо+Н, ро:.- р (1гг, так как М и Н ь не зависят от р, если Н( гп!п(а, —, — 1, где г)г()~)у(х, у, р)).
Следовательно, решение у=у(х, р) уравнения л у = уз + ) 1 (х, у, р) дх, л, (1.35) являющееся пределом последовательности у„(х, р), непрерывно не только по х, но и по р. Замечание. Если применить к уравнению (1.35) метод последовательных приближений. то последовательные приближения у = =у„(х, р), являющиеся непрерывными функциями х и р, равномерно сходятся к решению у(х, р) уравнения (1.35) (так как а= =ИИ(1 не завнсиз от р).
Следовательно, н эгим методом можно доказать непрерывную зависимость решения от х и р. Очевидно, что доказательство нисколько не изменится, если правая часть уравнения (1.34) является непрерывной функцией нескольких параметров в предположении, конечно, что постоянная Липшица М от них не зависит. Тем же методом при аналогичных условиях можно было бы доказать непрерывную зависимость решения у(х, хо, уо) уравнения — =1'(х, у) от начальных значений хо и у,, при этом пришлось бы ау ах лишь несколько уменьшить Ио, так как в противном случае решения, определяемые начальными значениями, близкими к хо, уо, могли бы выйти из области О уже при аначениях х, лежащих на интервале хо — Ио С х С хо+ Ио.
Однако еще проще заменой переменных свести вопрос о зависимости решения от начальных значений к уже рассмотренному выше З В1 теОРемы существования и единственности 55 случаю зависимости решения ог параметров, содержащихся в правой части уравнения (1.34). Действительно, полагая я=у(х, хо, уо) — уо, г=х — хо, преобразуем уравнение — =у (х, у) с начальным услоиу йх вием у(хо)=уо в — „Г =у(С+хо, а+уз), е(0)=0. к которому уже люжно применить теорему о непрерывной завнснмосте решения от параметров хо и у,, если функция у непрерывна н удовлетворяет условию Липшица.
Аналогичные теоремы теми же методами могут быть доказаны для систем о,;. уравнений. гчо. Ри г Заиегиьи что непрерыв- 1:у - р ~ .'гг ю д г ная зависимость решения У(х, хо. Уо), хо~(х~(Ь (пли д ( х .:-' х,), от начальных значений х и уо означает, что для любого е) 0 можно подобрать Ь(е, Ь) > 0 такое, что из неравенств ~ хо — хо! ( Ь(е Ь) " !уо — уо! (Ь(е Ь) следует неравенство ',у(х, хо, у,) — у(х, х,, у,) ~ (е (1.36) при хо < х <Ь (рис. 1.18). С возрастанием д число Ь(е, Ь), вообще говоря, уменьшается и при Ь -э оо может стремиться к нулю.
Поэтому далеко це всегда удается подобрать такое число Ь(е) ) О, при котором неравенство (1.36) удовлетворялось бы для всех х ) хо, т. в. не всегда решения, близкие по начальным значениям, остаются близкими при сколь угодно больших значениях аргумента. Рещение, которое мало изменяется при произвольном, но достаточно малол~ изменении начальных значений для сколь угодно больших значений аргумента, называется устойчивым. Подробнее об устойчивых решгнияк см. гл. 4. Теорема 1.3 (об аналитической зависимости решения от параметра, теорема Пуанкаре). Решение х(Г, 10 диффереиииальноао уравнекил х.= г" (г, х, р), удовлетворяющее условию х(го)=хо, аналитически зависит от параметра р в окрестности значения р = ро, если функаия у' в заданной области изменениЯ Г и х и в некотоРой окРестности тоюси гьо ненРерывна по г и акалитически зависит от р и х.
56 дифевввицилльиыв ввлвипиия пвпаого повидал 1гл. г Аналогичное утверждение справедливо и для системы уравнений х,(г)=~,(г, х,, хз, .... х„. И) (1=1, 2, ..., и), причем в этом случае предполагается, что функции 7, непрерывны по первому аргументу и аналитически зависят от всех остальных аргументов. Подробное доказательство этой теоремы, как и других теорем, требующих применения теории аналитических функций, иы не приводим, отсылая читателя к статье А. Н. Тихонова (4], где дано наиболее простое доказательство теоремы об аналитической зависимости решения от параметра. Идея доказательства А. Н. Тихонова сводится к следующему: считая, что И может принимать и комплексные значения, доказывается существова- Л„х(б и) дх ние предела Игп " = — .
что и означает аналитическую зависал з ЛИ дИ масть решения от И. Существование этого предела следует из того, что Лих отношение —" удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению Ли й Л„х У(Л х(Г, И-)-ЛИ), И+ЛИ) — У(Г, х(д И), И -1-ЛИ) Лих(Г, И) а'Г ЛИ Ли Лих (Л и) у(г х(б и), и+ли) — у(г, «(г, и) и) л„.» ~ + Ли Ли Р=б решение которого единственно и при стремлеини приращении ЛИ по любому закону к нулю стремится к единственному решению уравнения йг ду дг — = — г+ —, «(тэ) =О. йт = дх дИ' Теорема 7.4 (о дпгррэеренцируемости решений). Если в окРеслскости точки (хз, Уэ) фУнкйип 7(х, У) имеет ЯепРерывные производные до я-го порядка включительно, то решение у(х) уравнения — =7(х, У), ту (1.37) удовлетворяющее начальному условию у(хэ) = у, в некоторой окрестности точки (хз, уэ) амеелг непрерывные производные до (а+ 1)-го порядки включительно, Доказательство.
Подставляя у(х) в уравнение (1.37), получаем тождество д = — 7" (х, У(х)). ду дх (1.37,) и следовательно, решение у (х) имеет в некоторой окрестности рассматриваемой точки непрерывную производную 7 (х, у (х)). а з1 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 57 Тогла, в силу существования непрерывных производных функции у, будет существовать непрерывная вторая производная решения — = — + — — = — + — у(х, у(х)).
дау дУ дУ ду дУ дУ дха дх ду дх дх ду Если к ) 1, то, з силу существования непрерывных производных второго порядка функции 7", можно, дифференцируя еще раз тождество (1.37,), обнаружить существование и непрерывность третьей производной решения даУ дЯУ дЯУ даУ я дУ / дУ дУ вЂ” = — + 2 — 7 + — У'+ — 1 — + — У) дх' дха дл ду ду' ду 1 дх ду Повторяя зто рассуждение к раз, докажем утверждение теоремы. Рассмотрим теперь точки (хз, у„), в окрестности которых решения уравнения — = у(х, у), уловлетворяюшего условию у (ха) = ув, ду дх не существует нлн решение существует, но не елинственно. Такие точки называются особыми точками.
Кривая, состоящая сплошь нз особых точек, называется особой. Если график некоторого решения сплошь состоит из особых точек, то решение называется особым. Для нахождения особых точек илн особых кривых надо прежде всего найти множество точек, в которых нарушены условия теоремы о существовании и единственности решения, так как только среди таких точек могут быть особые. Конечно, не кажлая точка, в которой нарушены условия теоремы о существовании и единственности решения, обязательно является особой, так как условия втой теоремы достаточны для сушестнования и единственности решения, но они не являются необходимыми.
Первое условие теоремы существования и единственности решения (см. стр. 40] нарушается в точках разрыва функции у(х. у), причем если при приближении по любому пути к некоторой изолиРованной точке РазРыва (ха, У„) фУнкциа 7' (х, У) неогРаниченно возрастает по модулю, то в тех залачах, з которых переменные х и у равноправны. как мы условились выше. уравнение — = у(х, у) ду дх а'х ! должно быть заменено уравнением — „= ( ), лля которого ду У(х.
у) ' правая часть уже непрерывна в точке (ха, уа), если считать 1 = О. у(ла уа) Следовательно, в задачах, в которых переменные х и у равноправны, первое условие теоремы существования и единственности нарушается в тех точках, в которых и функция у (х, у) и 1 у(х у) разрывны. 58 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА !ГЛ.! Особенно часто приходится рассматривать уравнения аида Му А((х, у) Фх М(х, у) ' М(х, у) и !у'(х, у) непрерывны.
В этом случае функ- и ( ' ) будут олновременпо разрывны лишь в тех Аг(х, у) Л (х, у) (1.38) где функции М(х, у) "~(х у) Рис. 1.19. Рис. 1.20. точках (хо уо) в которых М(хо, уо)=И(хо, уо)=0 и не сушествуег пределов 1!ш .И(х. У) «.+«Аг(х, у) У '+У !!щ Аг(х, у) «~«. М (х, у) ' У -УУ Рассмотрим несколько типичных особых точек уравнения (1.38). !!Ример 3 йу 2у ах .т кх х Правые части данного уравнения и уравнения — = — разрывны !(у 2у в точке х=О, У=О. Интегрируя уравнение, получим у=ох' — семейство парабол (рис, 1.19) и х О. В начале координат — особая точка, называемая узлом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
