Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 100
Текст из файла (страница 100)
В [17*, 8'б] дифференцнзльлый оператор квазилинейный. В [8*б, 17е, 26ь] применялся метоц доказательства из [53а], В указанной в гл. 1 работе Йенсена [1166] предложен иной метод. Насколько нам известно, предельны гладкосгь (Ь' ) дпя варнацнонных неравенств с ограничениями на грациент установлена лишь в ситуации, описзнной в й 7 из гл.
1. Постановка Эванса [85в] односторонней задачи с ограничениями на градиент, во1бще ~оворя, не эквивалентна вариационному нераьенству с такими же ограничениями. Результаты Эванса (существование, гладкость, предельная гладкость) обоб:лены Рожковской [8*а, в--е] нз случай квазилинейных эллиптических и парабо'шческих операторов в недивергентной форме и достаточно большого класса выпуклых множеств К(х) С Я" при условии и„~ К (х) .
Задача с тояким препятствием исследуется таким же способом, как и залача Снньоринн. Ограниченность первых производных решения задачи Сйньорнни в случае квазилинейных эллиптических и параболических операторов была доказана Уральцевой [9*а, б]. Каффарелли (см. гл, 1), Киндерлерер [122] и Уральцева [9ег] полу- 533 чили раэличнымн методами предельную гладкость (С' о) решения задачи Синьоринн с линейными эллиптическими операторами, причем в [9*г] снижены требования гладкости на коэффициенты оператора и свободный член. Уральцев а доказала также предельную гладкость для некоторого класса квазилинейных эллиптических операторов [9ед], Аналогичные результаты для линейных параболических операторов были установлены Уральцевой в [9*г] и раньше (при более жестких требованиях) Атанасополоусом [14*], Задача с двумя тонкими препятствиями изучена к настоящему времени столь же подробно, как и задача с одним тонким препятствием.
Архипова и Уральцева [2еа]. доказали предельную гладкость (С"о(зс с) Я)), когда препятствия чэ, Ф, "слипаются" на некотором подмножестве Яо СЯ. Аналогичные результаты справедливы для других видов выпуклых ограничений на (л — 1)-мерных многообразиях (см. [10*], а также [9*е] ) . Вариационные неравенства с эллиптическими системами интенсивно изучаются в настоящее время, но здесь имеется еще много открытых вопросов (см. [9*с]). Исключительный случай представляют задачи„аналогичные задачам с препятствиями, связанные с системами с диагональной главной частью. Результатьц полученные здесь, полностью аналогичны имеющимся в скалярном случае для одного уравнения.
Хилдебрандт и Видман [25*] рассмотрели такие системы с ограничениями на решение в области. Они доказали существование, регулярность и предельную гладкость (И'э ). Огрзничення на решение на границе изучали Архипова и Уральцева [2*б]. Ими установлена И'ээ-регулярность и предельная гладкость (С" ). Относительно вариационных неравенств с системами указанного вида см. также [!'в, !8*, 22*].
Имеются некоторые результаты для общих сильно эллиптических систем. Здесь установлена лишь Иэз ь.регулярность с некоторыми б ) О. Для задачи Синьорини И/з-регулярность доказана впервые Фикерой [!1*], затем (при болееобщихограничениях) Нечасом [21*.] и Уральцевой [9*в], а И'~з,е-регулярность — Кнндерлерером. И",-регулярность установлена также дпя задач с системами, когда ограничения ста. вятся на 1) скачок решения на (и — 1)-мерном многообразии [12*], 2) решение в области и одновременно на части границы [1эг, 3*]. Обзор результатов и большую библиографию по задаче Стефана можно найти в статье Данилюка [4*], книге Мейерманова [бэ] (см.
также монографию Радкевича, Меликулова [7*] ) . Работы [13ва — е; 15*а,б; 16*, 19э, 20", 23*, 24*] по своей тематике непосредственно примыкают к тематике книги и продолжают исследование проблем, затронутых в ней. Эти статьи опубликованьэ после выхода в свет американского издания книги; их любезно указал нам А. Фридман. БРОСОК ЛИТЕРА ТУРБ! 1». Архипова АА. е) О предельной гладкости решения нестзционарной эздзчи с одним нли двумя препятствиями // Проблемы мат. анализа. — Лп Иэд-во ЛГу. — 1983. — Выл.
9. — С. 149 — 156. б) О предельной гладкости решения задачи с двусторонним препятствием // Вести. ЛГУ. — 1984. — Иэ 7. — С. 5-9. в) Регулярность решений диагональной эллиптической системы вариационных неравенств // Проблемы мэт. анализа. — Л.: Иэд-во ЛГУ. — 1986. — Выл. 10. — С. 3-16.
г) О регулярности решения задачи с препятствием, выходящим на границу для сильно эллиптических операторов Л Некоторые приложения Функционального анализе к задачам математической Физики. — Новосибирск: Им СО АН СССР,! 988. — С 3-20. 534 2». А р х и и о в а А.А., У р а л ь ц е в а Н.Н а) О регулярноспг решения задачи с двусгоронням ограничением иа границе // Веста. ЛГУ. — 1986. — Сер. 1. Вып.
1, — С. 3 — 10. б) Регулярность решений диагональных мшиптических систем при выпуклых ограничениях на границе области // Краевые задачи мат. физики н смежные вопросы теория функций. Зал. научи. сем. ЛОМИ. — 1986. — Т. 152. Вып. 18. — С. 5 — 17. 3». Водя на СП О гладкости решений вариацнонных неравенств. связанных с сильно эллиптическими снстемамн второго порядка. Дел.
в Укр. НИИНТИ 2 сент. 1985 г. — Вг 2015 Ук — 85. 4». Д а н и л ю к И.И. О задаче Стефана // Успехи мат. наук, — 1'985. — Т. 40, выл. 5. — С, 135-185. 5». Домаркас А. Односторонние задачи для квазилинейных эллиптических уравнений // Литов. мат. сб,— 1981. -Т. 1, УР4. — С. 83-96. 6*. М е й е р м а н о в А.М. Задача Стефана, — Новосибирск; Наука, 1986 7*. Радкевич КВ., М е л н к у л о в А К. Краевые задачи со свободной границей. — Ташкент: Фан, 1988.
8». Рож к о в окая ТН а) Об олностороииих задачах с выпуклыми ограничениями на градиент // Дифференциальные уравнения с частнымн пронзводнымн: Тр. семинара акад. СЛ. Соболева.— Новоснбнрск: ИМ СО АН СССР. — 1981. — С. 78-85. б) О гладкости решений варнациониых неравенств с ограничениями на градиент//Теоремы вложеияя и их приложения. — Тр. семияараакац СЛ. Соболева. — Новосибярск: ИМ СО АН СССР.
— 1982 — С. 123-138. в) Об односторонних залатал для нелинейных операторов с выпуклыми ограничениями на градиент решения // Докл. АН СССР. — 1983. — Т, 268, йэ 1. — С. 38-41. г) Опносторонние задачи для эллиптических операторов с выпуклыми ограничениями на градиент решения. Гь); П// Сиб. мат. жури. — 1985. — Т.
26, йэ 3. — С. 134-147; йэ 5. — С. 150-158. д) Олиосгороиние задачи лля параболических квазилннейных операторов // Докл. АН СССР. — 1986. — Т. 290, йэ 3. — С. 549 — 552. е) Односторонние зацачи для параболических квазнлинейных операторов // Сяб. мат. журн. — 1988. — Т. 29, Вг 5.
— С 140-152. 9*. Уральцева НН а) Задача с односторонним условием иа границе для квазилинейного эллиптического уравнения // Проблемы мат. анализа, — Л.: Изд-во ЛГУ. — 1977. — Выл. 6. — С 172 — 189. б) Сушествование сильных решений квазнлннейных параболическях уравнений с односторонними условиями на границе области //Вести. ЛГУ. — 1977. — Я» 13. Выц 3.— С 89-98.
в) О сильных решениях обобщенной задачи Сяньорнии /( Сиб. мат. жур. — 1978. — Т.19, о»5. — С 1204-12!2. г) Непрерывность по Гельдеру градиентов решений параболических уравнений прн граничных условиях типа Снньорини Ц Докл. АН СССР. — 1985. — Т. 280, дэ 3. Г. 563-565, ц) Оценка на границе области производных решений вариационных неравенств // Проблемы мат. анализа. — Лс Изд-во ЛГУ. — 1986. — Вып. 10, — С 92-105. е) О регуляриосш решений варнацнонньш неравенств//Успехи мат. наук, — 1987.— Т. 42, вып.
6 !258) . - С. 151 — 174. 10». У р а л ь ц е в а Н.Н., Д е и н с о в а И.В. Задача с односторонними огравиченнями на поверхности раздела двух областей // Вести. ЛГУ. — 1985. — Н-' 8. — С. 36-42, 11*. Фикера Г Теоремы сушествованяя в теории упругости. — М.: Мир, 1974. 12". Я к у н н н а Г.В. О гтыдкости решений вариационпых неравенств // Проблемы мат. анализа, - Л.: Изд-во ЛГУ.
— 1981. — Вып. 8. — С. 213-218. 13». А л ь т, Кафф ар ели и, Фри д м а н (А!\ Н.%., СаПате831,.А., Рпебшап А.) а) Уапабопа! ртоЫетэ ибгЬ гко рцаэеэ апд !пей йее Ьоппбм!еэ // Тшпэ. Ашег. МатЬ. Бес. — 1984. — У. 282. — Р. 431-461. ь) А пес ъоппбагу ртоыет Гог чсаэ)-йпеаг ерйрг!с о!пабопэ // Апп. Бес. ноет.
Бор. Р!эа. — 1984. — У. 11. — Р. 1 — 44. с) ТЬе баш ргоЫет к!ГЬ п»о Пчшэ// Сосни. Роге Арр!. Магп. — 1984. — У. 37. — Р, 601- 646. 535 й) )еса апй сатййев (ос сошрсевяЫе йиИ // ). Р!$$1 ЕФ вЂ” ! 985. — Ч. 56. — Р. 82-141. е) АЬгирс апй япоослюрмас)опоу(тес Ьонпбж)ев )п йоя ргоЫелн // Апп. Вен. Мспп. янр. Р)иа — 1986. — Ч. 13.
— Р, 137 — 172. 14*. Атанас оно по у с (АсЬапаворои1оив).) Ке|иЬпсу о( бсе зо!ис)оп о! ап ечо!исюп рюЫеш вйсЬ шелиа!)тюв оп сле Ьонпйагу // Соспш. Рзтс. ОКТ. Ет). -1982. — Ч. 7. — Р. 1453-1465. 15*. Бе и едет то, Фр ндм ан (Вепейепо Е., Гпейшап А.) а) Сопйнссюп-сопчесйоп ртоЫешз я1сЬ сЬал|е о! рпаю 0 $. РЬТ, Ет). — 1986. — Ч. 62.— Р. 129-185. Ы Репогйс Ье1сачют о( сле ечо!ис)опату г$агп ргоЬ)етп апй те)асей йее Ьопйагу ргойептв // Солил. )л РОЕ, — 1986.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
