Теплопередача. Учебник для вузов. В.П. Исаченко, В.А. Осипова, А.С. Сукомел, 1975 (945106), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Рассмотрим расчет тенлапроводнасти круглого ребра постоянной толщины (рис. 2-15). Круглые ребра применюотся при оребреипи цилиндрических поверхностей (труб). Заданы внутренний радиус ребра гн наружный гр, толщина б и коэффициент теплопроводностн Х. Температура среды гы=сопз1. Избыточная температура ребра будет: 0=1 — 1: Задан постоянный коэффициент теплоотда,р, через чштере реаро чи а на всей поверхности ребра и температура расторрнра голи!вен.
у освонанин ребра бь Режим стационарный, и температура изменяется только по высоте ребра. Найдем для этих условий дифференциальное уравнение, которым опнсываетсн процесс теплоправодпости в ребре. Составим уравнение баланса энергии для кольцевого элемента ребра толщиной бгр Ю.— Я +э=~%. (2-91) Находя составляющие уравнения (2-91), получаем дифференциальное уравнение вида: б'В ! бВ Ъ - — + — — — — в=-й. бгэ г б ЛР 12-9л/ Обозначим 2а/ай=же, тг=п и 1/г т/и; тогда уравнение (2-82) паоле подстановки бб/бг=п1бб/бя и рРЮ/бгт=-те(бэб/бзр) принимает вид: —,+ — — — В=о.
щв ! бв (2-93) 55 Уравнение (2-93) представляет собой уравнение Бесселя, имеющее общее ре(пение вида 6=Са(а(е) +Сг«е(е). (2-94) где )е(е) =)а(лм) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка; Ка(е) =Ке(тг) — моднфацированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка. Этн функции имеют следующие сео(чства: при г=о (е(тг) =.=1 и К,(тг)— Ь при г= — ее (а(нюг) сс в Ка(тг)= — О.
Постоянные С, и С» определяются из граничных условий. Если теплоотдачей с торца круглого ребра пренебречь, то расчетные формулы будут иметь вид: для текущей температуры в ребре 6=6, '(ае)К'(тг')+ '(ам*)!" ('"'); = ° г,'(-„ИК,'(~ч.')+ г,'(~,*! «.'((и) ! (2-95) для температуры ва когще ребра Г,( БК,( Б+Г (,)К,( ).
'Г,(~! «, Р~)+( (тг! К, ~(ц)! для количества теплоты (2-96) С(= — д2т,б ~ — у! =2гл;айтб ф, еае ч (2-97) где ф — ' г,(тдК, (т ! — г,(а,! К,(т 9 l,(е,)К,(тг)+, (тг ! «(ае,) При пользовании этими формулами теплоотдача с торца может быть учтена условным ) велнчсаием высоты ребра (гг) па половину толщины торца.
Формулы (2-95) — (2-97) громоздни и мало удобны для техническнк расчетов. Поэтому для других ребер постоянного сечения, а также аг— а для различных прямых ребер переменного сечения расчет можно свести к методике расчета правее мых ребер постоянного сечения. т При этом количество теплоты, ко- торое будет отдавачъся паверхнао, а стью круглого ребра постоянной толп(ины, е~/~~ (е'= е'г'ф (2-98) 'о аг ае ое ее г,е где (,!' †количест теплоты, от- — даваемое круга|ы» )юбргмл Бм емй грабах ала расчета ар»савх репрев. сгеанееа»алтаем.
Г' — понерхность круглого реб- ра, мг; О==(у(Р— количество теплоты, отдаваемое в единицу времени елниицей поверхности прямого ребра, толщина которого равна толщине круглого, а длина равна ! м; з'=)(бг(бь гг/г,) — поправочиый коэффициепт, определяемый по криным рис. 2-16. 56 Здесь бхрбс — отношение температур на концах ребра, вычисленных по формулам лля прямого ребра постоянного сечения.
Таким образом, вычисляя теипературу на конце ребра н глотность теплового потока для прямого ребра и подставляя д и е' и уравнение (2-98), получим значение тепловою потока для круглого ребра. е се. ТепиОПРОводнОсть примОГО икра леРеменнОРО сечения При конструировании систем охчаждения для целого ряда машин, в особенности для летательных аппаратов, приобретает особую важность решение задачи максимальною теплообмена при минимальной массе теплообменникз. Воааикает с вопрос о там, какова оптимальная форс~а сечении в- с ребра, имеющего минимальную массу при заданном тепловом потоке. — — !с Ребро с минимальной массой (Л. 2099 Существо вопроса сводится ь тому, чтобы каждая часть ребра испольаовалась с одинаковым эффектом.
т. е. плотность тепловою потока должки оставаться постоянной по всему поперечноч] сечению ребра. Зто значит. что линии теплового потока должны быть параллельными оси ребра. При этих условннх теипература вдоль линна теплового патоке будет измеиятьси по линейному закону (рис. 2-17). Г! При заданной температуре у основания ребра Д и при температуре вершины ребра, близкой к температуре окружающей среды ! ., в силу.
одномерности задачи для любого сечения ребра можно записать: Рис. 2-17. Ссчеиие Ребра и иимального кеса. ! — г. = — „(1,— ! ), (2-99) где х — расстояние па оси ребра от его вершины; й — полная высота ребра. Рассмотрим элемент поверхности ребра на расстоянии х. Пусть этот участок поверхности образует с осью ребра угол и.
Если плотность теплоиого потока вдоль оси ребра ранна д, то через рассматриваемый элемент поверхности ребра ова будет равна Е в!и!с (рнс. 2-17). Т!ри этом должно быть справедливо соотношение дз!пм=п(! — 1„,), и ~и (2-100) де)пр= — — л(1,— ! ). Ь Из равенства (2-!00) следует, по угол тр является функдией только х: в, зшр=фх. !2.100) Контур ребра, найденный указанным методом, представляет собой дугу окружности с радиусом г, так как з!пф-к/г. Иэ уравнений (2-100') следует, что гй Ей!пбь Доказано, что такой профиль ребра. 5? (200!1 образованный дугамн окружности, обладает минимальной массой. Такое ребро и ребро треугольного сечения по массе отличаютгл очень малс.
По технологическая причинам проше изготовить ребра треугольнога профиля, поэтому на практике они используются чаще, чем ребра, образованные лугой окружности. Ребро треугольнагр и трзпе) — хт — 1 — б,' ц и е в н л н о г о с е ч е н и я. В практике иаш- ли широкое применение прямые ребра как . Р;.~;Рг;;-,':;с,'г) греугольнагосечеиия с острой вершиной,так ,ч ч"ф.бмф; и с усеченной вершиной — трапециевидные. 777 ' 'Яб фб Пусть заданы размеры трапециевидного РебРа (рнс. 2-18) и избыточная температура бл у его основания.
За начало координат Рв«. 2-)8. пепе»ос тез»атм че аслесообразно принять вершину треугильгез прямее ребра шзаеаиевка- ника, направив ось х вдоль оси симметрии ного сеченая. ребра Прн этом веитор плотности теплово- го потока 4 будет направлен в сторону, про-. тивоположну|о положительному направлению оси х (Л. 124). Для такого ребра площадь иоперечиого сечения 1 будет функцией только координаты х: (=18=2(х(2 Р. (а) Количество теплоты, которое будет отдаваться в окружаюп(ую среду с элемента ребра бх, будет равно: б~д) — я» 7)=аиббх', (Лз Л (б) где а -- коэффициент теплоотдачи на поверхности ребра; и — периметр сечения ребра на расстоянии х, который можно выразить как я=21; л(х'=г(х/соз и.
Произведя дифференцирование выражения (б) с учетом соотношения (а), получим: —,+ — — — — В=О. ла ! ю (в) я»* » я» х лиат После введения новой переменной х=(а(Лз)п6)х уравнение (в) приобретает вид: и'а ! яе —,+ — — 0=0. З» + з яг Дифференцвальноеуравнепие (2-!01) есть модифицированное уравнение Бесселя, решение которого имеет вид: 8 С 1»(2У7)+ СаКе(2) "а ) (2-10») где !з и Ке — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода. Постовнные С~ н Ст в уравнении !(2-102) находятся из граничных условий, которые для рассматриваемого случая запишутся так: при х=хг имеет место 6=-6» Если пРенебРечь потеРЯми тепла с тоРца РебРа, то пРи х=хз имеем 6=67 н (бб(бх)„=0.
После определения постоянных Сг и Сз получим: лля текушей температуры в ребре 8 ), (7У») К,(2Уг,)+),(2)'х,!К,(21' ) ' 7, (2 У»,) К, (2 Уж) + ), (2,) К, (г Ух)Л( для температуры иа конце ребра <,<2Ум) К,(2Ум)+<,(2У.) К,(2У*,) '<,<грл)К,<2Ум)+<,(2Ум)К.<2Ул) ' Тепловой поток можно определить по закону Фурье: [2-!04) 1(, ,(2Улж) К,(2Уе,) — <,(2УУДК,<2)'з)] ( Г,<трл,)К,(2.Улл) т< <2 Уел) К.21 лП При пользовании этими формулами теплоотдача с торца может быть учтена условным увеличением высоты ребра й на половину толщины его торца бл/2 Веля ребро имеет треугольное сечение, то н этом случае щ=О, а следоватепьно, н в.=0, /,(0) =0 и формулы (2-103) — (2-!05) принимают вид: (2-105) (2-1Сб) (2-)ОУ) (2-105) Г (2Уе) (.2 Уе, й,=б, Г,<2~ л,) «Е,а,! ( Г,(22 л) < *.и т 1 «,22",) ) 5<аксвмальный тепловой поток через ребро треугольного сечения данной массы будет имщь место прв выполнении равенства (2-109) Формулы (2-103), (2-10<) и (2-105) громоздки п неудобны аля практических расчетов.
Поэтому расчет ребер переменного сечения можно свести к методике расчета прямьж ребер постоянного сечения. В этом случае О"= Р"Ф (2-! 10) )1' Т где (гт — количество передавае. мой теплоты в едииицу времени; /ж — поверхность охлаждения гд .Иле ребра; д=<;1/Р— плотность тепло.
ваго потока Лля прямоугольного ребра, длина, высота и толщвна которого равны длине, высоте и толщине суженного ребра; е"= р пг л" сл и" хл =/(<В/Ог, бл/бг) — поправочиый рлс 2 <в е -/<в(лв, в,/в,) — еслеиеганоэффнциеит иа суженяость реб- ми элиа тра<ми ллл расчете ребре трапера; в" опревеляетсп по графику мл.лилнсгс л трегпщ а|с еменза. рис. 2-19. Нижняя кривая (при бл/5,=1) соответствует прямому ребру постоянного сечения, а верхняя (<Ц/бе=О) — треугольному ребру. Отношение бг/О, вычисляется ио форм>ле (2-И). Теплоотдача с торца ребра при этом учитывается путем увеличения высоты ребра Ь на половину толщины торца. т! з-тт.
1ЕППОП3'ОВОДНОСта ППОСИОИ пОпуОграниченнОЙ ОднОРОднОЙ ппастнны а*г ач —,+ —,=0 ил' др' —,+ —,=О, д% ФФ дх рг' (2-П1) где Π— избыточная температура, отсчитанная от Гг, т. е. 6=! — Гь Граничные условия: (О при х=0, Д (2-11л] (О при у — ео; )(х) — Гт=р(х) прн у=0. )(ля решения уравнения и частных производных (2-П1) воспользуемся методом разделения переменных'.
Предположим, что 6= )(х, р) О(х)ф(у). Тогда уравнение (2-П1) приводится к виду = — — сопя!. Р" 06 4" !Р) РОО ФОО (2-П 3) Правая и левая части уравнения одииакпвы в постоянны. Обозначим ик через — ее. Таким образом, мы получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: р"(х) +е~р(х) =.О; (2-!14] т)" (у) — лев (у) = О. (2-!16) Решением дифференциального урввнешгн (2-П4) является функция вида: О(х) тСт гол (гх) +Слети (ех]. (2-116) Согласна (2-79) общее решение уравнения (2-Пб) будет иметь вид: ф(у) =С,е "+С е (2-112) ' Наюе лалроаю ыот метод рееемотрлоаетол л гл 3 лрлмевемльао х еоаачлм лееталоолерлаа теллолроет,ллоотл. 60 Рассмотрим плоскую однородную пластину тпириной 6 с постоянньпл коэффициентом теплопроводвости д н неограниченным размерам в направленвн оси Оу (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
