Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 80
Текст из файла (страница 80)
155 16. Отобразить верхнюю полуплоскость на область, укаэанную на рис. 104 (дуга АС вЂ” полу- окружность) при заданном соответствии точек м(А = аг, В = оо, С = О) -~ х(0, 1, со). 17. Отобразить верхнюю полуплоскосгь Сч = (х б С ! 1пге > 0) на область м-плоскости, указанную на рис. 105, при условии м(А=-Л, В=со, Смй, В=со) — ~х(-1,0, ),оо). Ответы Глава 2 1. а) о; б) йп — -'. 2.
ю = йх. 10. В = ' "в * гол *' *+"" * 'вьюн*""*ь'в" 1 — г! о*вяо о 1 16. з~ — — — 1, и, = 1. 19. а) Окружность с центром в точке а радиуса )2; б) прямая х+у = 1; в) луч, выходящий из начала координат и образующий с положительным направлением действительной Ог г 3 о оси угол а; г) действительная ос!4 д) гипербола (х — !) — у = -„е) эллипс з 4 хо- = 1; ж) парабола у' = 2х+ 1. 20.
а) !щ з' = 2; б) !т —.' = -'; в) а'+ у' = 1; г) Ке(г + 1) = (з); д) !з)4 Ке з = 1. 21. а) Кольцо с центром в точке хо и радиусами г и Л; б) правая пачуплоскбстгч включая мнимую осел в) полоса между прямыми х = а и х = Ь; г) область, заюгюченная между окружностями (х — 1) + (р — 1) = 2 и (х — 2)' 4 (у — 2) = 8; д) правая половина единичного круга с центром в точке х = 0 22. х = 12 + 1бо. 24. а) Ни при каких а; б) =, в) ч'2; г) ни ,з! при каких а.
25. а) ! + г; б) — „', 30. 6) Отрезок (-1, -']. 31. 1) Окружность и + и'— —" = О, если с ~ 0; при с = 0 — ось и = 0; 2) окружность и + "д + —," = О, если с ~ 0; при с = 0 — ось и = 0; 3) окружность (и — —,') 4 (и+ -') = —,'; 4) луч агбго = -а; 5) прямая е = -'; 6) е = — /и/; 7) полуплоскость и > 0 без круга и + о~ — и < 0; 8) полуплоскость и < 0 без круга и'+ с'+ о < 0; 9) окружность х'+ у' — '-, = О, если с и' 0; при с = 0 — ось х = 0; 1О) окружность х'+р'+ х = О, если с и' 0; при с = 0 — ось у = О. 32. а) Внешность круга 14 < 2; б) замкнутая полуплоскостгь расположенная слева от прямой йег = 2,5, х х 1.
34. 1) Эллипс; 2) спираль Архимеда; 3) одна ветвь |иперболы; 4) циклоиды. 35. 1) со; 2) 1; 3) оо; 4) — —,'; 5) не существует; 6) 1 1; 7) не существует; 8) не существуег; 9) не существует, 36. 1) Непрерывная; 2) непрерывная; 3) всюду разрывная; 4) непрерывная всюду, кроме х = 21; 5) непрерывная всюду, кроме прямых агба = х з . 40. 1) Аналитическая в Ст(0); 2) не аналитическая в каждой точке х б С, но дифференцируемая в точке х = 0; 3) не аналитическая в каждой точке х б С. 42.
'-. 44. а) 7(з) = зт + 2гп б) 7(я) = е' + зт 4 5г + 9. Глава 3 1. Линия йею = 4соз(о(2созуо + 1) — 3, 1щгя = 4з!пуг(2созр+ 1), О < )о < 2л. 3. Круг )ю( < 1. 5. Круг (ю( < 4. 6. Полуплоскость !ам > О. 7. Круг (ю( < 1. 8. Круг ~ю~ < 1. 10. а) !щ ю > 0; б) 1щ гя > 0; в) 1щги < О. 11. ю = е' о х'. 12.
ю = -г(х — ! -о)'. 13. ю = о(а — 1) . 14. ю = 'озсб(а — а) . 15. ги = -охз 4 1. 16. ю = (1 + г) (1 — г). 17. оя = (2 + о)а + 1 — Зо. 18. 1) хо — — — 1 + Зг, В = О, й = 2, ю + 1 — Зг = 2(х + 1 — Зо); 2) хо = 2 + 2г, В = —, й = 1, ю — 2 — 2о = о(х — 2 — 2о); 3) конечной неподвижной точки нет; 4) если а = 1, то конечной неподвижной точки нет; если а ~ 1, то хо = -+:;*-г, В = юба, й = !а/, ю — -Я-*г = а (х — -Яы); 5) если а = 1, то конечной неподвижной точки нет; если а ~ 1, то хо —— , ь, В = агба, й = )а~, и — —, = а (х — —,) . 19.
Уравнение семейства окружностей Аполлония относительно точек х, ь г ь т и х имеет вил ~-*; —;-'! = Л. 20. оо = йехр (з (я+агб-.'о) 1) -;=-,*-', гле й > О. Лучам, выходя- Ответы 335 < Вгд' —. 30. ю = «ДЫ 28. =,2( — ',',), 1, 28. 2, п,зз Рп«.зз 11 2 2 ю'(0) = ('8,')-. Длина дуги, соответствующей разрезу, равна 2агссоь '— ";,=-Д-; она равна зг при 2 ., ) (., 1.(ь«т)...
1 „,3 ( « — ')«(ь«-„2) — + ь«-) ь+ — „) 21 ствующих разрезам, равны 2агссоь,,', 2я — 2агссоз —, ", " . 38. =„' = ( +-' «ь«-„2 (,ьа2)«Ь««) ' ' .«1 , где 7 = а, если )3 > О, и 2 = а + л, если )3 < О. 36. 1) В полярную сетку 2 в-ь р=сопьг,В=сопьг;2)вспиралир=е ь (прия=ОвлучиВ«Ь);3)вугол а<В<)3(при а = 0 и 13 = 2я — в плоскость с разрезом по положительной части действительной оси); 4) во всю плоскость с разрезом по спирали р = е'1 5) в сектор р < 1, 0 < В < а (при а = 2я — в единичный круг с разрезом по радиусу е = О, 0 < и ( 1); 6) в область р > 1, 0 < В < а (при а = 2я — во внешность единичного круга с разрезом по лучу и = О, 1 ( и < со; 7) в область е < р < ед, 7 < В < 6 (при 6 — т = 2я эта область является концентрическим кольцом с разрезом по отрезку В = т, е < р < ед). 37.
1) В прямоугольную декартову сетку и = с, с = с; 2) в прямые, 3) в полосу 0 < с < а; 4) в полуполосу и < О, 0 < е < а; 5) в прямоугольник Ьл г, < и < )п гз, 0 < е ( 2я, 38. 1) В полуполосу — — < и < —, с > О," 2) в полосу — —, < и < —; 3) в полуполосу 0 < и < —, и > 0; 4) в полосу — —, < и < О. 41. ю = ехр 1 — (чгз — 2)) . 2 ' 1 «2-1 «Р — +2— «Р — *)+2+*' ( -'-:) «8 *+ «2 Лз ' ' «Р 2*+ 82Л2' ' 1-« Глава 4 1.
а) 0; б) яь. 2. а) е(2 — е ' — 1); б) 1 + е 1(е — 2). 3. а) 1; б) 2; в) 2. 4. а) кв-'(1 + ЫЗ); «1 1 — «81( ( 1+ й) — «) 8, — «ю«2 Рх 2 81 2. 1 8 «22 « шим из точки ю = 0 в полуплоскости Кею > О, соответствуют в з-плоскости луги кружностей, лежащие внугри круга )х) < 1 и проходящие через точки аз, аз. лежашим в полуплоскости Кею > 0 полуокружностям с центром в точке ю = 0 соответствуют нахоляшиеся внутри круга )з( < 1 дуги окружностей Аполлония относительно точек аз и аз. 21. юь = —,-2--;1, В = 1~ ', 22. 1) ю = )2 еь нз — — '=-, 2) нг — ь — — — е' йз-'-=-; 3) ю = а~ —;, ', где а — действительное число и ~а~ < )2.
23. = е'Р-Я~-, где у« = 21 — агд-*~ф~-, а = 1 * "2 1-* 21 И 1*12нз 02~ 1 Д:2 24. ю = ю '* '~~,' ', р = 2, ' . 27. 1) )гп) < „— '. Область ограничена уллиненной П 22 2) зпициклоидой, т.е. траекторией точки, находящейся на расстоянии пзй от центра круга радиуса —, катяшегося извне по кругу радиуса '*; 2) )гп( < —. В первом случае внешность н Нз,*-о, 1 единичного круга, а во втором случае его внутренность, отобрюкаются на внешность Рукоро- 336 ( О, если (х(< 1, 15. а) 7(2) = ~ б) у(а) = если (з! > 1; если (г+ 2 ~ < -', если (2~ > 1, если 2 Е Р. ! ! зр! 2*-)5 252*2-)-5 оз)' Глава 5 Глава 6 1 ° е(з) = ~(-1)";)Ц)зт 2 Е К'.
2. У)(2) = 1п!з(+ 2яз зВ ! ага а, 72(2) = 1п !2(+ ! ага 2, з б Р,. =О 6. а+ 2' ,файф'-'!) 22 +'. 7. Нет. 9. Сумма ряда совпадает с з при О < о < (з( < ! и соответственно с —,' при (з! > 1; нет. ! . а) ); б) 1; в) 1; г) 523; д) 1. 2. а) (з + з( < 1; б) ,'2 — 1 — 6 < 3; в) (2( < 1; г) ~з( < 1; д) )2( < -'; е) )з! < -,'; ж) !4 < +сю; з) если а — целое неотрицательное, то (2( < +со; для остальных а — круг )2) < 1.
3. а) Сходится во всех точках окружности (а( = 1; б) сходится во всех точках окРУзкности )з( = о, кРоме з = о ! в) схоДитсЯ во всех точках окРУжности )2! = 1, кРоме з = — 1 ! ! и 2 = —, ю ! —,; г) сходится во всех точках окружности )2~ = 1, кроме 2 = 1 и 2 = Ы; д) сходится оз во всех точках окружности )з( = 1, кроме 2 = 1 и 2 = ю)2 4. а) 2 (пт))ы-+-')з~", (2! < 1; =о б) 2 ,'(- 1)"(2' +222"ю — 22" 2'"), (2~ < -'; в) 2 (и + 1)(2'" — а'"+'), (з! < 1; г) ~ (- 1)"22" — ' =о =о =о ~2~ < +ос.
6. а) ~ 11+ 2+ ... + — !) — *„, ~2( < 1; б) ',) а)2 '),,*,— и, )2~ < +ос. 7. а) 1+ 22+ =2 =о + 'о з' + ..., 12~ < 1; б) 1 + -*, — д + ., )г~ < 1. В. а) 2 (- 1)" =,„ ,, ~4 < 1; б) ! — 2 3 + =! + —,,",, — ...*',, + ..., ~2( < +со; в) т2 ',",'„",,) 2'", )4 < 1. 13. а) Пустое множество; б) кольцо =О О < )4 < сю при (а( > 1 и пустое множество при )а/ < 1; в) кольцо !', < (2( < (а! цри (а! > 1 и ..!,!О!.55.,),'( — ', т(с °,'";,',!)),-~г), ! =о б) ~; -2(=,"2-„- — ~ 2"+' при О < !2(< 1 или ~ -(сц~;;+ ~, '— '„при (2(> 1; в) ~ (-!)"+'пз" при / (2) < 1 или 2 ' (г-'~3;")хО при (а! > 1. 15. а) о 1 2:т-+ 2, -";.зт2'"); б) о д — „т — , 'в) —,'— =о =! =О =2 -22 а„зз" ', где а„= ~ —,-„-',т„- )Уп Е И,' г) -42~ -,тг-т-22 а„а'" ', а„= 2,';- ьз„-)Уп Е Я.
=! ь=! =! =! Ь=з 38. а) Правильная точка; б) полюс 5-го порядка; в) простой полюс; г) полюс 3-зо порядка; д) существенно особая точка. 1Э. а) Существенно особая точка; б) существенно особая точка; в) полюс 4-го порядка; г) нуль 4-го поряака. 20. а) г = ! — существенно особая точка, 2 = = 2(оя! (я Е У,) — простые пояюсы, 2 = оо — неизолированная особая точка (предельная точка множества полюсов); б) з = — — + яя ((о Е У) — простые полюсы, 2 = сю — неизолированная особая точка; в) з = (2(О+ 1)я ! (й б 2) — простые полюсы, з = со — неизолированная особая точка.
222 Глава 7 1. а) гезу(з) = -з —,где зз — — е' » (й = О, и — !); гезу(з) = г, '! !' 6) гсз7(з) = О, солил~1, = (-!)"+'с",„+'; гезу(з) = (-!)"с,"~; в) гезУ(з) = О; г) газ/(з) = О; д) гез7(з) = 1; гезУ(з) = — ~; е) гезУ(з) = е -е . 2. а) гсз г(з) = -,з ай 2; гез /(з) = — зз(е+2е '); б) гезг (з) = — т, гезУ(з) = О. г о 2 3. -и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
