Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 71
Текст из файла (страница 71)
298 Гл. 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций Принимая во внимание, что ~ — '5 ~ < 1, вектор 5о = 1+ в при обходе точкой г границы дР не е ~вп У может совершить оборо~ вокруг точки в3 = О, поскольку точка го = 1+ й(,*23 асс время движется внутри круга К = (и б С: 5м — Ц < 1), не содержащего точки го = О. Следовательно, ют (1+ ~~) при полном обходе границы дР возвращается к первоначальному значению и ыоо аг8 1+ — = О. Таким образом 1 )(г = — йгеп аг8 'т", 2я т.е.
Ж вЂ” число нулей функции 55 в области Р. р Теорема Руше имеет многочисленные применения. Она используется, в частности, для определения числа нулей функции. Пусть, например, требуется определить количество нулей многочлена Р(г) = г — 5г » 2, ле- 5 3 жащих в круге К = (г б С; 14 < 1). Полагаем Р(г) = )5(г)+5)(г), Где )о(г) = — 5гз, ф(г) = аз+2. Если ф = 1, то ~(о(г)~ = 5 > 1г~+2/, так как !гз»2~ ( ~г'/+2 = 3. Функция 55 имеет в единичном круге К три нуля. Поэтому, по теореме Руше, многочлен Р имеет в круге К три нуля.
С помощью теоремы Руше очень просто доказывается основная теорема алгебры: Основная теорема алгебры. Любойл5ногоюен сменено и Р„(г) = аог" +а,г" '+ ... -»а„,к+ а„ имеет в кол5нлексной нлоскости ровно и нулей. М Полагаем Р„(г) = 93(г) -» р(г), где )5(г) = аег". Многочлен )5 имеет в комплексной плос- костИ Ровно и нулей, т. к. г = О является нулем и-го порядка функции )5, а ПРн подсчете числа нулей каждый из них засчитывается столько раз, какова его кратность.
В качестве области Р возьмем кр)т Кн — — (г б С: ф < Л), а Л выберем настолько большим, чтобы 3(г Е Рк„выполнялось неравенство 1р(г)~ > 1р(г)), где гр(г) = аг" ' + ... + а„,г+ а„. Для этого достаточно взять Я = 1-» |а3~ + )аз) + ... -» (а„(. тогда по теореме Руше число нулей функций 55 и Р в круге Кя одинаково, т.е. многочлен Р имеет и нулей. р Рассмотрим задачи. 1.
Определить число нулей многочлена Р(г) = г' — 12г'+ 14: а) в кольце )г3 = (г Е С ) 1 < )4 < —,' ); б) в кольце Уг = (г Е С ! 1 < ~г ~ ( 2); в) в правой полуплоскости Р = (г Е С ~ кег > О). м а) Пусть Р(г) = )5(г) + 5р(г), (о(г) = г, 5р(г) = — 12г + 14. При ~4 = 1 имеем 3125 21 )(о(г)~ = = 97 †, Щг)) ( ! — 12г 1 -» !4 = 89, 32 32' т.е. /55(г)! > (5й(г)(. По теорелзе Руше все пять нулей многочлена Р лежат в круге Кзы —— ( г Е С: ~г) < — ). Определим, сколько из них имеют модуль меньший единицы. С этой целью 53 полагаем Р(г) =- 955(г)+ 383(г), 155(г) = 14, 93(г) = г — 12 При 1г1 = 1 ~)55(г)~ = 14, ~(53(г)/ ( 13, слеловательно, по теореме Руше в круге К = (г б С: 1г~ < 1) нулей многочлена Р нет. Таким образом, все пять нулей многочлена Р размещены в кольце 1',.
б) Пусть Р(г) = 953(г)+ гйз(г), 953(г) = -12гз, (йз(г) = г + 14. и!. Прницвв аргумента. Теорема Руше 299 При ~4=2 !(Оз(г)~ = 48, )Фз(г)~ < |г ! Е 14 = 46. По теореме Руше число нулей многочлена Р в круге Кз — — (г Е С: !г( < 2), следовательно и в кольце гз равно двум, т. е. столько, сколько их у функции узз. в) Из неравенства Р(зу) = гд + 12у + 14 следует, что многочлен Р не имеет нулей на З 2 мнимой оси, поскольку действительная и мнимая части Р(зу) не обращаются одновременно в нуль. Применив принцип аргумента к полукругу К = (г Е С: ф < Яз Ке г > 0), получаем, что число Ж нулей многочлена Р в правой полуплоскости определяется равенством 1 1)Г = — йт згзгЗн, —.и! асаР(г1+ згн агйР(г))), 2хн гле Гн = (Ун Тно), тл = 4,2 Е С ( г = Яе', — 2 < 1 < <— ) . При бояьших Я > 0 имеем 3! и,-*я! агу Р(г) = 23 шн,-и!(зуз+ 12у + 14) = у у а зг — 21~о!и Озагс!8 -!.
2 оо!О,-и!агезй = -- — — -1- 0(44 ') = — ЗГ.1- 0(42 '), 12уз + 14 " ' 12уз + 14 2 2 ) 11 — 122~'З 2хг„агйР(г) = 23г„агйг + Ьга ~ 1+ — з ) = 5а т0(П ). Таким образом 1 ззг = — (-зг+ 5а') = 2. и 2х 2. В каких квадрантах находятся корни уравнения го+ г' 442 + 2-+ 3 = 03 а Очевидно, что уравнение не имеет неотрицательных корней. Покажем, что оно не имеет отрицательных корней. Действительно, полагая г = — х, получим уравнение х — х +4х — 2х+3=0.
З 2 При 0 < х < 1 сумма первых трех членов, а также сумма двух последних членов ззоломсительны. При х > 1 сумма первых двух членов, а также сумма трех последних членов положительны. Следовательно, зух>0 х — х +4х — 2х+3>0. 4 3 2 Подставим в уравнение г = гу. Тогда оно примет вид у — зу — 4у + 2зу + 3 = О. Действительная и мнимая части этого уравнения не обращаются одновременно в нуль, в силу чего исследуемое уравнение не имеет и чисто мнимых корней. Число его корней, размещенных в первом квадранте, определяется равенством )З' = — !!Ш ! 44 Е!О Н! агй(х + х 4-4х 4 2х+ 3) + зуго!н,о! агй(у — зу — 4у + 2зу 4 3) 4- 2а.
н-. + Ь, „,,4 агй(г + г + 42 + 2г+ 3)). О<4<а Имеем з!ь о!О я!агу(х + х +4х + 2х+ 3) = О, з -у -1-2у 3 зьоо!и о!агй(д — 4д + 3 е з(-у + 2у)) = 43оозноз агсгй д4 4дз+ 3' Числитель дроби под знаком арктангенса обращается в нуль при д = зГ2 и у = О, а ее знаменатель — прн у = з/3 и у = 1. Изменение этой лроби при изменении у от !х до 0 можно охарактеризовать следующей таблицей: 300 Гл. 8.
Некоторые обшие вопросы геометрической теории аналитических функций с помошью которой легко заметить, что г1„шя,ь!агй[У вЂ” 4у -1-34г( — у'+2у)) = — 2т40(Я ). Далее, 3 2 з 44з" +2з43 з з 1 с) ньо агй(з 4 з 44з + 2з 4 3) = за, н,н агя 1+ = 2л+ 0(К ) В результате получаем ! )у = — (Π— 2а +2т) = О, 2зг т. е.
Рассматриваемое уравнение не имеет корней в первом квадранте. Поскояьку корни уравнения распадаются на пары сопряженных, то корней нет и в четвертом квадранте, а во втором и в третьем имеем их по два. ~ 3. Пусть 2 б А(К), где К = (з б С: [з[ < 1). Доказать сушествование такого числа р > О, по для всех т из кроа К, = (т б х.: ~т~ < р) уравнение з = ш[(з) имеет в круге К ровно один корень. ~ Запишем уравнение в виде ф(з) ч- ф(з) = О, где (о(з) = а, ф(з) = — цгу(з). При ~з[ = 1 8р(з)~ = 1, 1тйз)[ < ~ш~М, тле М = шах ~~(з)[. При [т! < — ' выполняются условия теоремы руше. М 4.
Доказать, что уравнение (2з +!)е' = 2з + 3 не имеет решений с положительной действительной частью. м Запишем уравнение в виле 2зч-3 (о(з) ч- гР(з) = — — е = О. 2з +! В полуплоскости Р, = (з б х. [Вез > — 1) выполняется неравенство [)з(з)! = ! — ,'*"з( > 1, а в полуплоскостн Р, = (з б ч. ! Вес > 0) — неравенство [ф(з)[ = [ — е *~ = е < 1. Таким образом, на границе полукруга Кя — — (з б С: [з[ < )2, Вез > О) )р(с)! > [ф(з)) ч)2 > О. М ф2. Сохранение области и локальное обращение аналитической функции 2.1.
Принцип сохранения области. Теорема К Если функция 2 аналитическая е области Р и не раева тождестеенно настоянной, то образ области Р нри отображении !' также есть область. Ы Пусть Р— Р*. Покажем, что Р* — связное открытое множество. У на 1) Пусть ю, и шз — лве любые точки множества Р', з, — один из прообразов гоп зз— один из прообразов юз при ятображении [: у(с,) = гем У(зз) = юз, с, б Р, с, б Р. В силу связности Р сушествует жорданова кривая .Г, соединяюшая точки с, и сз, лежащая в Р пусть [о, !)[ - т — паРаметрическое представление кривой у. тогда 'г! б [а, щ (о(!) б Р на и ф(а) = зм ф())) = зз. Так как функция У непрерывная, то композиция ф = Г о(о, Ре = [а, ))[, б 2.
Сохранение области и локальное обращение анжантической функции 301 является параметрическим представлением непрерывной кривой у* С Р', соединяющей точки ф(о) = (У а р) (а) = У(х,) = ш, и ф(Д) = (1 а Ьа) (!)) = ) (зз) = гиз. Следовательно, множество Р" является линейно-связным, так как любые две его точки можно соединить путем, состоящим из точек Р'. 2) Покажем, что В* — открытое множество. Пусть ша Е В' — любая точка и за — один из ее прообразов: Р(ха) = ша.
Так как  — открытое множество, то существует окрестность 0„(за) = (з Е С: !з — за! < г) С Р. Выберем г настолько малым, чтобы в замыкании 0„(за) не содержалось ша-точек функции Г (кроме точки ха). Очевидно, такой круг существует, поскодьку у аналитической функции Г й сопя! ее та-точки изолированы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
