ТВЗАЧ1 (932166)
Текст из файла
ВОПРОСЫ
к экзамену по курсу
«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
группы АК1, 2, 4 - 41
РЯДЫ ФУРЬЕ
Тригонометрические ряды. Тригонометрический ряд как ряды Фурье своей суммы. Представление частичной суммы ряда Фурье интегралом Дирихле. Лемма Римана. Теорема о разложении функции в ряд Фурье. Ряд Фурье по произвольному отрезку. Разложения про синусам и косинусам.
Сходимость в смысле среднего квадратического. Общее понятие ряда Фурье по ортонормированной системе. Экстремальное свойство частичной суммы ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Замкнутые системы. Замкнутость тригонометрической системы (без док-ва).
ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Изображение Лапласа. Изображение Лапласа функции Хевисайда, функций et, cos t, sin t. Простейшие свойства изображения Лапласа: теоремы линейности, подобия, смещения изображения. Теорема запаздывания оригинала. Дифференцирование изображения. Дифференцирование оригинала. Изображение свертки (без док-ва). Таблица изображений. Восстановление оригинала по его изображению.
Приложения операционного исчисления. Решение дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Решение дифференциальных уравнений с разрывной правой частью.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания. Теоремы сложения и умножения. Биномиальные коэффициенты и их свойства.
Алгебра и -алгебра событий. Аксиоматика Колмогорова. Вероятность как счетно-аддитивная нормированная мера на -алгебре событий. Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности. Счетное вероятностное пространство. Непрерывное вероятностное пространство. Геометрическое определение вероятности. Следствия из аксиом. Вероятность противоположного события. Теорема сложения вероятностей.
Условная вероятность. Независимость событий. Попарная независимость и независимость в совокупности. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса. Формула Бернулли.
Случайные величины. Случайные величины в конечной схеме, счетной схеме. Случайные величины в общей схеме. Закон распределения случайной величины. Функция распределения и ее свойства. Дискретные и непрерывные случайные величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Ее свойства. Связь функции плотности и функции распределения. Понятие числовой характеристики случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия. Их простейшие свойства. Среднее квадратическое отклонение.
Примеры распределений: геометрическое, биномиальное, пуассоновское, равномерное, показательное, нормальное.
Многомерные случайные величины. Их законы распределения. Частные законы распределения. Независимые случайные величины.
Свойства математического ожидания и дисперсии. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин. Ковариация и коэффициент корреляции. Дисперсия суммы случайных величин. Ковариационная матрица. Теорема о свойствах коэффициента корреляции. Независимость и некоррелированность.
Функции случайных величин. Закон распределения функции случайных величин. Композиция законов распределения. Композиция нормальных законов. Композиция пуассоновских законов.
Закон больших чисел. Неравенство Чебышёва. Теорема Чебышёва. Теорема Бернулли.
Характеристические функции. Характеристическая функция нормального распределения. Связь производных характеристической функции с моментами случайной величины. Характеристическая функция композиции случайных величин. Пример: композиция нормальных распределений. Непрерывность соответствия множества характеристических функций множеству функций распределения (без док-ва).
Центральная предельная теорема. Теорема Муавра–Лапласа.
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Основные задачи математической статистики. Выборка. Оценки. Требования, предъявляемые к оценкам. Эмпирическая функция распределения и гистограмма. Метод максимального правдоподобия. Интервальное оценивание. Интервальное оценивание математического ожидания для нормальной случайной величины.
Понятие о статистической проверке гипотез. Проверка гипотезы о виде закона распределения. Критерий 2 Пирсона.
Лектор: к. ф.-м. н., доцент Щетинин А.Н.
БИЛЕТЫ
к экзамену по курсу
«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»
группы АК1, 2, 4 - 41
БИЛЕТ 1
1. Тригонометрический ряд как ряд Фурье своей суммы.
2. Центральная предельная теорема.
3. Решить операционным методом задачу Коши
y – 2y – 3y = e3t, y(0) = 0, y(0) = 0.
4. Из колоды в 36 карт наудачу берут одну. Случайные величины и – число карт бубновой и пиковой мастей среди вынутых карт соответственно. Найти коэффициент корреляции .
БИЛЕТ 2
1. Представление частичной суммы ряда Фурье интегралом Дирихле.
2. Неравенство Чебышева.
3. Решить операционным методом задачу Коши
y + y – 2y = et, y(0) = 1, y(0) = 0.
4. Из колоды в 36 карт наудачу берут одну. Случайная величина число тузов среди вынутых карт, число карт бубновой масти. Найти коэффициент корреляции .
БИЛЕТ 3
1. Лемма Римана.
2. Статистическое оценивание. Требования, предъявляемые к оценкам.
3. Решить операционным методом задачу Коши
x′ = 2y – x + 1, y′ = 3y – 2x, x(0) = 0, y(0) = 0.
4. Из колоды в 36 карт наудачу с возвращением берут две карты. Случайная величина – число карт бубновой масти среди вынутых. Построить ряд распределения случайной величины , найти M и D.
БИЛЕТ 4
1. Теорема о разложении функции в ряд Фурье.
2. Понятие о статистической проверке гипотез. Критерий χ2 Пирсона.
3. Решить операционным методом задачу Коши
y′′ + y′ – 2y = e –t, y(0) = 0, y′(0) = 1.
4. Из колоды в 52 карты наудачу берут две. Случайная величина ξ –число карт бубновой масти среди вынутых. Построить ее ряд распределения, найти Mξ и значение функции распределения Fξ(1).
БИЛЕТ 5
1. Ряд Фурье по произвольному отрезку. Разложения по косинусам и синусам.
2. Теорема Чебышева (ЗБЧ).
3. Решить операционным методом интегральное уравнение
t
∫ y(z) cos (t – z) dz = sin t.
0
4. Из колоды в 52 карты наудачу берут одну карту. Случайная величина ξ – число карт пиковой масти среди вынутых, η – число бубновых карт. Найти коэффициент корреляции ρξη.
БИЛЕТ 6
1. Доказать формулу
1 1 1 1 π2
1 + ---- + ---- + ---- + ---- + … = ---- .
4 9 16 25 6
2. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин.
3. Решить операционным методом задачу Коши
x′ = 2y – x + 1, y′ = 3y – 2x, x(0) = –3, y(0) = 0.
4. Из колоды в 52 карты наудачу берут одну карту. Случайная величина ξ – число тузов среди вынутых карт, η – число королей. Найти коэффициент корреляции ρξη.
БИЛЕТ 7
1. Сходимость в смысле среднего квадратического. Пространство C2(a, b).
2. Свойства математического ожидания.
3. Решить операционным методом интегральное уравнение
t
∫ y(z) sin (t – z) dz = 1 – cos t.
0
4. Бросают две игральные кости. Найти математическое ожидание произведения выпавших очков.
БИЛЕТ 8
1. Экстремальное свойство частичных сумм ряда Фурье.
2. Интервальное оценивание. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормальной случайной величины.
3. Решить операционным методом задачу Коши
y′′′ – 6y′′ + 11y′ – 6y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = 6.
4. Из колоды в 36 карт наудачу берут с возвращением 2 карты. Случайная величина – число тузов среди вынутых карт. Построить ряд распределения случайной величины , найти M и D.
БИЛЕТ 9
1. Неравенство Бесселя.
2. Нормальное распределение.
3. Решить операционным методом задачу Коши для системы
x = y + 2et, y = x + t2, x(0) = 2, y(0) = –1.
4. Из колоды в 36 карт наудачу берут одну. Случайная величина – число тузов среди вынутых карт, число королей. Найти коэффициент корреляции .
БИЛЕТ 10
1. Равенство Парсеваля. Замкнутость тригонометрической системы (без док-ва)
2. Показательное распределение.
3. Решить операционным методом задачу Коши для системы
x = y + 2et, y = x + t2, x(0) = y(0) = 0.
4. Из колоды в 36 карт наудачу берут две. Случайная величина – число тузов среди вынутых карт. Найти ряд распределения случайной величины , ее математическое ожидание и дисперсию.
БИЛЕТ 11
1. Изображение Лапласа.
2. Равномерное распределение.
3. Разложить в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, ] функцию
f(x) = x( – x).
4. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется больше трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.
БИЛЕТ 12
1. Изображение Лапласа функции Хевисайда и функции et.
2. Распределение Пуассона.
3. Разложить в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, 2] функцию
x, если 0 x 1,
f(x) =
2 – x, если 1 x 2.
4. Бросают две игральные кости. Найти математическое ожидание числа выпавших очков, если известно, что выпали разные грани.
БИЛЕТ 13
1. Изображение Лапласа функций cos t и sin t.
2. Биномиальное распределение.
3. Оценить параметр показательного распределения, т. е. распределения с плотностью
e x, если x 0,
p(x) =
0, если x < 0.
по методу максимального правдоподобия.
4. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин страдают дальтонизмом. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность, что это мужчина?
БИЛЕТ 14
1. Теоремы подобия, линейности и сдвига оригинала.
2. Дисперсия случайной величины.
3. Оценить параметр распределения Пуассона
m
P( = m) = ---- e
m!
по методу максимального правдоподобия.
4. Бросают три кости. Какова вероятность, что хотя бы на одной из них выпадет одно очко, если на всех трех выпали разные грани?
БИЛЕТ 15
1. Теорема запаздывания.
2. Математическое ожидание в конечной схеме. Его свойства.
3. Найти характеристическую функцию распределения Пуассона
m
P( = m) = --- e.
m!
4. Трое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Найти вероятности выигрыша для каждого из игроков.
БИЛЕТ 16
1. Дифференцирование изображения
2. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения и ее свойства
3. Разложить в ряд Фурье [–π, π] функцию
0, если –π ≤ x ≤ 0,
f(x) =
1, если 0 ≤ x ≤ π.
4. Из колоды в 36 карт наудачу берут две. Случайная величина – число карт бубновой масти среди вынутых. Найти ряд распределения случайной величины , ее математическое ожидание и дисперсию.
БИЛЕТ 17
1. Дифференцирование оригинала.
2. Функция распределения случайной величины.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
