ТВЗАЧ1 (932166), страница 2
Текст из файла (страница 2)
3. Разложить в ряд Фурье на отрезке [0, 1] по синусам функцию
f(x) = 1 – x.
4. Автоматическая линия при нормальной настройке может выпускать бракованное изделие с вероятностью p. Переналадка линии производится после первого же бракованного изделия. Найти среднее число изделий, изготовленных между двумя переналадками линии.
БИЛЕТ 18
1. Изображение Лапласа функций eatcos bt и eatsin bt.
2. Формула Бернулли.
3. Разложить в ряд Фурье на отрезке [0, 1] по косинусам функцию
f(x) = 1 – x.
4. На окружности радиуса 1 с центром в начале координат наудачу выбрана точка. Найти математическое ожидание площади квадрата со стороной, равной абсциссе этой точки.
БИЛЕТ 19
1. Характеристическая функция. Ее свойства.
2. Формула Байеса.
Решить операционным методом задачу Коши
x′′ + 2x′ + 2x = te –t, x(0) = x′(0) = 0.
4. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков?
БИЛЕТ 20
1. Изображение Лапласа свертки (без док-ва).
2. Метод максимального правдоподобия. Пример.
3. Найти сумму ряда
1 1 1
1 + --- + --- + --- + …
9 25 49
4. Из колоды в 52 карты берут с возвращением две карты. Случайная величина ξ – число карт бубновой масти среди вынутых. Построить ряд распределения случайной величины ξ, найти ее математическое ожидание и дисперсию.
БИЛЕТ 21
1. Изображение Лапласа функций tcos at и tsin at.
2. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий.
3. Найти сумму ряда
1 1 1 1
1 ---- + ---- ---- + ---- …
4 9 16 25
4. Среди семян пшеницы 0,6 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить среди них не менее 3 семян сорняков?
БИЛЕТ 22
1. Изображение Лапласа функций tsh at и tch at.
2. Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности.
3. Найти характеристическую функцию показательного распределения, т. е. распределения с плотностью
e x, если x 0,
p(x) =
0, если x < 0.
4. Случайная величина принимает значения 1, 2 и 3 с вероятностями p1, p2 и p3 соответственно. Найти эти вероятности, если известно, что F(2,5) = 0,5, а M = 2,3.
БИЛЕТ 23
1. Характеристическая функция нормального распределения.
2. Следствия из аксиом теории вероятностей. Теорема сложения.
3. Оценить параметр распределения Рэлея, т. е. распределения с плотностью
x x2
---- exp{– -----}, если x ≥ 0,
pξ(x) = a2 2a2
0, если x < 0.
по методу максимального правдоподобия.
4. Случайная величина принимает значения 1, 2 и 3 с вероятностями p1, p2 и p3 соответственно. Найти эти вероятности, если известно, что F(3) = 0,8, а M = 1, 9.
БИЛЕТ 24
1. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин.
2. Аксиоматика Колмогорова.
3. Решить операционным методом задачу Коши
x′ = 2y – x + 1, y′ = 3y – 2x, x(0) = –1, y(0) = 0.
4. Случайная величина принимает значения 1, 2 и 3 с вероятностями p1, p2 и p3 соответственно. Найти эти вероятности, если известно, что F(2) = 0,5, а M = 1,7.
ОТВЕТЫ
1
1.3. y(t) = --- (e – t – e3t + 4te3t).
16
1
1.4. ρξη = – --- .
3
1
2.3. y(t) = --- (7et + 3tet – 2e –2t ).
9
2.4. ρξη = 0.
3.3. x(t) = (3 – 2t)et – 3, y(t) = (2 – 2t)et – 2.
---------------------------
3.4. xi 0 1 2 Mξ = 0,5, Dξ = 0,375.
----------------------------
9 6 1
pi ---- ---- ----
16 16 16
----------------------------
4.3. y(t) = sh t.
4.4. ------------------------------------ 1 19
xi 0 1 2 Mξ = ---, Fξ(1) = ---- .
------------------------------------ 2 34
38 26 4
pi ---- ---- ----
68 68 68
------------------------------------
5.3. y(t) = 1.
1
5.4. ρξη = – ---.
3
6.3. x(t) = 4tet – 3, y(t) = (2 + 4t)et – 2.
1
6.4. ρξη = – ---.
8
7.3. y(t) = 1.
49
7.4. ----.
4
1
8.3. --- (et – 4e2t + 3e3t)
2
8.4. ------------------------
xi 0 1 2 2 16
------------------------ Mξ = ---- , Dξ = ---- .
64 16 1 9 81
pi ---- ----- ----
81 81 81
------------------------
9.3. x(t) = tet – t2 – 2, y(t) = (t – 1)et – 2t
1
9.4. ρξη = – --- .
8
10.3. x(t) = et + tet + ch t – t2 – 2, y(t) = sh t + tet – 2t.
------------------------------------ 2 544
10.4. xi 0 1 2 Mξ = ---, Dξ = ------.
------------------------------------ 9 2835
248 64 3
pi ------ ------ ------
315 315 315
-----------------------------------
8 ∞ sin (2k + 1)x
11.3. ---- ∑ -----------------.
π k = 0 (2k + 1)3
2 22 23
11.4. 1 – e–2(1 + --- + --- + ---) ≈ 0,143
1! 2! 3!
8 ∞ (–1)k π(2k + 1)x
12.3. ---- ∑ ----------- sin -------------- .
π2 k = 0 (2k + 1)2 2
12.4. 7.
n
13.3. λ = ------------------------- .
X1 + X2 + … + Xn
20
13.4. ---- .
21
X1 + X2 + … + Xn
14.3. λ = -----------------------.
n
1
14.4. ---.
2
15.3. exp{(eit – 1)}.
4 2 1
15.4. ---, ---, ---.
7 7 7
1 2 ∞ sin (2k + 1)x
16.3. ---- + ---- ∑ ------------------ .
2 π k = 0 2k + 1
-------------------------------- 1 51
16.4. xi 0 1 2 Mξ = ----, Dξ = ------.
-------------------------------- 2 140
39 27 4
pi ---- ----- -----
70 70 70
-------------------------------
2 ∞ sin πnx
17.3. --- ∑ -----------.
π n = 1 n
1
-
---.
p
1 4 ∞ cos π(2k + 1)x
18.3. ---- + --- ∑ --------------------.
2 π2 k = 0 (2k + 1)2
1
18.4. ---.
2
19.3. x(t) = e –t (t – sin t).
19.4. Ф(1,5) – Ф(–2,5) ≈ 0,927.
2
20.3 ---.
8
20.4. -------------------------------
xi 0 1 2 Mξ = 0,5, Dξ = 0,375
------------------------------
9 6 1
pi ---- ---- ----
16 16 16
------------------------------
2
21.3. ---- .
12
0,6 0,62
21.4. 1 – e– 0,6 (1 + ----- + ------) ≈ 0,023.
1! 2!
λ
22.3. ----------.
( – it)
22.4. p1 = 0,2, p2 = 0,3, p3 = 0,5.
X12 + … + Xn2
23.3. {-----------------------}½.
2n
23.4. p1 = 0,3, p2 = 0,5, p3 = 0,2.
24.3. x(t) = 2et – 3, y(t) = 2et – 2.
24.4. p1 = 0,5, p2 = 0,3, p3 = 0,2.
20
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
