Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Пример 4.16. Перевести число 25,6875 в двоичную систему счисления.

Решение. Перевод целой и дробной частей был выполнен в примерах 4 .12 и 4 .15. Объединим результаты перевода в одно число:

25,6875 = 11001,1011₂. □

Десятичная система счисления может использоваться в качестве промежуточного этапа при переводе чисел из одной системы счисления в другую. Приведенные в этой главе правила позволяют перевести числа из одной системы счисления в десятичную, а из нее – в любую другую системы счисления.

Глава 5.ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ
И СИМВОЛОВ В ПАМЯТИ ЭВМ

5.1.Представление целых чисел в памяти ЭВМ

5.1.1.Форматы представления целых чисел

Числа в ЭВМ хранятся в соответствии с форматом. Формат – это соглашение или правила представления числа в виде последовательности бит.

Минимальная единица хранения данных в ЭВМ – 1 байт. Существуют следующие форматы представления целых чисел: байт (полуслово), слово (включает 2 байта), двойное слово (4 байта), расширенное слово (8 байт). Биты, из которых состоят эти форматы, называются разрядами. Таким образом, в байте 8 разрядов, в слове – 16 разрядов, а в двойном слове – 32 разряда. Слева находятся старшие разряды, а справа – младшие. Каждый из этих форматов может быть знаковым (Рис. 5 .4) для представления положительных и отрицательных чисел или беззнаковым (Рис. 5 .5) для представления положительных чисел.

Рис. 5.4. Знаковые форматы представления целых чисел

Знаковым является самый старший разряд. На Рис. 5 .4 знаковый разряд обозначен символом S. Если он равен 0, то число считается положительным, а если разряд равен 1, то число считается отрицательным.

Рис. 5.5. Беззнаковые форматы представления целых чисел

В общем виде диапазон значений, представляемых знаковыми форматами представления целых чисел (табл. 5 .2) определяется по формуле

–2^n–1  X  2^n–1 – 1,

а для беззнакового формата определяется по формуле

0  X  2ⁿ – 1,

где n – число разрядов в формате.

Таблица 5.2. Форматы представления целых чисел в ЭВМ

Формат	Число разрядов	Диапазон (границы)
		Знаковый	Беззнаковый
Байт	8	–128; 127	0; 255
Слово	16	–32 768; 32767	0; 65 535
Двойное слово	32	–2 147 483 648; 2 147 483 647	0; 4 294 967 295

5.1.2.Прямой и дополнительный коды
представления двоичных чисел

В прямом коде старший бит кодирует знак числа (0 – для положительного, 1 – для отрицательного), а остальные биты – модуль числа.

Пример 5.17. Число 11 в прямом коде будет представляться как 0|1011_п, а число –11 – как 1|1011_п. □

В дополнительном коде положительное число кодируется также как и в прямом. Чтобы представить отрицательное число в дополнительном коде, существуют два способа. При представлении чисел в дополнительном коде используется операция инвертирования – замена бита на противоположный, то есть 0 на 1, а 1 на 0.

Правило 5.8. (поразрядное представление отрицательного числа в дополнительном коде) Представить модуль отрицательного числа в прямом коде и проинвертировать все разряды левее самой младшей (правой) единицы.

Пример 5.18. Представить число –11 в дополнительном коде путем инвертации разрядов.

Решение. Переведем модуль этого числа в двоичную систему: 11 = 1011₂ и представим его в прямом коде: 0|1011_п. Самая младшая единица – последняя, поэтому ее оставляем без изменения, а остальные разряды слева инвертируем (Рис. 5 .6).

В результате получаем 1|0101_д – представление числа –11 в дополнительном коде. □

Рис. 5.6. Представление числа –11 в дополнительном коде

Правило 5.9. (арифметическое представление отрицательного числа в дополнительном коде) Прибавить к отрицательному числу 2^m, где m – количество разрядов в двоичном представлении или данном формате, и полученное число перевести в двоичную систему счисления. Для байта 2⁸ = 256, для слова 2¹⁶ = 65 536, для двойного слова 2³² = 4 294 967 296.

Из этих правил можно сделать вывод, что положительные числа в случае увеличения числа разрядов дополняются слева нулями, а отрицательные – единицами.

Пример 5.19. Представить число –11 в дополнительном коде путем арифметических операций.

Решение. Пусть необходимо получить m = 5 разрядов дополнительного кода. Вычислим слагаемое 2^m = 2⁵ = 32. Произведем сложение и перевод в двоичную систему счисления:

–11 + 32 = 21 = 10101₂.

Полученный результат соответствует представлению числа –11 в дополнительном коде.

Для m = 8, 2⁸ = 256:

–11 + 256 = 245 = 11110101₂.

Представление числа –11 было дополнено единицами слева до 8 разрядов. □

Возможно и обратное преобразование отрицательных чисел, записанных в дополнительном коде.

Правило 5.10. (поразрядное определение значения отрицательного числа, записанного в дополнительном коде) Алгоритм определения значения отрицательного числа в дополнительном коде состоит из следующих шагов.

1. Проинвертировать все разряды левее самой младшей (правой) единицы.

2. Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную систему по правилу 4 .1.

3. Умножить результат на –1.

Пример 5.20. Определить, какое десятичное число закодировано числом 1|0101_д с помощью поразрядного определения.

Решение. Проинвертируем разряды числа:

1010|1_д  0101|1_п.

Переведем число из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:

01011₂ = 11.

Умножим результат на –1 и получим число –11. □

Правило 5.11. (арифметическое определение отрицательного числа, записанного в дополнительном коде) Перевести двоичное число в десятичную систему счисления и вычесть из полученного числа число 2^m, где m – количество разрядов в двоичном представлении.

Пример 5.21. Определить, какое десятичное число закодировано числом 1|0101_д с помощью арифметического определения.

Решение. Переведем число из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:

10101₂ = 21.

Вычтем из полученного результата перевода число 2^m = 2⁵ = 32, так как двоичное число состоит из 5 разрядов:

21 – 32 = –11.

В результате получим десятичное число –11. □

Числа в знаковых форматах записываются в дополнительном коде, а в беззнаковых – в прямом.

Запись в дополнительном коде необходима, чтобы складывать и вычитать положительные и отрицательные числа без преобразований.

Пример 5.22. Сложить 21 и –11 в двоичной системе счисления.

Решение. Переведем слагаемые в дополнительный код:

21 = 0|10101_д; –11 = 1|10101_д.

Будем использовать правила двоичной арифметики:

0 + 0 = 0;

1 + 0 = 0 +1 = 1;

1 + 1 = 10 (с переносом единицы в следующий разряд).

Сложим два двоичных числа столбиком с учетом того, что перенос единицы из знакового разряда игнорируется:

010101₂

110101₂

001010₂ = 10.

В результате получено число 10 – сумма 21 и –11 без дополнительных преобразований. □

Форматы целых чисел слово и двойное слово располагаются в памяти ЭВМ в обратном порядке, то есть сначала младший байт, а затем старший. Например, слово B5DE₁₆ будет располагаться в памяти, как показано на Рис. 5 .7.

Рис. 5.7. Расположение слова B5DE₁₆ в памяти ЭВМ

Такое расположение байт удобно при операциях с числами, так как вычисления начинаются с младших разрядов, поэтому они и располагаются сначала.

5.2.Представление вещественных чисел
в памяти ЭВМ

Вещественные числа представляются в форме числа с плавающей запятой (точкой) вида:

M  n^P,

где M – мантисса (значащая часть числа); n – основание системы счисления; P – порядок числа.

Пример 5.23. Число 2,5  10¹⁸ имеет мантиссу равную 2,5, а порядок равный 18. □

Мантисса называется нормализованной, если ее абсолютное значение лежит в диапазоне:

1/n  |M| < 1,

где n – основание системы счисления.

Это условие означает, что первая цифра после запятой не равна нулю, а абсолютное значение мантиссы не превышает единицы.

Число с нормализованной мантиссой называется нормализованным.

Пример 5.24. Представить числа –245,62 и 0,00123 в форме числа с плавающей точкой.

Решение. Число –245,62 можно представить в форме числа с порядком –245,62  10⁰. Мантисса этого числа не нормализована, поэтому поделим его на 10³, увеличив при этом порядок:

–0,24562  10³.

В результате число –0,24562  10³ нормализовано.

Число 0,00123 в форме числа с порядком 0,00123  10⁰ не нормализовано, так как не нормализована мантисса. Умножим мантиссу на 10², уменьшив при этом порядок:

0,123  10^–2.

В результате число 0,123  10^–2 нормализовано. □

В данном примере для нормализации мантиссы запятая сдвигалась вправо или влево. Поэтому такие числа называют числами с плавающей точкой. В отличие от чисел с фиксированной точкой, они значительно ускоряют арифметические операции, при этом каждый раз необходимо нормализовывать мантиссу чисел с плавающей точкой.

Для основанного на стандарте IEEE-754 представления вещественного числа в ЭВМ используются m + p + 1 бит, распределяемые следующим образом (Рис. 5 .8): 1 разряд знака мантиссы; p разрядов порядка; m разрядов мантиссы.

Рис. 5.8. Структура общего формата числа с плавающей точкой

Это представление называется (m, p)-форматом.

Диапазон представления чисел X (m, p)-форматом определяется из неравенства:

 X  (1 – 2^{– m –1})  .

При этом порядок числа P должен удовлетворять условию
–2^{p – 1} + 1  P  2^{p – 1} – 1

Для вещественных чисел в стандарте IEEE-754 используются (23,8)- и (52,11)-форматы, называемые одинарным и двойным вещественными форматами соответственно (табл. 5 .3).

Чтобы представить значение этих порядков, количество секунд, прошедших с момента образования планеты Земля, составляет всего 10¹⁸.

Правило 5.12. (перевод десятичных чисел в (m, p)-формат) Алгоритм перевода десятичного числа X в (m, p)-формат состоит из следующих шагов.

1. Если Х = 0, то принять знаковый разряд, порядок и мантиссу за ноль и закончить алгоритм.

2. Если X > 0, то принять знаковый разряд 0, иначе принять 1. Знаковый разряд сформирован.

3. Перевести целую и дробную часть абсолютного значения числа X в двоичную систему счисления. Если число дробное, то получить m + 1 разрядов. Принять порядок равный нулю.

Таблица 5.3. Сравнительные характеристики
вещественных форматов

Характеристики	Одинарный	Двойной
Названия в языке Турбо-Паскаль	single	double
Размер, байт/бит	4/32	8/64
Порядок p, бит	8	11
Мантисса m, бит	23	52
Смещение порядка 2p – 1 – 1	127	1023
Количество значащих десятичных цифр мантиссы	7 .. 8	15 .. 16
Диапазон десятичных порядков	–45 .. 38	–324 .. 308

4. Если X  1, то перенести запятую влево до самого старшего разряда и увеличить порядок, иначе перенести запятую вправо до первого ненулевого (единичного) разряда и уменьшить порядок.

5. Если число разрядов дробной части меньше m, то дополнить дробную часть нулями справа до m разрядов. Отбросить единицу из целой части. Мантисса сформирована.

6. Прибавить к порядку смещение 2^{p – 1} – 1 и перевести порядок в двоичную систему счисления. Порядок сформирован. Код, в котором представлен порядок, называется смещенным. Смещенный порядок упрощает сравнение, сложение и вычитание порядков при арифметических операциях.

7. Записать знаковый разряд, порядок и мантиссу в соответствующие разряды формата.

Пример 5.25. Представить число –25,6875 в одинарном вещественном формате.

Характеристики

Список файлов книги