Восстановление сигнала в радиодиагностических исследованиях (862082)
Текст из файла
Трулы Петрозаводского государственного:/дкуниверситета518.ýlвосстановJIение сигналаtsрадиодиагностическихисследованияхЕ. К. БвлыйВ статьеисследуютсянеобходимыеи достаточныеусловIlясуществования кусочно-линейных аппроксимаций сигнала,устойчивых по отношению к некоторому определенному ниже классу вариаций. Физический аЕалог таких вариацийаддитивные высокочастотные шумы с нулевым математическим ожидапием.
Полученrrые автором результа.гы моIут-бытъобобщенытакже{кромекусочно-лиfiейнт,Iх)широкий класс кусочных аппроксимаций.на болееСигналом, в общем случае, называют знак, физический процессили явление, котt)рые несут информацию о каком-пибо событии, сосlюяциrt объекта либо передают команды управления, оповещения. Иногда1 например в работе [1.j, сигнал понимается в более узком смысле,как процесс измеЕеIIия во времеЕи физического состояния какtэго-пибtlобъекта, служащий для отображения, регистрации и передачи сообщенилi. При использовании радиографических мет\эдов полученные сприборов кривые несут информацию о состоянии систем чеповеческого организма и поэтому могут рассматриваться как сигнал.
Такимобразом, мы будем отождествлять сигнал с функшиотлапьной зависимостью, заданной плоской кривой. Радиодиагностическое исследовацие представляет собой стохастическую систему[2], слеловательно, впроцессе первичной обработки важно использование метOдов аппрок-симации данных, устойчивых по отношениюторам[2].@ Е. К, Бельй,1997к стюхастическимфак-Е, К.
Белыйб2flycTb функrlия /(t) опрелелена и непрерывна на интервале [о,6] изадаЕо некоторое разбиение интервала [с, Ь] на n частей:(1)=to 1ll (,.. 1tn-t ltn - bНа каждом иЕтервале [l;,t;+r], где i:0, 1,2,.,.п- 1, фУнкuия /(t)аппроксимИруетсЯ линейноЙ .Li(r) = аб t b;t, где коэффициенты oi иa.bi определеЕы по методу наимеЕьших квадратов. Кусочно-линейнуюфункцию, аппроксимирующую /(t) на интервале [а,Ь] , можно представить в виде/*(r,где т, = 1, еслисчитатьrчтоl€'r,tz, ,..,tn-t):fчоLо{t),i=0(t;,l;11), иначе 4; = 0, при этом пока мы булемв узJlахразбиенияфункчия/* не определена.Качествоаппроксимации оценивается по формулеF(tr,.,, t,_r) =п- 1=д/,rьJ"vul rtt+1"f-(t,l1,.,.,t,-1)]2dt:fut*bft- f(t))'dt.Лемма L.Функuшонал F(tl,t2,...,tn-1), обласmь опреdеленufl коmоро?о заOана условuя,Jл,l,u (1) , прuнuлtаеm в своей обласmu опреOеленuя лauнu"+Iальн о е значенuе.Доказательство, Замыканием области определеЕия функционаЕла булет область, заданЕая выражениема = to1 t1 1 t2S ..
S tn-l, 1 tn =Ь,то есть условиями (1), в которых знак < изменен Еа знак {. Совпадение двух узлов фактически означает удаление одЕого из узлов. Такимобразом, функчионал F можно определить и на замыкании обпастиего определения. Как непрерывIlая функция, определенная Еа замкнутом множестве, функционал F должен достигать Еа своем замыкаЕиинаименьшего и наибольшего зЕачений, Совпадение, например, узловt; л t;4 означает) что ин'гервапы [f;_1,t;] и [t;,c;11] слипись в одинВос:с,галtовление слlгIIала врадиодшагностическI{х исследоRанI,Iях,J,)I1нтервал [l;_i,l;+t]. }Ia :;том I1нтервале ф_чнкчия f(t) б_члет аппроксиNII,I].)oBilHi1 неtiсlт,сlрой лилtеtiной функшиеri l,*(l).
Теперь вн},три llн,_t.t]pвала [l;-1.1; t 1] лроrтзвольным образопr ]]азrчIестим узел t;. В соответствиII С критерLIеп{ наIlп.{еньLпих кRадратов на интервале [fi- r, l;] б_чл"тс.уществовать функцrrя Lt-t{,t), которая на этом интервале даt]т наилУЧшУЮ линеriнуtсl аппроксI,Iмачикl f(t), а значит) LI не худшукJ1 Llet!,lL-(t), ,,\налогLttIIlо 1I для интерtsала [li,l;11].
'Гаким образошt, функшионал Л(l1, /2, ...,l,r_1) не может прI{fiимать I]a границе области оlll]елеJ]ения :}наченI,1яr меньшtrIе) че]чI вЕутри области определения, i3начит,нitимеЕьпIее значение функшионала лежит внутри области определения. В дальнейшем мы будем считать функцлtонал F определеннышt}ia открытом множестве, заданноN{ условиями (1).ПВ работе [i3] aBTotrloM доказано утверждение] которое можно сфорN,lулltровать следующим обр азол,t:Теорема 1. RoOltotL:.l1)цl0Byr упlвержOенuii:=*lllочкп:л функлluонала F r)ля ллr_lбоеоl....rr-|, справеdлuво, noKqlaiiTLeiiMept.,эксlrLре.il,аJlьlll>lll:цзluразбut,.нtLяt;аl,zOеi=t1i+1* b,+rl;+r/'' *.rb'+l,Z0,,,1-,= "f(l;.,)То есть либо кусочно-лr,rнеriная tЬункция /*(1,1r, tz,...,tn- t) n,o*.bбыть доопределена до непре}rывtrоЙ в узле l;".1, либо среднее значеHrre линейных фупкциli.
относящiIхся к смежным ин.гервалаN,1) равнL)"f(l;+r ).Определенме1-, Bapuattttu фцнкlуuu f(t) на uлllllервалr: |ti,tiц)буdем на.зьtваlпь 0опусlп,ll'l,ьlnl1l,, e.cllu оllu н(|. меняюlll найdенньtе rlо,btc:rltoOy Hallnl,(:Hb1!17l]: xBaOpalttoB коэффuцлtслtlП,Ьl ai u bi аППР()ХС'uМ'uРУющей f(t) лцнеiiноtL функцuu i,(r) = ai+bit.Лемма 2. ПyctTlb непреI)ьlвllая функцuя /(l) но 1шllfl€рвrli,€ llt, fi+r]а,птL])оъс1l,мllрова}tа ,лuHetitttLii L,(/) : щ*Ьlt , еOе коэффuцuенпl,ьl ai 11i)i O]I,ped(.JLeH5,I ,rlеlпOdоJl, ]rQ'ILiL(|]1l:l'l1l1l,' кваОрпtttt,ь. To.,r)tl на указаlIн{)"|lllLHllLepBai€: L,.,Ult_|ecпlB,lJellt бесrcонечно(: лlнOж€|с1ll.вгldonuclttuMbt|:B(lp,lI(1-цlа h(t) функц,uu ,|'\t)..Щоказательство. f{ля выполнеt{лIя условиit леммы достаl.очно,чтобы вариацllя h(t) ч;.tовлетвоl]япа следующиN,I чсловI,Iя]\,1:Е. К. Белый54[/(,)+ h(,)]d, =!rr,'*i^'t+IJ,А значит,l,','nf'1+1rt;+rt,цt)d/ =,f,','*' f(t)tdt[/(r) + h(r)]td, =IJt,f(t)dt0.
|Jt,пlt)tdl =(2)0Мы можем любой непрерывной вещественной функчии rр(t), определенной на иЕтервале [t;,t;11], по_ставить в соответствие некоторуюдопустимую вариацию А(r) = а+Ы+ 9(l) , гле i и Ь подобраны так)чтэбы выполЕялись усJIовия (2). Для эт.oго достатrэчно найти d и Ь изуравнений:uuf,','t',lt+ъrt,+1_,о, *uJ,,!r"*'t,],t =ft,+rJ,,t2d,t=-/t ,+,J,,p(t)dt- lr:,,'t',t9p)dtпЛемма 3. Множесrпво Ф всп dопусmuлlъlг варuацчйфункцuuТоf {t) на заOаннолl, uнпLервале образуеm лuнейное просmрансIпвоеспLьhl(t),Д2(t) с i[-+аЛl(t) + phztt)C{l dляVа,В с fi.Выполнимость аксиом линейного простраIIства очевидна.
Остальное доказывается неIIосредственной подстановкой в выражения (2),Лемма 4" Пусmь€ [fd,ti+1] u проuзвоJLьное веlцесmвенное0опуспlu,+lуло варuац,tlло h(t) функцuuчrпоh(J) = hg. Прllчем mакur варuацuлif (t) на заdаннолl, uнmервале,чuсло.можеm быmь бесконечное,Щоказательство. Если /r,9 l 0, ,о достаточно взять любую вариачию h*(t)' для котороЙ л-(i) l 0, rr построИть новую h(r) = b-lt)_&bА-(r) '0aHbt,ihg. ВсееOа п4ожно наilmu matyloСогласно пемме 3 эта вариация также будет допустимой. Если hб - 0,то можЕо взять две любые разпичные допустимые вариации Дl(t) иВосстановление сигнала в радиодиагностических исследованиях 55h2(t}, такие, что hl(f) = l и lrz(0 = 1. Затем в качестве искомой взятьвариацию fr(r) = hr(r) - h2(t).
Согласно пемме 3 такая вариация также будет допустимой.В силу использоваIIного принципа построениядопустимых вариачий с условием h(t) = fiб будет бесконечно мЕого.пПемма б. Пуспlь }aHbl |1,{,z С lt;,d;+i] u заdаньlh| u h$. Всеzdа Mo)tcto найm,u тпакуло dопусmuмуловеlцесIпвенньlеварuацuю h(t)uнпlервале1чmоh(|1)h\uh{t2) = hg.наэаOанно"+lфункцuu f {t)=Доказательство. Берем любую вариацию hl(t), уловлетворяющую условию hl(i) = Ъ!, и из всех вариаций, равных нупю в тrэчке 1-1любую такую й2(t), котrэрая отJiична от Еуля в точке 12.
За искомуюПпримем вариа,цию fi(r) = hl(t)+,h3hr{t)lhr(i).Лемма 6. Сущесmвуюm варuацuu h(t) функцаu f (t) на uнmервале it;,t;11'1, lпакuе1 чп701) h(t)=a прutФl,,а,Ъ,, rа, [а,6] с [f;,l;+l] ,2) hLt) прuнuмаеlп на концаI uнпLервала заdанные значенuя h(а) :Heqomopble эаOанньlе Beu,|ecmBe+Hble чuh! u h(Ь) = hB, ede hl,hg,-С;l,а..f[оказательство. Чтобьi найти вариацию, удовлетворяющуюпервому условию) достаточно положить h(r) = 0 при t Ф lа,Ь] и рассмотреть вариации h(t), уловлетворяющие условиям (2), но только наинтервале [а,6] С [t;, t;11]:|Б/ л(t)аr=оJaи|Бlb(t)tat=o,'То есть достатючЁо повторить все рассуждения леммы 2 для интерва-С [h,t;*r].
Вариации, удовлетворяющие первому условиюлеммы) образуют линейное простраЕство. IIоэтому, на основаниилеммы 5, мы можем строить такие вариачии h(J), что fu(a) = h? иЬ(Б) = h| лля лrобых заданных веществеЕных h!,h!. В частности,можЕо строить допустимые вариации, при которых значеЕие h(t) отпично от нуля т\элько в некоторой сколь угодно малой окрестностиодного из концов интервала [h,t;+r] и при этом сохраЕяется непреПрывность варьируемой функчилI /(t) на [t;,t;+r] .Все утверждеЕия пемм 2-6 отtrосились к одцому йз интерваловразбиения всей области определения f(t), то есть к [f;,t;..1], гдепа [а,Б]Е.
К. Бепый56i:0, 1, ...п - L и рассмотренные допустимые вариации функпии /(t)на данЕом интервале не гарантировали сохранение ее непрерывIIостина границах интервала. В следующей лемме разрешается и эта проблема.Лемма 7, Сущеспlвуепl, rпакая варuацuя h('t) функцuu f(t), опре0еленнаg на uнmервале |t;,t;l2f , чmо1) h(ti+l)=ho, еOе hg- некоmорое заdанное веulесmвенное чllсло12) h(t) = 0 прut d [rо+, - €,t;+t * с) 0ляVс > 0,3) h(t) )опусmu,+tая вараацu,tr как на uнmервале [h,tr+r] , Iпакu на uнmервале ft;y1, l0;+z] 1 mо ecmt, не "иенfrеlп 3наченчлi коэффчцuенmов a,;,b6,a,;lrl,b;11 соотrl,ветLстпвуюлцllr лuнеdньlх функцurj Li(t)uLцl(t),Доказательство. IIо лемме б мы, с одной стороны, можем наинтервапе ltt,tl+r] задать такую допустимую вариацию hl(t), чт.сb1(l) = 0 при t ( tt+r -сиh1 (h+r) = hо. Слругой стороны) MbiNlожем fiа интервале [t;11,f;12] залать допустимую вариацию h2(l),такУЮ) что h2(t) : 0 при t ) l;_'',1 *с w h2(t;*1) = 0.
Теперь определимна интервале [t;,t112] вариацию h(t), такую, что:h(l) =-I /],!'JЛr(t)lVl € lt;,t;+t) ,V1 € (/,+r.Ii+z].fIостроенная вариация является допустимой на обоих иЕтервалах,меняет значения /(l) только в заданной сколь угодно малой окрестности узла t;11 , принимает в f;11 значение li,0 и сохраЕяет !IепрерывПность функчиrr /(t) на всей области ее определеЕия.Пусть разбиение (1) соответствует оптимальному значению функционала F(tl,t2,...ir-r).
IIо теореме 1 для любого узла разбиениядопжно быть выполнено одfiо из условий:1)= tr,+r(f,+r) или';(t,+1),l Що}#.зr(1'tl=.г(/i+r)По пемме 7 мы можем задать вариацию /(t) в любой сколь угодномапоЙ окрестЕости любого узла l;11, где f = 0,1, ...п-2, такую. чтоэта вариация не меЕяет значений коэффициентов линейных функuийL;(t) и i;+r(l), меняет значение /(r) u узле J;11 и сохраняетрывность/(l)непре-на Bceli области ее определения. .П,опустим, в узпенеВосстановление слrгнала в радиодиагностических исследованиях 57выполнено первое условие. Тогда такая вариацлrя функции /(t) приведет к тому) что не будет выполняться второе условие) что озЕачаетразбиение перестало быть оптимальным.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
