М.Н. Кирсанов - Задачник термех (2005) (853867), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Составитьуравнение движения системы. За обобщеннуюкоординату принять угол поворота стержня ϕ.РешениеЗаметим, что по условию задачи треугольник OBA равнобедренный. Отсюда угол между BC и осью x (горизонтальная ось направо)ABrϕπ−ϕравен π − ϕ. Составляем кинематический граф A −→ B −→ C , гдеC — точка касания диска и груза. Соответствующие уравнения дляпроекций скоростей:vCx = vAx − AB ϕ̇ sin ϕ − rωz sin(π − ϕ);vCy = vAy + AB ϕ̇ cos ϕ + rωz cos(π − ϕ).Учитывая, что vAx = vAy = 0 и vCy = 0, получаем угловую скоростьдиска и скорость груза: ωz = 2ϕ̇, vCx = −4rϕ̇ sin ϕ.35Примеры решенийВычислим кинетическую энергию груза, совершающего поступательное движениеT1 =2m1 vCx= 8m1 ϕ̇2 r2 sin2 ϕ.2ABИз графа A −→ B сразу же следует:ϕvBx = −AB ϕ̇ sin ϕ;vBy = AB ϕ̇ cos ϕ,2и vB= 4r2 ϕ̇2 .
Кинетическая энергия плоского движения диска приметвид2m2 vBJ2 ω2zT2 =+= 2m2 ϕ̇2 r2 + m2 ϕ̇2 r2 .22ϕ̇2A + B sin2 ϕ .21Обобщенная сила Q = ϕ̇(−M ϕ̇ + (−m2 g)vBy ) = −M − 2m2 rg cos ϕ.Суммарная кинетическая энергия имеет вид T =Задача 2Груз массой m1 движется на невесомых подшипниках по горизонтальной плоскости. По боковой цилиндрической поверхности груза радиусомR = 3r катится диск радиусом r, закрепленныйна стержне AB длиной 4r.
К стержню приложенмомент M . Масса диска m2 . Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату принять угол поворота стержня ϕ.2B1RC-MϕAРешениеABrB −→ C , где C — точкаСоставляем кинематический граф A −→ϕ2π−ϕкасания диска и груза. Запишем соответствующие уравнения для проекций скоростей:vCx = vAx − AB ϕ̇ sin ϕ − rωz sin(2π − ϕ);vCy = vAy + AB ϕ̇ cos ϕ + rωz cos(2π − ϕ).Учитывая, что vAx = vAy = 0 и vCy = 0, выразим угловую скоростьдиска и скорость груза через обобщенную скорость и обобщеннуюкоординатуωz = −4ϕ̇, vCx = −8rϕ̇ sin ϕ.36Система с одной степенью свободыРаздел IВычислим кинетическую энергию груза, совершающего поступательноедвижение со скоростью vCxT1 =2m1 vCx= 32m1 ϕ̇2 r2 sin2 ϕ.2ABИз графа A −→ B сразу же следуетϕvBx = −AB ϕ̇ sin ϕ,vBy = AB ϕ̇ cos ϕ2и vB= 16r2 ϕ̇2 . Кинетическая энергия плоского движения однородногодиска, имеющего момент инерции относительно центральной оси J2 == m2 r2 /2, состоит из двух слагаемых2m2 vBJ2 ω2z+= 8m2 ϕ̇2 r2 + 4m2 ϕ̇2 r2 .22Суммарная кинетическая энергия всей системы как функция обобϕ̇2щенной скорости ϕ̇ имеет вид T = 2 A + B sin2 ϕ .
В выражениеобобщенной силы войдет сила тяжести диска и внешний момент Q == ϕ̇1 ((−M )ϕ̇ + (−m2 g)vBy ) = −M − 4m2 rg cos ϕ. Вертикальная силаT2 =тяжести груза 1 на горизонтальной скорости не имеет мощности.Задача 31O CKB2A?MϕДиск радиусом r и прямоугольный груз массой m1 движутся между вертикальными плоскостями.
Горизонтально скользящий ползун соединен с грузом стержнем длиной L. К стержню приложен момент M . Масса диска m2 .Составить уравнение движения системы. Заобобщенную координату принять угол поворота стержня ϕ.РешениеДля вычисления кинетической энергии потребуются выраженияскорости центра диска, его угловой скорости и скорости груза черезобобщенную скорость ϕ̇. Рассмотрим сначала кинематический графLA −→ B .
Запишем соответствующие уравнения для проекций скороϕстей:vBx = vAx − Lϕ̇ sin ϕ,vBy = vAy + Lϕ̇ cos ϕ.Примеры решений37Учитывая, что vAy = vBx = 0, получаем скорость скольженияползуна и скорость поступательного движения грузаvAx = Lϕ̇ sin ϕ, vBy = Lϕ̇ cos ϕ.2rСоставим граф K −→ C для определения угловой скорости диска0и получимvCy = vKy + 2rωz cos 0.Здесь C и K — точки касания диска с грузом и стеной. Ясно, чтоvKx = vKy = 0, vC = vB , поэтому ωz = (L/(2r))ϕ̇ cos ϕ. Далее, изrграфа от МЦС диска к его центру K −→ O сле-~v0~vO 6Cдует vOy = rωz cos 0, или vOy = (1/2)Lϕ̇ cos ϕ.6CKЗаметим, то, что скорость центра O вдвое меньшескорости точки C легче получить, используя поняРис. 5тие МЦС.
У диска МЦС — точка K.Вычислим кинетическую энергию груза, совершающего поступательное движение2m1 vBym1 2 2=L ϕ̇ cos2 ϕ.22Кинетическая энергия плоского движения однородного диска, катящегося без проскальзывания по неподвижной поверхности, согласно(I.6), имеет видT1 =23m2 vO3m2 2 2=L ϕ̇ cos2 ϕ.416Суммарная кинетическая энергия имеет видT2 =ϕ̇2B cos2 ϕ.2Обобщенная сила вычисляется по мощности момента M и силтяжести тел 1 и 2:1m2 Q = (M ϕ̇ + (−m1 g)vBy + (−m2 g)vOy ) = M − gL m1 +cos ϕ.ϕ̇2T =38Система с одной степенью свободыРаздел IЗадача 4BCRДиск массой m1 и радиусом r соединен с ползуном стержнем длиной 3r. Дисккатится по цилиндрической поверхностирадиусом R = 2r. К стержню приложенмомент M .
Масса ползуна m2 . Составитьуравнение движения системы. За обобщенную координату принять угол поворотастержня ϕ.1M2ϕAРешение3rϕr−ϕСоставляем кинематический граф A −→ B −→ C , где C — точкакасания диска и поверхности. Запишем соответствующие уравнениядля проекций скоростей:vCx = vAx − 3rϕ̇ sin ϕ − rωz sin(−ϕ);vCy = vAy + 3rϕ̇ cos ϕ + rωz cos(−ϕ).Учитывая, что vAy = 0 и vCx = vCy = 0, получаем угловуюскорость диска и скорость ползуна ωz = −3ϕ̇, vAx = 6rϕ̇ sin ϕ.
Из3rB сразу же следует:графа A −→ϕvBx = 3rϕ̇ sin ϕ;vBy = 3rϕ̇ cos ϕ2и vB= 9r2 ϕ̇2 . Кинетическая энергия плоского движения однородногодиска, катящегося без проскальзывания по неподвижной поверхности,определяется по формуле (I.6)23m1 vB27=m1 r2 ϕ̇2 .44Вычислим кинетическую энергию ползуна, совершающего поступательное движениеT1 =T2 =2m2 vAx= 18m2 r2 ϕ̇2 sin2 ϕ.2Кинетическая энергия системы имеет вид T = (ϕ̇2 /2) A + B sin2 ϕ .Обобщенная сила вычисляется по моменту M и силе тяжести тела 1:Q=1((−M )ϕ̇ + (−m1 g)vBy ) = −M − 3m1 gr cos ϕ.ϕ̇39Примеры решенийЗадача 5Механизм состоит из диска массой m1 ирадиусом r, шарнирно соединенных стержняAB массой m2 и кривошипа CB длиной 3r.Диск катится по цилиндрической поверхности радиусом R = 2r, AB = OC.
К стержнюAB приложен момент M . Составить уравнение движения системы. За обобщенную координату принять угол поворота кривошипа ϕ.A 1ROM2CBϕРешениеПо условию задачи OA = BC = 3r, AB = OC, поэтому ABCO— параллелограмм, следовательно, стержень AB движется поступательно.
При поступательном движении тела скорости всех его точекравны vA = vB , а угловая скорость равна нулю: ω2z = 0. Составляем3rкинематический граф C −→ B , из которого сразу же следует:ϕvBx = −3rϕ̇ sin ϕ;vBy = 3rϕ̇ cos ϕ22и vA= vB= 9r2 ϕ̇2 . Кинетическая энергия плоского движения однородного диска, катящегося без проскальзывания по неподвижнойповерхности,23m1 vA27T1 ==m1 r2 ϕ̇2 .44Кинетическая энергия поступательного движения стержня AB2m2 vA9m2 r2 ϕ̇2=.22Суммарная кинетическая энергия имеет видT2 =T =ϕ̇2A,2где A — некоторая константа (обобщенный момент инерции механизма).
Обобщенная силаQ=1((−M )ω2z + (−m1 g)vAy + (−m2 g)vAy ) = −3(m1 + m2 )gr cos ϕ.ϕ̇Для A=const уравнение Лагранжа имеет простой вид Aϕ̈ = Q и неотличается от уравнения движения точки.40Система с одной степенью свободыРаздел IЗадача 62MB ϕ?1AОсь диска массой m1 и радиусом r соединена стержнем длиной 3r с муфтой, скользящей повертикальной направляющей. Диск катится по цилиндрической поверхности радиусом R = 2r. К диску приложен момент M . Масса муфты m2 . Составить уравнение движения системы.
За обобщеннуюкоординату принять угол поворота стержня ϕ.CyRРешение3rrπ+ϕ−ϕСоставляем кинематический граф A −→ B −→ C , где C — точкакасания диска и поверхности. Запишем соответствующие уравнениядля проекций скоростей:vCx = vAx − 3rϕ̇ sin(π + ϕ) − rωz sin(−ϕ);vCy = vAy + 3rϕ̇ cos(π + ϕ) + rωz cos(−ϕ).Учитывая, что vAx = 0 и vCx = vCy = 0, получаем угловую скоростьдиска и скорость ползуна: ωz = −3ϕ̇, vAy = 6rϕ̇ cos ϕ.3rИз графа A −→ B сразу же следует:π+ϕvBx = −3rϕ̇ sin(π + ϕ) = 3rϕ̇ sin ϕ;vBy = vAy + 3rϕ̇ cos(π + ϕ) = 3rϕ̇ cos ϕ2и vB= 9r2 ϕ̇2 . Кинетическая энергия плоского движения однородногодиска, катящегося без проскальзывания по неподвижной поверхности,определяется по формуле23m1 vB27=m1 r2 ϕ̇2 .44Вычислим кинетическую энергию ползуна 2, совершающего поступательное движениеT1 =T2 =2m2 vAy= 18m2 r2 ϕ̇2 cos2 ϕ.2Суммарная кинетическая энергия имеет вид T = (ϕ̇2 /2) A + B cos2 ϕ .Обобщенная сила1Q = (M ωz + (−m1 g)vBy + (−m2 g)vAy ) = −3M − 3gr(m1 + 2m2 ) cos ϕ.ϕ̇41Примеры решенийЗадача 7Оси двух дисков радиусом r соединеныстержнем длиной 4r.
Диск A массой m1 катится по горизонтальной поверхности, другой — массой m2 , — по цилиндрической поверхности радиусом R = 5r. К диску A приложен момент M . Составить уравнение движения системы. За обобщенную координатупринять угол поворота стержня ϕ.M1OA2?KB ϕRWCРешениеЗаметим, что по условию задачи треугольник OBA равнобедренный. Отсюда угол между CB и осью x равен π − ϕ. Рассмотримr4rπ−ϕϕкинематический граф C −→ B −→ A , где C — точка касания дискаи поверхности, а точки O, B и C лежат на одной прямой — нормалик общей касательной поверхности и диска.
Запишем соответствующиеуравнения для проекций скоростей:vAx = vCx − rω2z sin(π − ϕ) − 4rϕ̇ sin ϕ;vAy = vCy + rω2z cos(π − ϕ) + 4rϕ̇ cos ϕ.Учитывая, что vCx = vCy = vAy = 0, определяем угловую скоростьω2z = 4ϕ̇ и скорость vAx = −8rϕ̇ sin ϕ. Найдем скорость B. Составив4rA , получим:граф B −→ϕvAx = vBx − 4rϕ̇ sin ϕ;vAy = vBy + 4rϕ̇ cos ϕ.НайдемvBx = vAx + 4rϕ̇ sin ϕ = −4rϕ̇ sin ϕ,vBy = vAy − 4rϕ̇ cos ϕ = −4rϕ̇ cos ϕ.2Отсюда имеем vB= 16r2 ϕ̇2 . Для определения угловой скорости диска 1rсоставим граф K −→ A , где K — точка касания диска с поверхностью.π/2В проекции на ось x: vAx = vKx − rω1z sin(π/2).
Ясно, что vKx = 0,поэтому ω1z = 8ϕ̇ sin ϕ.Кинетическая энергия однородного диска, катящегося без проскальзывания по неподвижной поверхности, определяется по формуле (I.6):T1 =223m1 vA3m2 vB= 48m1 r2 ϕ̇2 sin2 ϕ, T2 == 12m2 r2 ϕ̇2 .4442Раздел IСистема с одной степенью свободыСуммарная кинетическая энергия имеет видT =ϕ̇2(A + B sin2 ϕ).2Обобщенная силаQ=1(−M ω1z + (−m2 g)vBy ) = −8M sin ϕ + 4grm2 cos ϕ.ϕ̇Задача 8Оси цилиндров соединены спарником.Верхний цилиндр катится без проскальзыванияпо вертикальной плоскости. Нижний цилиндрнаходится в зацеплении с верхним и катитсяпо пластинке массой m1 , скользящей погоризонтальной плоскости. Радиусы цилиндровr. Масса нижнего цилиндра m2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
