М.Н. Кирсанов - Задачник термех (2005) (853867), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ось цилиндраA неподвижна. К цилиндру A приложенмомент M . За обобщенную координатупринять угол ϕ поворота стержня AB.27Условия задач1.106. Диск массой m1 и радиусом r соединен с ползуном стержнем длиной 3r. Дисккатится по неподвижной цилиндрическойповерхности радиусом R = 2r. К дискуприложен момент M . Масса стержня m2 .За обобщенную координату принять уголповорота стержня ϕ.?ϕR21.107.
Диск радиусом r катится по поверхности неподвижного цилиндра радиусом Rи находится в зацеплении с бруском массойm2 , скользящим по нижней грани пресса,движущегося вертикально. Оси цилиндровсоединены стержнем массой m1 . За обобщенную координату принять угол поворотастержня ϕ.~F? 2M?A'$ϕ1O1.108. Диск радиусом r и прямоугольныйблок массой m1 движутся между вертикальными плоскостями.
Горизонтально скользящий ползун массой m2 соединен с блокомневесомым стержнем длиной L. К дискуприложен момент M . За обобщенную координату принять угол поворота стержня ϕ.1.109 Шток массой m1 свободно движетсяв вертикальных направляющих. Стерженьмассой m2 длиной 2a, жестко скрепленный с цилиндром, скользит одним концомпо нижней поверхности штока. К цилиндрурадиусом R приложен момент M .
Центрстержня соединен с центром цилиндра. Заобобщенную координату принять угол поворота цилиндра ϕ.1.110. Груз массой m1 движется на невесомых подшипниках по горизонтальной плоскости. По боковой цилиндрической поверхности груза радиусом R = 3r катится дискрадиусом r, закрепленный на стержне длиной 4r. К диску приложен момент M . Масса стержня m2 . За обобщенную координатупринять угол поворота стержня ϕ.1M1?Mϕ21-MM1R?ϕ22ϕ28Система с одной степенью свободы1.111. Груз массой m1 движется на невесомых подшипниках по горизонтальнойплоскости.
По цилиндрической поверхности груза радиусом R = 4r катится диск радиусом r, закрепленный на стержне длиной3r и массой m2 . К грузу приложена сила F .За обобщенную координату принять уголповорота стержня ϕ.2ϕR~F-1W1xM~F2α1~F2-ϕαM1?2ϕαϕ~FРаздел I211.112. Между диском радиусом R и прессом массой m1 зажата пластина массой m2 ,скользящая по гладкой поверхности пресса.Диск катится по поверхности, наклоненнойпод углом α.
К диску приложен момент M ,к пластине — горизонтальная сила F . Заобобщенную координату принять горизонтальное перемещение пластины x.1.113. Груз массой m1 движется на невесомых подшипниках по горизонтальнойплоскости. По боковой поверхности грузакатится диск радиусом r, закрепленный настержне длиной 5r. К грузу приложена силаF . Масса диска m2 . За обобщенную координату принять угол поворота стержня ϕ.1.114. Груз массой m1 движется на невесомых подшипниках по горизонтальнойплоскости.
По боковой поверхности груза катится диск радиусом r, закрепленныйна стержне длиной 4r. К диску приложенмомент M . Масса стержня m2 . За обобщенную координату принять угол поворотастержня ϕ.1.115. Вертикально движущийся поршеньмассой m1 закреплен шарнирно на ободедиска радиусом R. Диск без проскальзывания катится по пластине, лежащей на гладкой плоскости.
К пластине приложена силаF . Масса пластины m2 . За обобщеннуюкоординату принять угол поворота диска ϕ.29Условия задач1.116. Вертикально движущийся поршеньмассой m1 закреплен шарнирно на ободедиска радиусом R. Диск массой m2 без проскальзывания катится по пластине, лежащей на гладкой плоскости. К диску приложен момент M .
За обобщенную координатупринять угол поворота диска ϕ.1.117. Диск радиусом r массой m1 катится по внутренней стороне цилиндрическойповерхности радиусом R = 4r. Длина кривошипа BC равна 3r. К диску приложенвнешний момент M . Масса стержня ABравна m2 . За обобщенную координату принять угол ϕ поворота стержня BC.1.118. Диск радиусом r массой m1 , шарнирно закрепленный на конце невесомогостержня AB, катится без проскальзыванияпо внутренней стороне цилиндрической поверхности радиусом R = 4r.
К стержнюBC длиной 3r и массой m2 приложен момент M . За обобщенную координату принять угол ϕ.1.119. Между диском массой m1 и радиусом R и прессом массой m2 зажата пластина, скользящая по гладкой поверхностипресса. Пресс движется в вертикальныхнаправляющих. Диск катится по поверхности, составляющей с горизонтом угол α.К диску приложен момент M , к пластине— горизонтальная сила F . За обобщеннуюкоординату принять угол поворота диска ϕ.1.120. На ободе диска A радиусом R шарнирно закреплен диск B радиусом r и массой m1 . Диск A катится по горизонтальной поверхности, диск B — по нижнейповерхности вертикально перемещающегося поршня массой m2 . К диску B приложен момент M .
За обобщенную координатупринять угол ϕ поворота диска A.M6 ϕ21ϕCOR92MAB1ϕCOR92A6B1M2~MF-1-ϕα2M B1ϕA30Система с одной степенью свободыРаздел IПримеры решенийПЛАНРЕШЕНИЯ1. Определение кинематических зависимостей. Выражение скоростей (угловых скоростей) через обобщенную скорость и обобщеннуюкоординату.2.
Нахождение кинетической энергии системы.3. Определение обобщенной силы.4. Составление уравнения.Разберем отдельно каждый пункт плана.1. Определение кинематических зависимостейСкорость точки B тела при плоском движении вычисляют черезизвестную скорость какой-либо точки A того же тела, принимаемой заполюс (рис. 1):~~ 1 × AB.~vB = ~vA + ~vBA , ~vBA = ω(I.1)Для расчета скоростей точек механизма формулу (I.1) применяютпоследовательно для всех точек, переходя от одной точки, принимаемой за полюс, к другой.
Схеyму вычислений в этом случае удобно записывать*6~vBBв виде структурных формул (графов [8], [6])~vA 1Aϕ11-xA −→ B,ϕ1(I.2)где над стрелкой указан номер тела илинаименование стержня, которому принадлежат~ В проекцияхточки, а снизу — угол ϕ между осью x и вектором AB.на оси x, y граф (I.3) дает уравнения:Рис. 1vBx = vAx − AB ω1z sin ϕ1 ;vBy = vAy + AB ω1z cos ϕ1 ,(I.3)где ω1z — проекция угловой скорости тела 1 на ось z, перпендикулярную плоскости движения.В качестве вершин графа удобно брать точки механизма с заданными или искомыми скоростями. При этом скорость может быть заданачастично, например, только по направлению.
Если в задаче имеетсяПримеры решений31тело (обычно диск или цилиндр), катящееся без проскальзывания покакой-либо поверхности, то точка касания тела может быть вершинойграфа, так как скорость ее равна нулю.Метод кинематических графов удобен и прост в решении. Однакоследует предупредить о характерной ошибке, встречающейся при составлении графов. Так, при рассмотрении графа для рис. 1 «в обратном1направлении» B −→ A , можно ошибиться при выборе угла. Соответπ+ϕ1ствующие уравнения имеют вид:vAx = vBx − AB ω1z sin(π + ϕ1 );vAy = vBy + AB ω1z cos(π + ϕ1 ).(I.4)Уравнения (I.3) и (I.4) совпадают.В некоторых очевидных случаях метод кинематических графовприменять нецелесообразно. Например, при определении скороститочки A цилиндра, катящегося по неподвижной поверхности,по заданной скорости центра O (рис.
2) проще использовать понятие мгновенного ценA- ~vAтра скоростей (МЦС). Цилиндр катится безпроскальзывания, поэтому точка P касанияO- ~vOплоскости неподвижна.Следовательно, учитывая линейное распределение скоростей, получаем vOx = vAx /2.PВ общем же случае метод МЦС связываетРис.
2модули угловых скоростей, поэтому длярешения задачи он непригоден, так как при вычислении обобщеннойсилы необходимы проекции скоростей.Для определения проекций скоростей можно также воспользоваться координатным методом. Рассмотрим кривошипно-шатунный механизм (рис. 3).
Кривошип AB, вращаясь вокруг оси в подшипнике A,посредством шатуна BC сообщает возвратно-поступательное движениеползуну C. Дано: AB = BC = l. Силы, действующие на механизм, неуказаны, для кинематического анализа они не требуются.Пусть ϕ — обобщенная координата. Найдем скорость ползуна. Дляэтого определим его координатуxC = xA + 2l cos ϕ.Дифференцируя это равенство, получаем:vxC = −2lϕ̇ sin ϕ.(I.5)32Система с одной степенью свободыРаздел IЛегко проверить, что этот же результат получается методом графов.llСтроим граф A −→ B −→ C . Записываем оба уравнения графа в проекϕ−ϕции и на оси x и y.
Вычисляем из второго уравнения графа (в проекциина y) скоростьvCy = vAy + lϕ̇ cos ϕ + lωBCz cos(−ϕ)угловую скорость ωBCz = −ϕ̇. Подставляем ее в первое уравнениеграфаvCx = vAx − lϕ̇ sin ϕ − lωBCz sin(−ϕ),получаем тот же результат (I.5), но более сложным способом.y6ABϕC2l cos ϕ-xРис. 32. Нахождение кинетической энергии системыДля получения кинетической энергии системы следует помнитьнесколько основных вариантов:а) поступательное движение тела массой m со скоростью v илидвижение точкиmv 2T =;2б) вращательное движение тела с моментом инерции J относительно оси вращения с угловой скоростью ωJω2;2в) плоское движение тела с массой mT =Jc ω2mvc2+,22где vc — скорость центра масс тела, ω — угловая скорость, Jc — моментинерции относительно оси, проходящей через центр масс;T =33Примеры решенийг) качение однородного цилиндра по поверхности (см.
рис. 2)T =222mvOJO ω2mvOmR2 (vO /R)23mvO+=+=.22244(I.6)Напомним также выражение момента инерции стержня длинойAB = l и массой m (рис. 4) относительно середины 1)JO =ml212и относительно конца JA = ml2 /3. Если известен радиус инерции телаρ (обычно блока колес), то момент инерции вычисляется по формулеJ = mρ2 .AOBРис. 43.
Определение обобщенной силыОбобщенная сила находится с использованием скалярного произведения при вычислении мощности. Пусть q — обобщенная координата.Тогда для стационарных связей справедливо выражениеQ=1 ~~1·ω~2·ω~n·ω~1 +M~ 2 + ... + M~ n ),(F1 · ~v1 + F~2 · ~v2 + ... + F~k · ~vk + Mq̇~ j , j = 1...n — действующие на систему силы игде F~i , i = 1...k и Mмоменты; ~vi — скорости точек приложения сил, ωj — угловые скоростител, к которым приложены моменты.4. Составление уравненияПри заданных выражениях для кинетической энергии и обобщеннойсилы составление уравнения движенияd ∂T∂T−=Qdt ∂ q̇∂q1)Когда говорится, что момент инерции вычисляется относительно середины,то подразумевается момент инерции относительно оси, проходящей через середину стержня.34Раздел IСистема с одной степенью свободысводится к дифференцированию кинетической энергии по обобщеннойкоординате и обобщенной скорости.
Эта процедура в основном одинаковая для всех задач. Например, если кинетическая энергия имеет видq̇ 2A + B sin2 q + C sin 2q ,2то частные производные легко вычисляются:T =∂T∂Tq̇ 2= q̇(A + B sin2 q + C sin 2q),= (B sin 2q + 2C cos 2q).∂ q̇∂q2Полная производная по времени определяется по формулеd ∂T= q̈(A + B sin2 q + C sin 2q) + q̇ 2 (B sin 2q + 2C cos 2q).dt ∂ q̇Окончательно уравнение примет видq̈(A + B sin2 q + C sin 2q) + (1/2)q̇ 2 (B sin 2q + 2C cos 2q) = Q.Приведем краткие решения некоторых задач.Задача 1A ϕO2BRWC6M1Груз массой m1 движется на невесомыхподшипниках по горизонтальной плоскости. Поцилиндрической поверхности груза радиусомR = 3r катится диск радиусом r, закрепленныйна стержне AB длиной 2r. К стержню приложен момент M . Масса диска m2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
