1. Интегралы ФНП Диф_ур (853736)
Текст из файла
||||||||| ( )||||||||||||||||||||||||||{. . !", $.. %&'"(, ..")"&!",..*+"&"( ,- $. $ $. ,$., " " , ! " 200251K937:51+517.3(075.8) :..-. , !"##" $%&'(% ).*.,..-. , !"##" + ,.-. "# %#./ . *0"(& #1#(. 2 #(&3 !"3. "(& "%': 4. / - .., .., .., ..6 ". 71 -.7. {9.: *(&#% 9:*. 2002 0.
{ 335 #.ISBN5-7046-0761-6 , . " # $ ($ $ $, , ), ' . (, ( .) .ISBN5-7046-0761-6c ( *$( , 2002 $. , . ! "# ", ! $# %&'.( ) * :{ $ { $ ($$ ){ ! $$ ) ! , , ) ! , .
) ) .0 -! , * ( ) , , ). 0 , , * . ) #. 1 # < , { >.2 ! : "'", "3 ", "2$$ ".4 ! 5 0.6., ' .'. ! # * , .3 1 1 # * : $ F (x), ! , .. $ f (x), f (x) = F (x):9 ! ! : ! $ F (x), $ f (x), ..F (x) = f (x). 1.1. 3 F (x) $ f (x) :a b], < F (x) = f (x). 1.1. 1 ! $ f (x) = x2:' ! , 0 313xF (x) = 3 @ x3 A = x2:= , $ f (x) * !, < ! 3 .
3 >, * ) F1(x) = x3 + 1 F2 (x) = x3 ; 3 ,3x!*, F (x) = 3 + C , { , 10 3x@ + C A = x2:3 1.1. F1(x) F2(x) f (x) :a b], 00000.. ! :F1 (x) = f (x) F2(x) = f (x) 8x 2 :a b]:! '(x) = F1 (x) ; F2 (x). >, ,' (x) = F1(x) ; F2(x) = f (x) ; f (x) = 0 8x 2 :a b]:4000001 , ' (x) 0 :a b] , '(x) C :a b]. 2 , $ '(x) ! x 2 (a b] =) :a x], $$ :a b] , , $$ :a x]. (< =) * 2 (a x), '(x) ; '(a) == ' ( )(x ; a) = 0, ..
'(x) = '(a) 8x 2 (a b]: ! '(a) = C '(x) = C 8x 2 :a b]:> . 1.2. 9 ! $ f (x) f (x) ! Zf (x) dx: 1.3 0 $ F (x) ! $ f (x), ) F (x) + C , C { , f (x).> !, ,00Zf (x) dx = F (x) + C(1:1) F (x) = f (x).( < $ f (x) , R) f (x) dx { , { .1) ! $ f (x) f (x). : $ f (x) * ? : , .0 1.2 (). f (x) :a b], " , ," .5 () , * .1) ( $ , .., F (x) = f (x), 0Zf (x) dx = (F (x) + C ) = f (x):00(1:2)2) 2$$ ):dZf (x) dx = d(F (x) + C ) = (F (x) + C ) dx = f (x) dx:03) 1 $$ $ < $ :ZZdF (x) = F (x) + C(1:3)F (x) dx = F (x) + C:(1:4), 3) ) 0 . 1.2.Z 1.3.ZZ1p 2 dx = d (arcsin x) = arcsin x + C:1;x pZ p;x2p 2 dx = d 1 ; x = 1 ; x2 + C:1;x4) ( ) ) , ..ZZa f (x) dx = a f (x) dx a { .6(1:5)2 , 1) Za f (x) dx = a f (x)0 ZZa f (x) dx = a f (x) dx = a f (x).. ) a R f (x) dx a R f (x) dx ) $ a f (x): 9 , ( , ) ) ) $ ).5) 1 $ , ..Z0Z0Z(f1(x) + f2(x)) dx = f1(x) dx + f2(x) dx:(1:6)E * , (73):.ZZZ(f1 (x) + f2 (x)) dx = f1(x) + f2(x)0ZZf1(x) dx + f2(x) dx = f1 (x) + f2(x) = f1(x) + f2(x):> !, (73) ) !.
9 , )Z00Z0Z(f1(x) + f2(x)) dx f1(x) dx + f2 (x) dx ! ! ) $ f1(x) + f2 (x). 5, .6) 0Zf (x) dx = F (x) + CZ(1:7)f (ax + b) dx = a1 F (ax + b) + C:2 ,d Z f (ax + b) dx = f (ax + b):dx7! t = ax + b ) $ , 1! 1 ddt = 1 f (ax + b)a = f (ax + b):F(ax+b)+C=(F(t))aa dtdx aG 6):0Zf (x + b) dx = F (x + b) + CZ F (x) = f (x):f (ax) dx = a1 F (ax) + C01)2)3)4)5)6)7)8)9)10)ZZ 0 dx = C+1x dx = x + 1 + C 6= ;1Z 1x dx = ln jxj + CZsin x dx = ; cos x + CZcos x dx = sin x + CZ 1cos2 x dx = tg x + CZ 1sin2 x dx = ; ctg x + CZ xe dx = ex + CxZaxa dx = ln a + CZ 11 + x2 dx = arctg x + C811)12)13)14)15)16)17)18)ZZZZZZZZZ1 dx = 1 arctg x + C a 6= 0a2 + x2aa1 dx = 1 ln 1 + x + C1 ; x22 1;x1 dx = 1 ln a + x + C a 6= 0a2 ; x22a a ; x p 1 2 dx = arcsin x + C jxj < 11;xp 21 2 dx = arcsin xa + C jxj < jaja ;xpp 21 2 dx = ln jx + x2 + a2j + C (a 6= 0)a +xpp 21 2 dx = ln jx + x2 ; a2j + C jxj > jaj > 0x ;ash x dx = ch x + Cch x dx = sh x + CZ dx20)= th x + Cch2 xZ dx21)= ; cth x + C:sh2 x9 $ ! ) ! $$ .1, $ 3)Z 1x dx = ln jxj + Ca) x > 0, (ln jxj) = (ln x) = x1 !) x < 0, (ln jxj) = (ln(;x)) = ;1x (;1) = x1 :19)00009 $ 11)Z1 x !!1 dx = 1 arctg x + Ca2 + x2aa211a1 :1arctg===2 2222aaa 1 + x a (a + x )a a + x2a2 $ 13)Z1 dx = 1 ln a + x + Ca2 ; x22a a ; x !1a+x = 1 (ln ja + xj ; ln ja ; xj) =ln2a a ; x 2a!+a+x = 1 := 21a a +1 x + a ;1 x = 21a a ;ax2 ;x2a2 ; x2 $ 15)Zp 21 2 dx = arcsin xa + Ca ;x!x1 1=p a 1=p 1 :arcsin a = vu2ua2 ; x2 aa2 ; x2t1 ; x aa2B $ 16)!p 2 21xp1+ p 2 2 =ln jx + x + a j =x + x2 + a2x +ap2 2p x2 + a2 +p x2 2 = p 21 2 :=(x + x + a ) x + ax +a4 $ ! .00000102 ) ! * $ 2) ! :2ZZx1: 1 d x = x + C 2: x dx = 2 + C #.Z3x3: x dx = 3 + C -4:2p5: px dx = 2 x + C Z 1Zp32x dx = 3 x + C -pZ dx6: x2 = ; x1 + C: !" #$"1.
y = f (x) (c. 1.1).2. , ! " "!?3. % "! " & f (x)? (c. 1.2).4. !! & .2. ( (c. 1.1).11 2 % & ! . & * . 2.1. $ " Z f (x) dx x = '(t), '(t) { ,&" & &. 'ZZf (x) dx = f ('(t)) ' (t) dt:(2:1)0() , (2.1) * !: (2.1) t ! $ t = K(x), K(x) { ! $ $ x = '(t). 2 (2.1) $$ x :d Z f (x) dx = f (x)dxZ d Z dtddx f ('(t))' (t) dt = dt f ('(t))' (t) dt dx == f ('(t))' (t) d1x = f ('(t))' (t) ' 1(t) = f ('(t)) = f (x):dt> !, , , (2.1). 2.1.
( $ ! t = (x), x = '(t). > dt = (t) dx:1,Z (x)Z dtdx=(x)t = ln jtj + C = ln j(x)j + C:12.0000000. 1) eZ2 p>Zp 2dx 2 (a > 0):a ;xx = a sin t t = arcsin xa 2Zt dt = Z dt = t + C = arcsin x + C:p 2dx 2 = aa coscos taa ;x2) eZ2 >qa ; x = a2 ; a2 sin2 t = a cos t:2x dx :1 + x2t = 1 + x2 dt = 2x dx x dx = 12 dt:x dx = 1 Z dt = 1 ln jtj + C = 1 ln(1 + x2) + C:1 + x2 2 t 22 Z 2.2.$ u(x) .
'Z.v(x){ Zu dv = uv ; v du:(2:2)( $$ d(uv) = u dv + v du:1 ZZZd(uv) = u dv + v du:13(2:3)> Zd(uv) = uv + C C ! (2.3), ae ZZuv = u dv + v du (2.2).> .Z3 (2.1) Z u dv v du. < ! ! .Z u dv $ (2.1) . 2.1. eZ>Zx sin x dx:01u=xdv=sinxdxx sin x dx = @ du = dx v = ; cos x A =Z= ;x cos x + cos x dx = ;x cos x + sin x + C: $ , $ . E , ! # , , ) ! * .I. E , $ ) $ ln x arcsin xarccos x arctg x: 2 $ (2.1), u(x), # $ . 2.2.0 u = ln xn dx1Zdv=xxn+1 ln x;n+1 A =xn ln x dx = @n+1du = x1 dx v = nx + 114Zn+1n+1n+1xxx; (n + 1)x dx = n + 1 ln x ; (n + 1)2 + C: 2.3.0 u = lnk xZdv = xn dx 1nkk 1xn+1 A =x ln x dx = @klnxdu = x dx v = n + 1;n+1Z xnxk= n + 1 ln x ; n + 1 k lnk 1 x dx k 2:, Zxn lnk 1 dx) $ (2.1).
2.4.0u = arctg x dv = x dx12Zx@A2x arctg x dx == 2 arctg x;du = 1 +dxx2 v = x2;;Z2+1;12xx; 2(1 + x2) dx = 2 arctg x ; 12 x + 12 arctg x + C: 2.5.0u = arcsin x dv = dx1ZA = x arcsin x;arcsin x dx = @dx v=xdu = p1 ; x2Zp; p1 x; x2 dx = x arcsin x + 1 ; x2 + C:II.
E :ZZZ(ax + b)n sin x dx (ax + b)n cos x dx (ax + b)n e x dx a b { - n { ! ) .' ! n- $ (2.1), u(x) ) ! (ax + b) * . (15) < ! ) . 2.6.0nx dx1ZZu=xdv=enxnx@Ax e dx = du = n xn 1 dx v = ex = x e ; nxn 1 ex dx:2 R xn 1 ex dx ) $ (2.1). 2.7.01nZu=xdv=sinxdxxn sin x dx = @du = n xn 1 dx v = ; cos xA =;;;; 2.8.Z= ;xnZcos x + n xn 1 cos x dx:0xn cos x dx = @;1u = xndv = cos x dxA =du = n xn 1 dxv = sin x;Z= xn sin x ; n xn 1 sin x dx:R n 1E) #,x cos x dxR n 1 x sin x dx ) $ (2.1).III.
E :Z xZ xZZe cos bx dx e sin bx dx sin(ln x) dx cos(ln x) dx:! ! < I , ae I , ) . , I ) ! C , < * I) ) ! C. 2.9.01ax Z axu=edv=cosbxdxA=I = e cos bx dx = @sinbxaxdu = a e dxv= b;;;16bx ; a Z eax sin bx dx:b Z b2 eax sin bx dx * $ (2.1). aeax sin bx a eax cos bx a Zeax cos bx dx) =;(;+eI=bbbbax sin bx aeax cos bx a2e; b2 I:(2:4)=b +b2> !, $ (2.1) I , + b sin bx eax:I = a cos bx(2:5)2a + b2 * , (2.5) C , ZI = eax cos bx dx , Z+ b sin bx eax + :I = eax cos bx dx = a cos bxa2 + b24 Z ax; b cos bx eax + :e sin bx dx = a sin bxa2 + b2 2.10.0u = sin(ln x)1Zdv=dxA=sin(ln x) dx = @1du = cos(ln x) x v = x= eax sinZ= x sin(ln x) ; cos(ln x) dx:0 u = cos(ln x)1Zdv=dxA=cos(ln x) dx = @1du = ; sin(ln x) x v = x17Z= x cos(ln x) + sin(ln x) dx:' Zsin(ln x) dx = x sin(ln x) ;2 x cos(ln x) + CZcos(ln x) dx = x sin(ln x) +2 x cos(ln x) + C:E, ! , .
( , * . 2.11.01 dx1Z xZ cos xu=xdv=2@Asin xsin2 x dx = du = dx v = ; ctg x = ;x ctg x + sin x dx =Z d sin x= ;x ctg x + sin x = ;x ctg x + ln j sin xj + C: 2.12.p2 210Zpp2 2x+adv=dxu=A=xx2 + a2 dx = @x +a ;du = p 2x 2 dx v = xx +aZZ x2 + a2 ; a2p2 2 Zp2 22; px2 + a2 dx = x x + a ; x + a dx + a pxd2 x+ a2 dx:9 ,ZZpp2 x2 + a2 dx = x x2 + a2 + a2 p d2 x 2 :x +a> !, Zp 2dx 2 x +aZpp 2 2 a2p122x + a dx = 2 x x + a + 2 ln jx + x2 + a2j + C:184,Zp 2 2 a2p2 21x ; a dx = 2 x x ; a ; 2 ln jx + x ; a j + C:p22 !" #$"1.
") & (c. 2.1).2. *+ &) Z, (x),(x) dx:03. & ! & (c. 2.2).4. ." ! &":Zx + 4x dx:1) 2 arctg1 + x2Z2) cos xx ;cosx xsin x dx:2.4.t = ,(x) 1Z dt = , (x) dx Z2, (x),(x) dx = t dt = t2=2 + C = (, (2x)) + C:000Z arctg xZ xZ 2 arctg x + 4x1)1 + x2 dx = 2 1 + x2 dx + 4 1 + x2 dx(c.
!! 4), 5) & &).ZZ arctg x(arctg x)2 + Cdx=(arctgx)(arctgx)dx=1 + x22(c. ! 2 32).Z xZ 2xZ (1 + x2)2dx=1=2dx=1=21 + x21 + x21 + x2 dx = 1=2 ln(1 + x ) + C(c. 2.1).,Z 2 arctg x + 4x22dx=(arctgx)+2ln(1+x) + C:21+x2)Z (x cos x)Z cos x ; sin xx cos x dx = x cos x dx = ln(x cos x) + C(c. 2.1).00019 3% ' < # !, ! $, * !) M4. ! # ) . >, ! ) ) N ( < ) , ) .
1, ) N ,)* 2{5. G! ! ! , ! , 0 ! )Z ( .(! ) ! ! ! Z (, 2 : 5), 0, ! ! ! , , !) ( .E $ ), , ) ! ! ! , , ) p (, , 2). ( , ! ) R ( . < ) p (, , ;1). ' , ! ) ( .(# , ! ! i. , ) (;1), < pi2 = ;1. ) , ;1 = i. , ) * !.20 3.1.) )a + bi a b { i { .2 a b a + bi.' !:z = a + bi, Re z = a, Im z = b.1 ), , ), , ! , i2 = ;1.
3.1. 1(1 ; i)(1 + i):(1 ; i)(1 + i) = 12 ; i2 = 1 ; (;1) = 2:E a + 0i a + bi (b 6= 0):C 0 + bi (b 6= 0):' # , ax2 + bx + c = 0 , D = b2 ; 4ac < 0: < ) # . ) p , D D < 0.21 3.2. 1x2 + 2x + 2 = 0:qppp5 D = 4 ; 8 = ;4 D = ;4 = 4 (;1) = 2 ;1 = 2i x12 = ;2 2 2i = ;1 i: 3.2. G z = a + bi z = a ; bi (a b { ) .9) ! * .1 : 0 z { , z = z .2 ! z1 z2 z :2 : z1 + z2 = z1 + z23 : z1 z2 = z1 z2z ! z4 : z1 = z1 (z2 6= 0)225 : z n = zn:9 1 2 ) .2) 3 . ( z1 = a + bi z2 = c + di ( a b c d { ).
> z1 = a ; bi z 2 = c ; di z1 z2 = (a + bi)(c + di) = (ac ; bd) + i(ad + bc)z1z2 = (a ; bi)(c ; di) = (ac ; bd) ; i(ad + bc):' z1 z2 = z1 z2:2) 4 .z1 = a + bi = (a + bi)(c ; di) = (ac + bd) + (bc ; ad)i =z2 c + di (c + di)(c ; di) (c2 + d2) + (cd ; cd)i+ bd + bc ; ad i= acc2 + d2 c2 + d222z1 = a ; bi = (a ; bi)(c + di) = (ac + bd) + (ad ; bc)i =z2 c ; di (c ; di)(c + di)(c2 + d2)+ bd ; bc ; ad i:= acc2 + d2 c2 + d2' 4 .9 5 (n ; 1)- 3 :z 2 = z z = z 2 z 3 = z 2 z = z 2 z = z2 z = z 3 ::3 P (z ) P (z ) = A0 + A1z + A2z 2 + + Anz n z { ,A0 A1 An { <$$ , . !* <$$ .0 An 6= 0, P (z ) n ! Pn (z ).0 An = 0, An 1 = 0 Am+1 = 0, Am 6= 0, P (z ) = Pm (z ) { m. ( m = 0 P (z ) = P0 (z ) = A0(6= 0) { (, ).0 P (z ) 0, , .
# ! ( !), ! n ) ;Pn(z ) = (z ; z1)(z ; z2) (z ; zn)An z1 z2 zn { .& .23, Pn(zi ) = 0 (i = 1 2 n):G z1 z2 zn .0 , .0 , !O * ) , Pn(z ) = (z ; z1)k (z ; zm)km An1 z1 zm .( k1 km ,, z1 zm.( Pn(z ) n #, n, ) , , ) , ! n n , , ,k1 + + km = n:& ) n = 0, , ( 0 )., P0 (z ) = A0 6= 0.2 ) ) . 3.3. 1P2(z ) = z 2 + 2z + 2:> < z1 = ;1 + i z2 = ;1 ; i (: 3:2) z 2 + 2z + 2 = (z ; z1)(z ; z2) = (z + 1 ; i)(z + 1 + i): % <$$ ! , * * .24 3.1.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
