Программа_Модуль_1 (853352)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ТЕОРИИ 1.Дайте определение двойного интеграла и сформулируйте теорему о его существовании. Геометрический и физический смысл двойного интеграла от положительной функции. Определение двойного интеграла: это обобщение понятия определённого интеграла для функции двух переменных, заданной как , , Теорема существования двойного интеграла: Если подынтегральная функция , непрерывна на области D, то она интегрируема по этой области. Необходимое: Если , интегрируема в D, то она ограничена в этой области Достаточное: Если выполняются условия: 1) область D – квадрируемая 2) , ограничена в области D и непрерывна всюду , то , интегрируема в области D. Геометрический смысл двойного интеграла. С геометрической точки зрения {при , ≥0} интегральная сумма представляет собой сумму объемов цилиндров с основаниями s( ) и высотами ( ). Если , ⩾0, то ( )⋅ s( ) ‐ объём прямого цилиндра с основанием высоты ( ). вся интегральная сумма ∑( )⋅ s( ) ‐сумма объёмов таких цилиндров. Физический смысл двойного интеграла Двойной интеграл от функции , численно равен массе плоской пластины, если подынтегральная функция , считать плотностью этой пластины в точке ; , т.е. 2. Сформулируйте свойства двойного интеграла: линейности, аддитивности и интеграла от константы. Сформулируйте и докажите теоремы об интегрировании неравенств, об оценке и о среднем для двойного интеграла. Свойства двойного интеграла Линейности: Если функции , , , интегрируемы по области D, то их линейная комбинация , , тоже интегрируема по области D , и , , , , Аддитивности: Если область D является объединением двух областей и , не имеющих общих внутренних точек, то , , , Интеграла от константы: Двойной интеграл от константы по области D равен произведению этой константы на площадь области D: .

Если C=const, S(D)‐ площадь области D Интегрировании неравенств: Если для всех точек , ∈ верно неравенство , , то , , Док‐во: В любой точке выполняется неравенство f(M)⩽g(M), поэтому Теоремы об оценке интеграла: Если функция , интегрируема по области D и для ∀ , ∈D выполняется , , то Док‐во: , => , => ∬ Теорема о среднем: Если функция , непрерывна на области D, то существует точка , ∈ , такая что Док‐во: Непрерывная на ограниченной замкнутой области D функция , принимает в некоторых точках этой области своё минимальное m и максимальное M значения. , то или 1 Непрерывная функция принимает, кроме того, любое значение, заключённое между m и M в частности, значение ∬ Следовательно, ∃ , ∈ | ∬ 3.Дайте определение и приведите примеры двумерной области, правильной в направлении оси (оси ). Сформулируйте теорему о сведении к повторному интегралу двойного интеграла по правильной области. Нахождение двойного интеграла по неправильной области. Область ⊂ ‐ правильной в направлении оси : если всякая прямая, параллельная оси пересекает границу области не более, чем в двух точках (за исключением участков границы, параллельных ). Теорему о сведении к повторному интегралу двойного интеграла по правильной области: двойной интеграл от функции z = f (x, y) по области D можно вычислить при помощи двукратного (повторного) интеграла: , , Если область D – правильная в направлении оси Oх , , Нахождение двойного интеграла по неправильной области: Если область D – неправильная в обоих направлениях, то ее можно разбить на правильные части и воспользоваться свойством аддитивности двойного интеграла: , ∪ , , 4.

Сформулируйте общую теорему о замене переменных в двойном интеграле. Дайте определение полярных координат, укажите связь между декартовыми и полярными координатами. Напишите формулу вычисления двойного интеграла в полярной системе координат. Теорема о замене переменных в двойном интеграле: Пусть на плоскости задана область G, и пусть отображение преобразует эту область в область D на . Пусть:1. F взаимно однозначно отображает G на D.2. функции , , , непрерывно дифференцируемы на G3. , ,,Есть: , , , , .

| , | Определение полярных координат: Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Связь между декартовыми и полярными координатами , Формулу вычисления двойного интеграла в полярной системе координат. , cos sin sin cos , , cos , sin ,5.Напишите формулы для вычисления с помощью двойного интеграла: (а) площади плоской фигуры, (б) объема цилиндрического тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями ; и ; соответственно, и (в) площади поверхности. Для вычисления с помощью двойного интеграла Площади плоской фигуры Двойной интеграл ∬ численно равен площади плоской фигуры (области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице: , 1 Объема цилиндрического тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями ; и ; Если ; 0 в области интегрировании R, то объем цилиндрического тела с основанием R, ограниченного сверху поверхностью ; : , Если в области R выполняется неравенство ; ; , то объем цилиндрического тела между поверхностями ими с основанием R: , , Площади поверхности Предположим, что поверхность задана функцией определения R: 1 ; , имеющей область Площадь и объем в полярных координатах Пусть S является областью, ограниченной линиями Площадь этой области определяется формулой: , Объем тела, ограниченного сверху поверхностью , с основанием S, выражается в полярных координатах в вид , , ℎ , 6.

Напишите формулы для вычисления с помощью двойного интеграла: (а) массы неоднородной плоской пластины, (б) координат её центра масс и (в) её моментов инерции. Массы неоднородной плоской пластины Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R в плоскости . Пусть плотность пластины в точке , вобласти равна , , Координат её центра масс Область R в плоскости с плотностью, распределенной по закону , 1 , 1 , и С , Моменты инерции пластины Момент инерции пластины относительно оси ; Момент инерции пластины относительно оси ; Полярный момент инерции пластины (относительно O) ; 7. Дайте определение тройного интеграла и сформулируйте теорему о его существовании. Физический смысл тройного интеграла. Тройные интегралы – это аналог двойного интеграла для функции трёх переменных, заданной как ; ; Тогда тройной интеграл от функции ; ; в произвольной области : , , Теорема о его существовании: Необходимое условие – Если функция ; ; интегрируема в области , то она ограничена в этой области. Достаточное условие – Если выполняются условия: 1) Область V – кубируемая 2) ; ; ограничена в области V 3) ; ; непрерывна в области V всюду , то ; ; интегрируема в области V Физический смысл тройного интеграла. Из задачи о массе тела и определения тройного интеграла следует, что если ; ; 0 и непрерывна на , то есть тройной интеграл от неотрицательной непрерывной функции ; ; выражает массу тела (), плотность которого в каждой его точке равна ; ; , , 8.

Сформулируйте свойства тройного интеграла: линейности, аддитивности, значения интеграла от константы. Сформулируйте и докажите теоремы об интегрировании неравенств, об оценке и о среднем для тройного интеграла. Свойства тройного интеграла Линейности: если , , и , , интегрируемы по области , то их линейная комбинация , , , , тоже интегрируема по , , , , , , , , Аддитивности: если область ‐ является объединением двух областей и , не имеющих общих внутренних точек, то , , , , , , Значения интеграла от константы: если С‐const, то , , , , Теоремы об интегрировании неравенств: Если в любой точке , , выполняется неравенство , , , , и , , , , , интегрируема по области , то , , Док‐во: ∑ =∭ , , → , , ∭ , , Для , , и , , , в любо точке , , , → , , → , , , , или , , , , Теоремы об оценке:Если функция , , интегрируема по области и для ∀ , , выполняется , то Док‐во: , , , , => , , , , Теоремы о среднем: Если функция непрерывна на области .то существует точка , такая что ∭ = Док‐во: Непрерывная на ограниченной области V функция , , принимает в некоторых точках этой области своё минимальное m и максимальное M значения. , , то или , , 1 , , Непрерывная функция принимает, кроме того, любое значение, заключённое между m и M в частности, значение∭ , , Следовательно, ∃ , , ∈ | ∭ , , 9.

Дайте определение и приведите примеры трехмерной области, правильной в направлении оси OZ. Сформулируйте теорему о сведении тройного интеграла к повторному в декартовых координатах. Определение правильной трёхмерной области : Область трёхмерного пространства, ограниченная замкнутой поверхностью , называется правильной, если она удовлетворяется: 1) Всякая прямая, параллельная оси , проведённая через точку области , пересекает поверхность σ не более чем в двух точках 2) Вся область проектируется на плоскость в правильную двумерную область 3) всякая часть области отсечённая плоскостью, параллельной любой из координатных плоскостей ( xOy , xOz , yOz ) обладает свойствами 1 и 2 (внутри области V нет дырок) Формулы сведения тройного интеграла к повторному: , , , , , , Если область , является областью типа I, ограничена линиями: , , , , , , , , , , ,Если область , является областью типа II, ограничена линиями: , , , , , , , 10. Сформулировать общую теорему о замене переменных в тройном интеграле. Дать определения цилиндрических и сферических координат. Указать связь между декартовыми и сферическими координатами. Вывести формулы для вычисления тройного интеграла (а) в цилиндрической и (б) сферической системах координат Общая теорема о замене переменных в тройном интеграле Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U , , Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w , , , , , , , , Выполнены следующие условия: 1) Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными 2) Существует взаимно-однозначное соответствие между точками областиинтегрирования U в пространстве и точками области U′ в пространстве 3) Якобиан преобразования , , : , , , , , , отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U Тогда формула замены переменных в тройном интеграле: , , , , , , , , , , | , , | Определения цилиндрических и сферических координат Цилиндрическая система координат ‐ трёхмерная система координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z), которая задаёт высоту точки над плоскостью. , , (ρ≥0,0≤φ≤2π,−∞<z<+∞) Сферические координаты‐ положение точки М в сферической системе координат задается тройкой чисел r, φ и θ, где r – расстояние от начала координат до точки M ; φ – угол, образованный проекцией радиус‐вектора на плоскость Оху с положительным направлением оси Ох; θ – угол между положительным направлением оси и радиус‐вектором точки М , , 02, 0, 0∞ Формулы для вычисления тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат Цилиндрическая система координат , , 00(ρ≥0,0≤φ≤2π,−∞<z<+∞)00 ,||1 , , , , , , , ,Сферическая система координат , , 0 2, 0 , 0 ∞ 0, ,|| sin sin , , , , , , 11.

Напишите формулы для вычисления (а) массы неоднородного тела; (б) координат его центра масс и (в) моментов инерции этого тел. Массы неоднородного тела Пусть тело занимает объем и его объемная плотность в точке , , задана функцией , , . Тогда масса тела m вычисляется с помощью тройного интеграла: , , Статические моменты тела относительно координатных плоскостей , , выражаются формулами ∭ , , ∭ , , , , Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам ∭ , , ∭ , , ∭ , , ∭ , , ∭ , , ∭ , , Моменты инерции тела Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей , , определяются выражениями , , , , , , а моменты инерции тела относительно координатных осей вычисляются по формулам , , , , , , Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл , , .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)