maall (848881)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 1.Введение в курс. Элементы логики. Высказывания и предикаты,операции над ними. Кванторы. Построение отрицания сложноговысказывания.

Теорема как импликация. Прямая, обратная и противоположная теоремы, связь между ними. Доказательство от противного. Метод математической индукции. Бином Ньютона. Неравенство Бернулли.ОЛ-1 гл. 1.При изучении курса математики мы будем иметь дело с различными высказываниями.Высказыванием называют предложение, относительно которого имеет смысл говорить,истинно оно или ложно.Пример. Пусть имеются предложения:A = {дважды два — четыре},B = {семью семь — сорок семь},С = {всяк кулик своё болото хвалит}.Очевидно, A и B — высказывания.

Относительно предложения C этого сказать нельзя,во всяком случае до уточнения его смысла.Над высказываниями можно производить различные операции. Пусть A — высказывание. Отрицая то, что утверждается в A, мы получим новое высказывание. Отрицание ¬Aвысказывания A истинно, если A ложно и ложно, если A истинно. Из двух высказыванийA и ¬A одно всегда истинно, а другое ложно. Для высказывания A из рассмотренноговыше примера имеем¬A = {дважды два — не четыре}.Имея два высказывания A и B мы можем рассмотреть их конъюнкцию A &B, т.е.

высказывание, которое истинно, если истинны оба высказывания A и B и ложно во всехостальных случаях. Для фактического получения конъюнкции соответствующие предложения соединяют союзом « и ». Например, для высказываний A и B из рассмотренноговыше примера имеемA &B = {дважды два — четыре, и семью семь — сорок семь}.Очевидно, в данном случае A &B — ложное высказывание.1Дизъюнкцией A∨B высказываний A и B называют высказывание, которое ложно, еслиложны оба высказывания A и B и истинно во всех остальных случаях.

Для получениявысказывания A ∨ B те предложения, с помощью которых выражены A и B, соединяютсоюзом « или ». Например, для высказываний A и B из нашего примера получаем:A ∨ B = {дважды два — четыре, или семью семь — сорок семь}.Это — истинное высказывание.Рассмотрим ещё импликацию A ⇒ B, которая считается ложным высказыванием,если A истинно, а B ложно и истинным во всех остальных случаях. При построенииимпликации используют двойной союз « если .

. . то ». Например,A ⇒ B = {если дважды два — четыре, то семью семь — сорок семь}.Это — ложное высказывание. Зато высказываниеB ⇒ A = {если семью семь — сорок семь, то дважды два — четыре}истинно.Для дальнейшего нам потребуется понятие множества. В математике рассматриваютсамые разные множества: множества чисел, точек, геометрических фигур, букв и т.д.Всякое множество X состоит из элементов; запись x ∈ X означает, что x есть элементмножества X.

Отрицание последнего высказывания записывают так: x ∈/ X.Рассмотрим следующие предложения:B = {x2 = 4}.A = {x = 2},Эти предложения высказываниями не являются. Однако, если вместо x подставлять конкретные числа (т.е. элементы множества R действительных чисел), то мы будем каждыйраз получать высказывания.

Такие предложения, зависящие от элементов x некоторогомножества X и превращающиеся в высказывания при подстановке вместо x конкретныхэлементов этого множества, называются неопределёнными высказываниями (по-учёному— «предикатами»).С помощью квантора общности ∀ из неопределённого высказывания A(x) можно построить высказывание∀xA(x),(1)которое считается истинным, если A(x) истинно при всех x (из множества X) и ложнымв противном случае (т.е. если A(x) ложно хотя бы при одном x ∈ X). Квантор ∀ частоиспользуют для замены слов «для любого», «для всех», «любой» и т.п.Если в множестве X существует хотя бы один элемент x, для которого высказываниеA(x) истинно, то истинным считается и высказывание, полученное с помощью кванторасуществования ∃:∃xA(x).(2)Это высказывание считается ложным лишь в случае, когда A(x) ложно при всех x ∈ X.Квантор существования часто используют для замены слов «существует», «найдётся» ит.п.Отрицание высказывания (1) очевидно, заключается в том, что A(x) ложно хотя быпри одном x ∈ X.

Записать это можно так:∃x¬A(x).Мы видим, что при построении отрицания высказывания (1) можно действовать формально: надо заменить квантор общности квантором существования, а высказывание A(x)2— его отрицанием. Аналогичным формальным приёмом можно построить и отрицаниевысказывания (2):∀x¬A(x).В математике рассматривают различные теоремы. Часто теорема имеет вид∀x (A(x) ⇒ B(x)),(3)где x есть элемент некоторого множества X. Мы будем говорить, что теорема (3) справедлива, если для любого элемента x ∈ X, для которого истинно высказывание A(x) ,истинно также и высказывание B(x).

В записи (3) неопределённое высказывание A(x)называют условием теоремы, B(x) — её заключением.Пример. Пусть, как и выше, A(x) = {x = 2}, B(x) = {x2 = 4} ; в качестве X возьмёммножество R действительных чисел. При таких A(x), B(x) и X теорема (3) справедлива.На «обычном» языке эта «теорема» звучит так: если действительное число равно двум,то его квадрат равен четырём.В дальнейшем теорему вида (3) будем записывать короче:A ⇒ B.(4)В такой записи оба высказывания A и B называются условиями. При этом (в случае,если теорема справедлива) A называется достаточным условием B, а B — необходимымусловием A.Пример.

Теорему из предыдущего примера можно сформулировать так: для того,чтобы квадрат действительного числа равнялся четырём, достаточно, чтобы это числоравнялось двум. Но можно и по-другому: для того, чтобы число равнялось двум, необходимо, чтобы его квадрат равнялся четырём. Если в этих формулировках слова ”достаточно” и ”необходимо” поменять местами, то мы получим неверные утверждения.Обратной теоремой для (4) называется теоремаB ⇒ A.(5)Если теорема (4) справедлива, то отсюда не следует, вообще говоря, что справедливаобратная теорема (5). Для теоремы из рассмотренного выше примера обратная теоремавыглядит так: если квадрат действительного числа равен четырём, то это число равнодвум. Ясно, что эта последняя теорема неверна.В случае, когда справедливы обе теоремы (4) и (5), их обычно объединяют в однутеорему видаA ⇔ B,(6)где символ ⇔ означает эквивалентность соответствующих высказываний. При этомтакже говорят, чтоA необходимо и достаточно для B;A тогда и только тогда, когда B;A если и только если B;A в том и только в том случае, когда B;A равносильно B.Условие B называют в этом случае необходимым и достаточным условием A (и наоборот).

Доказательство теоремы (6) должно состоять из доказательства необходимости,т.е. доказательства теоремы A ⇒ B и доказательства достаточности, т.е. доказательстватеоремы B ⇒ A.Иногда рассматривают ещё теорему ¬A ⇒ ¬B, которая называется противоположнойтеореме (4). Нетрудно проверить, что в противоположной теореме утверждается то же3самое, что и в обратной теореме B ⇒ A. В самом деле, пусть обратная теорема B ⇒ Aсправедлива, и пусть ¬A истинно. Тогда A ложно, и из справедливости обратной теоремыследует, что B ложно, т.е.

¬B истинно, и теорема ¬A ⇒ ¬B справедлива. Обратно, пустьтеорема ¬A ⇒ ¬B справедлива, и пусть B истинно. Тогда ¬B ложно, а поэтому ложно и¬A. Следовательно, A истинно, и теорема B ⇒ A справедлива. Аналогично можно проверить, что теорема, обратная противоположной (или, что то же самое, противоположнаяобратной), т.е. теорема ¬B ⇒ ¬A, эквивалентна исходной теореме A ⇒ B.При доказательстве теорем часто применяют метод «от противного».

Чтобы доказать теорему A ⇒ B предполагают, что B неверно, т.е. справедливо ¬B, и приводятэто предположение к противоречию. Преимущество здесь достигается за счёт использования в рассуждениях дополнительного утверждения ¬B (надо было бы сказать «дополнительного истинного высказывания ¬B», но мы не будем слишком скрупулёзно следоватьтребованиям языка математической логики, поскольку это ведёт к тяжеловесным формулировкам).∗ Пример (здесь и далее звёздочками выделен необязательный материал).

Докажемметодом от противного, что не существует рационального числа, квадрат которого равендвум. Предположим противное: пусть такое рациональное число p/q существует; приэтом мы можем считать эту дробь несократимой. Если p2 /q 2 = 2, то p2 = 2q 2 , и число pдолжно быть чётным, т.е. p = 2r. Тогда 4r2 = 2q 2 , 2r2 = q 2 , и q — также чётное число.Таким образом, p и q — чётные числа, что противоречит несократимости дроби p/q, инаше утверждение доказано.

∗Если в теореме утверждается, что некоторое высказывание A(n) истинно при всехнатуральных значениях n, т.е. при n = 1, 2, 3, . . . , то для доказательства можно применить метод математической индукции. Он состоит в следующем. Сначала проверяетсяистинность A(1). Затем, исходя из предположения об истинности A(n), доказывается,что истинным является и высказывание A(n + 1). Если перечисленные действия удаётсяосуществить, то теорема считается доказанной.Пример. C помощью индукции можно доказать неравенство Бернулли: при любомx > −1 и при любом натуральном n(1 + x)n > 1 + nx.∗ Пусть n = 1; в этом случае имеем неравенство 1 + x > 1 + x, которое, очевидно,справедливо.

Пусть доказываемое неравенство справедливо при некотором натуральномn. Умножим обе его части на неотрицательное по условию число 1 + x; имеем(1 + x)n+1 > (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx2 > 1 + (n + 1)x,т.е. (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x. По индукции неравенство доказано. ∗Обобщением известных школьных формул (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 и (a + b)3 == a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 является формула бинома Ньютона, т.е. равенство n Xn n−1n n−2 2n n−k kna b+a b + ... + b =a b ,(a + b) = a +12kk=0nn(7)n!— биномиальные коэффициенты. Они определены при неотрицательныхгде nk = (n−k)!k!целых n и при 0 6 k 6 n; при этом n! = 1 · 2 · . . . · n, 0! = 1. ∗ Основное свойствобиномиальных коэффициентов, используемое при доказательстве формулы (7), состоит втом, что n+1nn=+,kkk−14n > 1, 1 6 k 6 n.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций