maall (848881), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Это равенство проверяется непосредственно: nnn!n!n!(n + 1 − k)+=+=+kk−1(n − k)!k! (n − k + 1)!(k − 1)!(n + 1 − k)!k!(n + 1)!n+1n!k==.+(n + 1 − k)!k!(n + 1 − k)!k!kДокажем формулу бинома Ньютона по индукции. При n = 1 равенство (7), очевидно,справедливо. Пусть оно верно при некотором n. Умножим обе его части на a + b:n+1(a + b)= (a + b)n Xnkk=0=an+1+ab =n Xnk=0n Xnk=1n−k kkan+1−k kb +kan+1−k kk=0n−1 Xnk=0b +n Xnkkan−k bk+1 =an−k bk+1 + bn+1 .(8)В последней сумме новым индексом суммирования будем считать l = k + 1; тогдаn−1 Xnk=0kan−k k+1bn Xn=an+1−l bl .l−1l=1Подставляя это в (8) (и возвращаясь к прежнему обозначению индекса суммирования),получим:n Xnnn+1n+1(a + b)=a++an+1−k bk + bn+1 =kk−1k=1nn X n+1Xn + 1 n+1−k kn+1n+1−k kn+1=a+ab +b=ab .kkk=1k=0По индукции формула (7) доказана.
∗5кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 2.Множества, операции над ними, их свойства. Множество действительных чисел, его полнота. Промежутки. Окрестности конечнойточки и бесконечности. Принцип вложенных отрезков. Ограниченные и неограниченные множества.
Точная верхняя и нижняя гранимножества.ОЛ-1 гл. 1.Предварительно обратимся вновь к общей теории множеств, а именно рассмотрим способы задания множеств. Если множество A конечно, и число элементов в нём не слишкомвелико, то A можно задать, перечислив его элементы:A = {a, b, . . . , c}.В случае бесконечного множества или множества, содержащего слишком много элементов,такой способ не годится, и множество задают, указывая характеристическое свойство егоэлементов (т.е. свойство, присущее тем и только тем элементам, из которых состоит данное множество). Например, если множество X состоит из всех элементов x, для которыхвыполняется свойство P (x), то пишутX = {x | P (x)}Пустое множество ∅, которое не содержит элементов, пользуясь этим способом, можнозадать так:∅ = {x |(x ∈ X)&(x 6= x)} = {x|x ∈ X, x 6= x},где X — какое-либо множество (любое).Говорят, что множество A есть подмножество множества B, если для любого x ∈ Aвыполняется также включение x ∈ B.
В этом случае пишут A ⊂ B. Если A ⊂ B иB ⊂ A, то множества A и B равны: A = B. Рассмотрим стандартные операции надмножествами. Объединением A ∪ B множеств A и B называется множество, состоящееиз всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B.
Аналогичноопределяется объединение любого (конечного или бесконечного) числа множеств: если Ai— произвольныеS множества, занумерованные с помощью множества индексов I, то ихобъединениеAi есть совокупность элементов, каждый из которых принадлежит хотяi∈Iбы одному из множеств Ai .1Назовём пересечением A ∩ B множеств A и B множество, состоящее из всех элементов,принадлежащихT как A, так и B.
Пересечением любого числа множеств Ai называетсясовокупностьAi элементов, принадлежащих каждому из множеств Ai (как и выше, Ii∈Iесть некоторое множество индексов, с помощью которого занумерованы множества Ai ).Операции объединения и пересечения множеств, очевидно, коммутативны и ассоциативны,т.е.A ∪ B = B ∪ A, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),A ∩ B = B ∩ A,(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).Кроме того, эти операции взаимно дистрибутивны:(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).Докажем, например, последнее из этих равенств.
В соответствии с определением равенства множеств, надо доказать два включения(A ∩ B) ∪ C ⊂ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)(9)(A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ C.(10)иПусть x ∈ (A ∩ B) ∪ C. Тогда x ∈ A ∩ B или x ∈ C. Если x ∈ A ∩ B, то x ∈ A и x ∈ B,следовательно, x ∈ A ∪ C и x ∈ B ∪ C, т.е. x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Если же x ∈ C, то, каки выше, x ∈ A ∪ C и x ∈ B ∪ C, и x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Таким образом, включение (9)доказано.Пусть теперь x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Тогда x ∈ A ∪ C и x ∈ B ∪ C. Если x ∈ C, тоx ∈ (A ∩ B) ∪ C. Если же x ∈/ C, то x ∈ A и x ∈ B, т.е. x ∈ A ∩ B, и x ∈ (A ∩ B) ∪ C.
Мывидим, что включение (10) также справедливо. Из (9) и (10) следует требуемое равенство.Рассмотрим ещё разность множеств A \ B. Так называется множество, состоящие извсех элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B. Часто приходится рассматривать множества, являющиеся подмножествами некоторого основного множества M . Вэтом случае (т.е. если A ⊂ M ) разность M \ A называют дополнением множества A домножества M и обозначают Ā.Перейдём теперь к множеству действительных чисел R.
Перечислим основные свойства элементов этого множества. Действительные числа можно складывать, получая вкачестве суммы вновь действительные числа. При этом для любых действительных чисел a, b, c выполняются равенства:1) a + b = b + a — сложение коммутативно;2) (a + b) + c = a + (b + c) — сложение ассоциативно;3) существует 0, т.е. такое число, что a + 0 = a для любого a;4) у каждого числа a есть противоположное число −a такое, что a + (−a) = 0.Действительные числа можно перемножать, получая в результате вновь действительные числа. При этом5) ab = ba — умножение коммутативно;6) (ab)c = a(bc) — умножение ассоциативно;7) существует единица 1 6= 0, т.е. такое число, что для любого aвыполняется равенство a · 1 = a;8) для любого a 6= 0 существует обратное число a−1 , для которого a · a−1 = 1.Умножение дистрибутивно по отношению к сложению:9) (a + b)c = ac + bc.Множество действительных чисел упорядочено.
Это значит, что для любых действительных чисел a и b выполняется одно (и только одно) из соотношений:2a < b,b < a,a = b.При этом10) если a < b и b < c, то a < c — отношение порядка транзитивно;11) если a < b, то a + c < b + c;12) если a < b, и c > 0, то ac < bc.Следующее (и последнее) свойство характеризует полноту множества R действительных чисел.13) Для любых непустых множеств A ⊂ R и B ⊂ R таких,что для каждой пары чиселa ∈ A и b ∈ B выполняется неравенство a 6 b, существует число c, которое не меньшелюбого числа из A и не больше любого числа из B.В формулировке этого свойства запись a 6 b означает, что либо a < b, либо a = b, т.е.(a 6 b) ⇔ ((a < b) ∨ (a = b)).Перечисленные свойства полностью определяют множество действительных чисел втом смысле, что из этих свойств следуют и все остальные его свойства.Напомним, что осью называют прямую, на которой зафиксировано одно из двух возможных направлений.
Рассмотрим некоторую ось l. Будем считать, что она расположенагоризонтально, а направление на ней выбрано слева направо. Как известно, между множеством R действительных чисел и множеством точек оси l можно установить взаимнооднозначное соответствие (это означает, что разным числам соответствуют разные точкиоси, и каждой точке соответствует хотя бы одно (а на деле в точности одно) действительное число).
Для установления такого соответствия надо выбрать на оси l начало отсчётат.е. точку, которой соответствует число 0 и справа от неё — точку 1 (точнее, точку, которой соответствует число 1). В результате на оси появится единичный отрезок, с помощьюкоторого можно измерять расстояния между её точками. Затем каждому числу x ∈ Rпоставим в соответствие точку на расстоянии |x| от начала отсчёта слева или справа взависимости от знака x. Подробности не рассматриваем, т.к. они хорошо известны; напомним лишь определение понятия абсолютной величины (модуля) действительного числа:x, если x > 0,|x| =−x, если x < 0.Мы будем использовать геометрический язык, связанный с установленным соответствием:ось l будем называть числовой осью или числовой прямой, действительные числа будемотождествлять с точками этой прямой.
Рассмотрим наиболее часто используемые в анализе подмножества R. Интервал (a, b) числовой прямой задаётся так:(a, b) = {x | x ∈ R, a < x < b}.Для удобства некоторых формулировок к множеству R добавляют два элемента +∞ (плюсбесконечность) и −∞ (минус бесконечность). При этом считается, что −∞ < +∞ , идля любого x ∈ R выполняется двойное неравенство −∞ < x < +∞. Всё же символы−∞ и +∞ не являются действительными числами, и мы не будем производить над нимиарифметических операций. С помощью новых символов удобно записывать бесконечныеинтервалы.
Пусть снова a и b — действительные числа. Бесконечные интервалы определяются так:(−∞, b) = {x | x ∈ R, x < b},(a, +∞) = {x | x ∈ R, x > a}.3Аналогично определяются полуинтервалы (конечные и бесконечные):(a, b ] = {x | x ∈ R, a < x 6 b},[ a, b) = {x | x ∈ R, a 6 x < b},(−∞, b ] = {x | x ∈ R, x 6 b},[ a, +∞) = {x | x ∈ R, x > a},а также отрезки[ a, b ] = {x | x ∈ R, a 6 x 6 b}.Интервалы, полуинтервалы и отрезки называются промежутками числовой прямой.Заметим, что в определениях, подобных рассмотренным выше, часто не указываютвключение x ∈ R (если и так ясно, что x — действительное число). Например, отрезок можно определить так:[ a, b ] = {x | a 6 x 6 b}.Окрестностью U (x) точки x называют любой интервал, содержащий эту точку; εокрестностью точки x (при положительном ε) называют интервал (x − ε, x + ε).
Окрестностями точек −∞ и +∞ называют соответственно интервалы вида (−∞, a) и (a, +∞), гдеa — произвольное действительное число. Иногда рассматривают бесконечность ∞ «беззнака». Окрестностью такой бесконечности называют объединение двух бесконечных интервалов (−∞, −a) ∪ (a, +∞), где a — произвольное действительное число.Опираясь на свойство полноты множества действительных чисел (свойство 13 в нашейнумерации), можно доказать лемму о вложенных отрезках.Лемма. Для любой последовательностиI1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · ·вложенных отрезков найдётся точка c ∈ R, принадлежащая всем этим отрезкам.∗ Доказательство.
Пусть Im = [ am , bm ] и In = [ an , bn ] — два различных отрезкарассматриваемой последовательности. Тогда am 6 bn . В самом деле, если это не так,т.е. если am > bn , то an 6 bn < am 6 bm , и отрезки Im и In не имеют общих точек, в товремя как по условию один из них (тот, у которого номер больше) должен содержаться вдругом. Мы видим, что для числовых множеств A = {an } и B = {bn }, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
