maall (848881), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда для положительn→∞ного числа 1 существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство|a − xn | < 1. Отсюда |xn | − |a| 6 |a − xn | < 1, т.е. |xn | < |a| + 1. Следовательно,|xn | 6 max(|x1 |, . . . , |xN |, |a| + 1), n = 1, 2, . . . , и последовательность {xn } ограничена.Теорема доказана.Рассмотрим арифметические операции над последовательностями.Пусть даныпоследовательности{xn } и {yn }.
Тогда можно составить последовательности{xn + yn }, {xn − yn }, {xn yn }, {xn /yn }, называемые соответственно суммой, разностью,2произведением и частным исходных последовательностей. В случае частного предполагается, что {yn } состоит из ненулевых чисел.Теорема (о сумме и разности сходящихся последовательностей).Пустьlim xn = a, lim yn = b. Тогда lim (xn ± yn ) = a ± b.n→∞n→∞n→∞Доказательство. Пусть задано ε > 0. Тогда для положительного числа ε/2 сущеεствует номер N1 такой, что при всех n > N1 выполняется неравенство |a − xn | < .2Аналогично существует номер N2 такой, что при n > N2 выполняется неравенствоε|b − yn | < . При n > max(N1 , N2 ) имеем2|(a ± b) − (xn ± yn )| = |(a − xn ) ± (b − yn )| 6 |a − xn | + |b − yn | <ε ε+ = ε.2 2Отсюда по определению предела последовательности получаем, что lim (xn ± yn ) = a ± b.n→∞Теорема доказана.Теорема (о пределе произведения сходящихся последовательностей).Пустьlim xn = a, lim yn = b.
Тогда lim xn yn = ab.n→∞n→∞n→∞Доказательство. Т.к. последовательность {xn } сходится, то эта последовательностьограничена. Следовательно, существует (неотрицательное) число c такое, что |xn | 6 cпри всех n = 1, 2, . . . . Пусть задано ε > 0.
Поскольку lim xn = a, то для положительn→∞εсуществует номер N1 такой, что при всех n > N1 выполняетсяного числа2(|b| + 1)εε. Для положительного числатакже найдетсянеравенство |a − xn | <2(|b| + 1)2(c + 1)εномер N2 такой, что при всех n > N2 справедливо неравенство |b − yn | <—2(c + 1)это следует из того, что lim yn = b. Отсюда при n > max(N1 , N2 ) получаемn→∞|ab − xn yn | = |ab − bxn + bxn − xn yn | 6 |b| · |a − xn | + |xn | · |b − yn | << |b| ·εεε ε+c·< + = ε,2(|b| + 1)2(c + 1)2 2т.е. |ab − xn yn | < ε, если n > max(N1 , N2 ).
По определению предела это означает, чтоlim xn yn = ab. Теорема доказана.n→∞(о пределе частного сходящихся последовательностей).Пустьlim yn = b, причем b 6= 0, а последовательность {yn } состоит изn→∞n→∞xnaненулевых чисел. Тогда lim= .n→∞ ynb11Доказательство. Если мы докажем, что lim= , то рассматриваемая теоремаn→∞ ynb|b|станет следствием предыдущей. Заметим сначала, что для положительного числа2|b|найдется номер N1 такой, что при всех n > N1 выполняется неравенство |b − yn | <2|b|— это следует из того, что lim yn = b.
Отсюда |b| − |yn | 6 |b − yn | <. Поэтомуn→∞2|b||b||b| − |yn | < , и |yn | > . Из последнего неравенства получаем, что22Теоремаlim xn = a,12<|yn ||b|3ε|b|22ε|b|2существует номер N2 такой, что при n > N2 справедливо неравенство |yn − b| <.2При n > max(N1 , N2 ) имеем тогда211 − = |yn − b| < 2 · ε|b| = ε, b yn |b| · |yn ||b|221111т.е. − < ε, если n > max(N1 , N2 ). Поэтому lim= , а отсюда, какn→∞b ynynbотмечалось выше, вытекает справедливость теоремы.
Теорема доказана.Последовательность {xn } называется фундаментальной, если для любого ε > 0существует номер N = N (ε) такой, что при любых m > N и n > N выполняетсянеравенство |xm − xn | < ε.Следующая теорема является основной в теории пределов.Теорема (Критерий Коши существования предела последовательности). Для того,чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она былафундаментальной.Поскольку в этой теореме идет речь об эквивалентности двух условий, то ее доказательство естественным образом распадается на две части: доказательство необходимостии доказательство достаточности.Доказательство необходимости. Требуется доказать, что если последовательностьсходится, то она фундаментальна.
Пусть {xn } — сходящаяся последовательность,εнайдется номерa = lim xn , и пусть задано ε > 0. Для положительного числаn→∞2N такой, что при m > N и n > N выполняютсяпри всехn > N1 .Пусть заданоε > 0.неравенства|a − xm | <Тогда для положительного числаεεи |a − xn | < .22Тогдаε ε+ = ε,2 2т.е. |xm − xn | < ε, если m > N и n > N. Мы видим, что последовательность {xn }фундаментальна. Необходимость доказана.∗ Доказательство достаточности. Здесь требуется доказать, что если {xn } —фундаментальная последовательность, то у этой последовательности существует предел.Докажем сначала, что {xn } ограничена.
Для положительного числа 1 существует номерN такой, что при m > N и n > N выполняется неравенство |xm − xn | < 1. Вчастности, при m = N отсюда следует, что при всех n > N справедливо неравенство|xN − xn | < 1. Следовательно, |xn | − |xN | 6 |xN − xn | < 1, и |xn | 6 |xN | + 1. Поэтому привсех n = 1, 2, . . . имеем|xm − xn | = |(xm − a) + (a − xn )| 6 |xm − a| + |a − xn | <|xn | 6 max(|x1 |, . . . , |xN |, |xN | + 1),и последовательность {xn } ограничена. Поэтому все элементы этой последовательности принадлежат некоторому отрезку [a1 , b1 ].
Разделим этот отрезок пополам и из двухa1 + b 1a1 + b 1образовавшихся отрезков a1 ,и, b1 выберем тот, который содержит22бесконечно много элементов рассматриваемой последовательности {xn }. Обозначим выb 1 − a1бранный отрезок [a2 , b2 ]. Очевидно, [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] и b2 − a2 =. Далее разделим24a2 + b 2a2 + b 2и, b2 выберем тот, который[a2 , b2 ] пополам и из двух отрезков a2 ,22содержит бесконечно много элементов последовательности {xn }.
Вновь выбранный отреb 2 − a2b 1 − a1зок обозначим [a3 , b3 ]. Очевидно, [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ [a3 , b3 ], и b3 −a3 ==.24Продолжая этот процесс выбора отрезков, получим последовательность вложенных отрезb 1 − a1ков [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ . . . ⊃ [an , bn ] ⊃ . . . , причем bn − an =. По лемме о2n−1вложенных отрезках имеется точка c, принадлежащая всем построенным отрезкам. Докажем, что lim xn = c. Пусть задано ε > 0. Для этого ε подберем номер N так, чтобыn→∞εпри всех m > N и n > N выполнялось неравенство |xm − xn | < . Далее, выберем2b 1 − a1b 1 − a1εчисло k так, чтобы было< ; это возможно, т.к.
lim= 0 (см. вышеk→∞ 2k−12k−12пример на вычисление предела lim q k при 0 < q < 1). Поскольку отрезок [ak , bk ] соk→∞держит (по построению) бесконечно много элементов последовательности {xn }, то средиэтих элементов найдется такой элемент xn0 , для которого n0 > N. Поэтому при n > Nεимеем |xn0 − xn | < .
Кроме того, т.к. c ∈ [ak , bk ], то2εεb 1 − a1|c − xn0 | 6 bk − ak = k−1 < , т.е. |c − xn0 | <222Поэтому при всех n > N имеемε ε|c − xn | = |c − xn0 + xn0 − xn | 6 |c − xn0 | + |xn0 − xn | < + = ε, т.е. |c − xn | < ε,2 2и последовательность {xn } имеет своим пределом число c.
Достаточность доказана. ∗Теорема доказана.Применяя общее определение монотонной функции к последовательности (а последовательность есть по определению (числовая) функция натурального аргумента), приходимк понятию монотонной последовательности. В качестве примера рассмотрим определениенеубывающей последовательности: последовательность {xn } называется неубывающей,если xn 6 xn+1 , n = 1, 2, . .
. .Теорема (о пределе монотонной последовательности). Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена.Доказательство. Необходимость. Требуется доказать, что если монотонная последовательность сходится, то она ограничена. Мы знаем однако, что это утверждение справедливо и без предположения о монотонности последовательности (см. выше теорему обограниченности сходящейся последовательности). Необходимость доказана.∗ Достаточность.
Требуется доказать, что если монотонная последовательность ограничена, то она имеет предел. Рассмотрим это утверждение для неубывающей последовательности {xn }. Ограниченность снизу здесь не имеет значения: всякая неубывающая последовательность ограничена снизу, например, числом x1 . Важна ограниченностьсверху. Поскольку непустое множество элементов последовательности ограничено сверху,то это множество имеет точную верхнюю грань M.
Пусть задано ε > 0. Для точнойверхней грани M выполнены, как известно, два условия:1) xn 6 M для n = 1, 2, . . . ;2) существует элемент xN последовательности {xn }, для которого xN > M − ε.Для элементов последовательности xn , у которых n > N неравенство xn > M − εбудет выполнено и подавно, т.к. данная последовательность не убывает, и xn > xN .Таким образом, при всех n > N имеем такое двойное неравенство:M − ε < xn 6 M.5Следовательно, M − ε < xn < M + ε, что равносильно неравенству |M − xn | < ε. Т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
