Атомы с более чем одной уникурсальной компонентой (847336)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИМ.В.ЛОМОНОСОВАМЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТКАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ПРИЛОЖЕНИЙДИПЛОМНАЯ РАБОТАСтудента 505 группы Крылова Дениса Юрьевича"АТОМЫ С БОЛЕЕ ЧЕМ ОДНОЙ УНИКУРСАЛЬНОЙКОМПОНЕНТОЙ"Научный руководитель – академик РАН А.Т.Фоменко.1Введение.Понятие атома было введено А.Т.Фоменко, [1] для изучения бифуркаций интегрируемых гамильтоновых систем. Атом описывает бифуркацию многообразия в окрестностикритического уровня с несколькими критическими точками на нем.Атомы важны и для изучения топологического типа особенностей функций Морсана двумерных многообразиях и бифуркаций таких функций.Как оказалось, понятие атома представляет интерес также для теории узлов и комбинаторики [2, 3].Остов любого атома может быть однозначно представлен в виде объединения некоторого числа уникурсальных компонент так, что все точки пересечения являются двойными и при этом ни одна из них не является точкой касания.
Кроме этого, оказывается,что ориентируемость атома зависит только от его остова.Поэтому интересной задачей является нахождение критерия ориентируемости атомов с k уникурсальными компонентами для всех k ∈ N, k > 2 (при k = 1 критерий ужеизвестен).В данной работе доказаны критерии ориентируемости атомов, остов которых представляет собой граф с двумя, тремя и четырьмя уникурсальными компонентами (Теоремы 7, 8 и 9). Доказательство использует на понятие четности для вершин атома,введенное В.О.Мантуровым в [4].Теоремы 1 – 4 и 6 принадлежат В.О.Мантурову, остальные – автору этой работы.2Основная часть.Рассмотрим гладкое компактное двумерное многообразие P .
Пусть Γ – вложенныйв P граф степени 4. Граф Γ задает клеточное разбиение поверхности P .Определение 1. Пара (P, Γ) называется атомом, если каждую связную компонентув P \Γ (двумерную клетку) можно раскрасить в один из двух цветов (будем считать,что в черный или в белый) так, чтобы к каждому ребру Γ подходили компоненты P \Γразных цветов.Определение 2. Граф Γ называется остовом атома (P, Γ).Мы будем рассматривать атомы с точностью до естественного изоморфизма:Определение 3. Два атома (P1 , Γ1 ) и (P2 , Γ2 ) называются изоморфными, если существует взаимно-однозначное отображение φ : P1 → P2 , переводящий остов в остов исогласованное с раскраской.Определение 4. Атом (P, Γ) называется ориентируемым, если поверхность P ориентируема, и неориентируемым в противном случае.Заметим, что остов атома (P, Γ) – четырехвалентный граф со структурой противоположных ребер в каждой вершине, заданной вложением остова в P .Несложно показать, что класс эквивалентности каждого атома может быть восстановлен по следующим комбинаторным данным:1.
Остов.2. A-структура (делящая четыре полуребра, инцидентные каждой вершине, на двепары, называемые противополождными. Отношение противополождности определяется в соответствии с расположением ребер на поверхности).3. B-структура (в каждой вершине выделены две пары соседних полуребер, которыеобразуют границы черных клеток).1Рассмотрим четырехвалентный граф Γ со структурой противоположных ребер вкаждой вершине, все ребра которого ориентированы некоторым образом.Определение 5. Данная ориентация ребер задает структуру источник-сток в вершине X графа Γ, если некоторые два противоположных ребра в данной вершине являются входящими, а два других — исходящими. В противном случае скажем, что дляданной ориентации нарушается условие источник-сток в вершине X.
Ориентация всехребер графа Γ задает структуру источник-сток (на графе Γ), если она задает структуруисточник-сток в каждой его вершине. Граф Γ удовлетворяет условию источник-сток,если некоторая ориентация всех его ребер задает структуру источник-сток.Заметим, что если на графе Γ можно ввести структуру источник-сток, то она полностью определяется выбором ориентации любого одного ребра графа Γ.Теорема 1.
Атом (P, Γ) ориентируем ⇔ на его остове Γ можно задать структуруисточник-сток.Доказательство. Граница каждой клетки в P — цикл на графе Γ. Будем считать, чтограницы черных клеток ориентированы против часовой стрелки, а границы белых —по часовой стрелке.
Тогда ориентации каждого ребра графа Γ, заданные ориентациями инцидентных ему клеток, совпадают, а в силу B-структуры в каждой вершинеграфа задана структура источник-сток. Следовательно, остов удовлетворяет условиюисточник-сток.Обратно, по структуре источник-сток можно задать разбиение клеток P на черные(граница которых ориентирована структурой источник-сток против часовой стрелки) ибелые (граница ориентирована по часовой стрелке).Заметим, что по остову с n вершинами можно построить 2n атомов (возможно, некоторые из них окажутся изоморфными), выбирая в каждой пары соседних полуребер,образующие границы черных клеток. Непосредственно из Теоремы 1 следует, что всеполученные атомы одновременно ориентируемы или одновременно неориентируемы.Определение 6.
Уникурсальным графом назовем граф Γ, представляющий собойобраз иммерсии окружности S в трехмерное пространство, все особенности которогоисчерпываются конечным числом двойных точек самопересечения, ни одна из которыхне является точкой касания.Определение 7. Пусть Γ — уникурсальный граф с n вершинами. Рассмотрим произвольную вершину X в Γ. Зафиксируем произвольную ориентацию l на S. Ей соответствует ориентация γ на Γ. Хордовой диаграммой для атома (P, Γ) называется трехвалентный граф с 2n вершинами a1 , ..., a2n , у которого выделен цикл, проходящий черезвсе вершины по одному разу. Этот цикл также называется окружностью хордовой диаграммы.
Ребра, не принадлежащие выделенному циклу, называются хордами хордовойдиаграммы. При этом вершины ai и aj (i 6= j) хордовой диаграммы для (P, Γ) соединены хордой тогда и только тогда, когда найдется вершина Y в Γ, для которой пути XYв ориентированном графе (Γ, γ) содержат i − 1 и j − 1 ребро.Заметим, что хордовые диаграммы, различающиеся выбором вершины X в Γ и ориентации l на S, изоморфны (как графы).Хорду на хордовой диаграмме, соответствующую вершине X, будем обозначать hX .Определение 8.
Хорду h хордовой диаграммы H назовем четной, если количествохорд в H, с которыми h пересекается, четно, и нечетной в противном случае.Для произвольной вершины X остова атома (P, Γ) обозначим через a, b, c и d инцидентные ей полуребра (так, что ребро a противоположно ребру c, ребро b противоположно ребру d). В Γ существует цикл, содержащий наряду с X и a ровно одно из2полуребер b или d и в каждой своей вершине, кроме X, проходящий через пару противоположных ребер. Также есть цикл с теми же свойствами, содержащий X и c. Назовемэти циклы полуокружностями для вершины X.Теорема 2.
Атом (P, Γ) с одной уникурсальной компонентой ориентируем ⇔ нахордовой диаграмме для (P, Γ) нет нечетных хорд.Доказательство. Полуокружностям для вершины X остова Γ соответствуют дугиокружности хордовой диаграммы, на которые ее делят концы хорды hX . Хордам, пересекающим hX , соотвествуют вершины в Γ, для которых пары противоположных полуребер принадлежат разным полуокружностям для X.Ориентируем каждую дугу хордовой диаграммы между соседними концами хорд таким образом, чтобы ориентации соседних дуг были противоположны.
Этой ориентациисоответствует ориентация ребер графа Γ. Отсутствие нечетных хорд эквивалентно тому, что дуги, инцидентные вершинам любой хорды, ориентированы как на рис 1. Такаяориентация задает структуру источник-сток в каждой вершине Γ.Вершину, отвечающую четной хорде, в дальнейшем тоже будем называть четной.Теорема 3. Атом (P, Γ) ориентируем ⇔ любой цикл на Γ ориентируем.Доказательство. Необходимость условия теоремы очевидна.Докажем достаточность. Предположим, что на поверхности нашелся путь l, переносрепера вдоль которого меняет ориентацию репера. Выберем произвольную ориентациюγ на l. Для каждой клетки D, такой что D ∩ l 6= ∅, рассмотрим часть m пути l междусоседними (в смысле γ) точками пересечения с ∂ D̄.Обозначим любую из двух дуг, на которые делят S 1 = ∂ D̄ точки пересечения c m,через m0 .
Рассмотрим цикл l0 , совпадающий с l вне D̄ и с m0 на D̄.Перенос репера вдоль любого пути в D̄ не меняет ориентацию, поэтому переносвдоль l0 , как и вдоль l, меняет.Проделав аналогичные преобразования для каждой части l между соседними точками пересечения l с Γ, мы получим часть Γ0 остова Γ (Γ0 не обязательно являетсяграфом). После удаления фрагментов Γ0 , проходимых дважды (перенос вдоль них неизменяет ориентацию) получится цикл Γ00 в Γ. Но по условию любой цикл в Γ ориентируем.Под циклом на графе Γ в дальнейшем будем понимать цикл на Γ над Z2 (такойнабор ребер l, что каждой вершине графа Γ инцидентно 0, 2 или 4 ребра из l).
Сложениециклов — булево над Z2 .Теорема 4. Цикл на атоме ориентируем ⇔ при обходе этого цикла количествовершин, в которых он проходит через противоположные полуребра, четно.Доказательство. Рассмотрим в произвольной точке цикла репер (e1 , e2 ) в (P, Γ), т.ч.e1 касается окружности, а e2 направлен внутрь черной области.Перенесем репер вдоль цикла.
В силу правила приклейки белых и черных клеток ввершинах (B−структуры) ориентация репера при проходе в любой вершине через парупротивоположных полуребер изменяется, при повороте в вершине – нет.Рассмотрим теперь атомы, остов которых представляет собой граф Γ с двумя уникурсальными компонентами S1 и S2 (точки пересечения разных компонент также являются двойными; ни одна из них не является точкой касания).3Вершины графа Γ, для которых все четыре полуребра, инцидентные им, принадлежат S1 , будем называть вершинами компоненты S1 , аналогично определим вершиныкомпоненты S2 . Остальные вершины назовем смешанными.Для каждой пары различных смешанных вершин u и v можно рассмотреть путь l1в S1 и путь l2 в S2 , соединяющие u и v и в каждой внутренней вершине проходящиечерез противоположные ребра графа Γ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
