1629382528-e201d89ff59dd31db5be21dffcf9458a (846429), страница 114
Текст из файла (страница 114)
!!игл!:Нпс нмш ! мг! !н и рзчнпзг!разомни, !(и! ! сорин аул!он гузюг !зппнш зпзчшшс пмсс ! !гарни стационарных случайных процессов, иакным вкладом и когорую являются работы А. Н. Колмогоровз и А. У!. Хинчииа. Важные вопросы теории флуктуационных шумов были изучены М. А. Леонтовичсм, й..г!. ! раковским, В. И. Бупимовичем и др. Рассмотрим некоторые аб!цис игшросы !!>>!у!г!узциони!зх !нумов. й 37.!. Флуктузционмые шумы электрических ценей. !Пумы э>гск>ричс!.!.из ценой ибугчоюцвы хан!нчгским движением чаю иц, характерным ши ли!вин!!к азсмен!ов ценой.
Лели и гом, чго любые згю!ниши на!ври связаны с переходом «упорядоченной энергии>, например энергии электромагнитных колебаний, в эцерги!о беспорядочного движения частиц (потери на джоулево тепло, магнитный и лиэлектрический гисгереэис и т. н.). Иллз>стрируем это положе~ив рассмотрением электронной проводимости в металле. В этом случае флуктуации тока и напряжения обусловлены хаотическим тепловым движением электронов, характеризуемым случайным распределением их скоростей. Величина этих флуктуаций онределяется мегодами теории вероятности.
Вероятность того, что значения ста>исгической ! величины х находятся в бесконечно малом интервале от (х , Ьх) ! ло ~х+ 2»х), будет равна г!!(х) Ьх, тле гу(х)-- ила!нос>ь вероягнос!и, !. е. вероятность того, что система изоб>ражзющих >очек находигся в единице объема фазового пространс!за. (гл. 37 шз мы Обозначим вероятность того, что величина х примет. значение х„ чеРез Р, и соо~ветстввнно хв -ь Рв ... хг-« !ге В этом слУчае среднее значение статистической величины х, обозначаемое Х, .по определению, будет равно: х=хг)гг+хв7га+ха)гз+ ° ..
+хвдл= ~ хРг. (37-!) в г-! В силу того, что мы имеем дело со статистической величиной хг, змачення которой изменяюгся в некотором интериале, верояпюсгь того, что х будет рзшю к, в ннгерзале ггх, будет: Р -'— " р(х ! п-к. '! огдв среднее значение сга|исгпческог! величины х будет: х= у хгэ(хг)!!х. г- =! Вели величинз х изменяется в. пределах от а до !!, то, разбивая этот интервал на элеменгы Ьх, характеризующиеся посгояннымн значениями хн и переходя к пределу, получим: Ь х = 1 хэ (х) ~7х. а (37.2) Обратимся теперь нсвосрелс1вснно к флукгуюгиям. Пол последними подразумевают отклонения статистической величины ог ее среднего значения. Величина отдельной флуктуации Ь будет." Ь=х — х.
Ья =(х - - х)'. 'Это особенно удобно для изучения элекгрическия флуктуаций, которые карактеризуюгся средним квадратом отклонения напряжения Нв нли тока г'. Дело в том, что величины а" и Р .определяют собой величину электрической мощности, обусловленной флуктуациями, которая может быть непосредственно измерена. Благодаря этому можно, пользуясь энергетическими соотношениями, связать между собой величины, характеризующяе кинетику хаотического движения элементарных частиц с электрическими величинами. Определим срединно энергию флуктуаций в системе с одной степенью свободы, в которой могут происходить колебания около Поскольку Л может быть как положительным, так и отрицательным, среднее значение больнюго числа флуктуаций Ь будет приближаться к нулю.
В силу этого величину флуктуаций принято харзктеркзо. вать средним значением квадратов отклонений 34 г $37.! ! . Флукгюацношнае шумм эльктвичаскпх цапвй 639 положения равновесия х=О. Допустим, что процесс нзотермнчсския, что будет справедливо для 'случая небольших оп<лонений сне~ямы от состояния равновесия. Совершаемая за счет флуктуаций работа А будет равна изменению свободной энергии системы: и' А — ~ г(гГ1 йо Свободная энергия кис~ямы пулею н'=- (У вЂ” -БГ, где Сг — полная энергия системы„ 8 †энтроп системы для состояния ее, характеризующегося значением свободной энергии В; Т-- вбсолсопиая темперагура.
Г)нрсдсляч ирирвщшнш г!37 и учи|миля, ч~о мы имеем дело с пзо~щщн и ~ ьнм нршь яком и гнс ~гьп г звлшшщ! шюнип шк р~иея (У=ения!! ивы чщ 4у. -. и, г!й''.:: П г7(ЯТ),: Тг!Я. 1!одк1вв з ш з~о нычкиие и вырази нш двв А и ииыч рируя, получим; А .--= ТМ Ьв). (37.3) Пользуясь известным соопюшеннем Больцмана А — Т8в = — 7гТ!п р, ( л +ля) ья л Й' лл еде полу $им л )г = Се Яг Ограничиваясь областью малых колебаний; можно считать работу пропорциональной хя и записать А следуюпгим образом: А= — х~, где а в постоянный коэгрфицнент. Тогда р(х)=Се (37А) где ! носнишнвя будем нме1ь. о1кула 8р обозначая е "' = С, Больнмана, р - - верояпюсгь данного сосгояния, (гл.
37 па мы р(х) г(х = ~ Се я" г г!х= 1, +': Воснользовавьчись этим, получим откуда 2 Сищ И 'г 2 (37 б) (37.б) а 2С * !т (в) ггвг = — -',-, (37.9) г( = — х' Э Очевидно р(х) в последнем выражении будет нредставлягь не что иное, как нлотность вероятности н вероятность того, что величина х г!х ! К г!х '! находится в интервале от ~х — — — ! до ~х+ — ! и онределится 2г ( 2г на основании (37А)! р(х) г(х= Се '"г г(х. Для нахождения постоянной С используют известное условие нормировки +с +«лхг Из курса ли!гик!а из!же!но, чго нпгс! рал подобного вида выражается так! Применяя это соотношение в учитывая, что в рассматриваемом случае нлогносп вероятности равна р(х), напишем выраженно для Среднего квадратичного значения отклонения от состояния равновесия хя. + ОЗ +о ел! ха= ~ х'р(х)с!х=-».
Э-,„— ~ х'е сгх. В результате интегрирования получаем! В сов!не!с!вин с начальными условиямв для рвссмагриваемого слу чая средняя энергия нредставляет собой средшою энергию флукгуа ций на одну стевень свободы, т. е. й 37;Ц алткт!"лциоггныв шаны элвктеичаских цапай 64 ! откуда А=-,2 —. (37.7) Таким образом, этот вывод показывает, что для гнобон физической системы с одной степенью свободы н лкгбого механизма флук,туаций средняя энергия флукгуацнн равна грслнсн гн! Ргнн !шишов молекулы. Следовагслшю, эго булс! справ! л;нпю и л и г г! ив элшггричсских флукгуанин. !)чсвнлпи, зная среднкв! энергия! !шинных фггу!.гулкий, можно определигь элпггрические величины, характеризующие эти флуктуации. Для этого удобно рассматривать цепь, в которой параллельно С ли акгншюму сопротивлепиго или комбинации ак- Т ггвнаго гонригнвлгшв и нндукгннносги нолклгич!на гмьо! г!.
!' (пнцчгмгр, гцчи г!Нгинй гггу вн, шгь.! вниыв ил !чи Л!.! ! ! ш„гч и! нь нмг! ! Но н,нкч нр,в !иь ! ьги ны*иив, ш!. !'в, зт г, !ко!в у' и 1:! !юнга !'темах н!!И!|!го!!!'! гнцч' лг;гчгь,гиги! шум!! !«в!урии, ли!в! шуггм ! шцгогигш! гшв, нарялш лгш в!!о!ч!и, швнгип ! чки! !и и! жлу концами и!ичнггцшкон, всегда гвш чинь! и!н,!в!и и!!и!,уж!. !!Решчавлакн !акме нигецвг и!умы не! Огнр!гх эшгигвлг и!игла совр[мни!инни, вкл!вкмшьгх гк! входе ванны вараллелыю сс ггходгюй емкосги. Очевидно, элекгрнческая энергия флукгуаций для дашюго случая будет: о!!гул!! гргшшй квадрат нанряжеиня флуктуаций будет: И' Ш— (37.8) 1(ля того чтобы получить связь между емкосгшо С, эквиввленпгым активным сопротивлением соединения, представленного на рис.
37.1, н частотой, воспользуемся так называемой теоремой интеграла активного сопротивления, полный вывод которой приводится в теории электри геских цепей. В применении к данной схеме эта теорема мовсег быть записана следукацнм образом: глс гс(гг) представляет активную часть эквивалентного цослелоизг!"гьнпго сонно!налепив данков ц! Нн.
Мол!но легко убедитьгя и сиршвгкнпюсги эгон !сорок!! д!я рассчагрипаемого случая $37.Ц ,.ь! ~:,:: -,'-..Дс)я рас : -.".'-г!:; . виет!я ТС а(7) = — --.— --— ! + (2нУФС)2 Ф': и Ножн и, следоеательпо, те ! +2)2С24)42 ' (2НЯС)2 -:.,' 1 о считас! 11 (У) = — Й = — гона!. То!'да„интегрируя, гюлучим 4 (37. ! 3) 2С ' о ! нн, )1)исс!.,- - !с !44)кон) 4(с')л ч!! !37 !4) сс~.
= — С. (Л вЂ”.Т!) или же — 2ат и,"„= — 3! Я(м) с)ь« о (37.! 1) параллельного соединения 77 и С. 7(ействителщ!о, Л . НС442 2 ! 1+ 2Ссг)2 "! ~ нсС2772 2 Подставляя эта значение )7(м) в подыитегралыюе ныражеиие, будем иметь: Ш Н2 ™. =- ,.- „, „. « -=-,-у !' 1, 1„,„„р ( ™С == !) 9 ! )Н2 =-, !а 13(й С)~ = — —,'-,, )о 2С ' т.
е. получим приведенное выше выражение Определяя из последнего выражеиия величину С и подставляя ее в (37.8), получим: — — ЛТ злу' ссш — ' ° — ' . ~ 4)(!)) 4)нн о Из 37.! ! видно, что средний квадрат папряжеиия электрических флуктуаций электрической пепи, характеризун)щейся полным сопротивлепием Я(н)) = 77 (м) +7Х(!н), является функцией абсолютиой температуры и активной компонеигы полного сопротивлеиия )г(м) и не зависит от реактивного сопротивления Х(н)). Выражемие (37.1!) является достаточно общим и может применяться к различным типам контуров и сопротивлений, применяемых в схемах приемных устройств.
Контуры и сопротивления обычно характеризуются наличием ограниченной полосы пропускаиия частот, лежащих в интервале оту! до Т„. В этом случае, переходя от круговых чзстот м к липейпым частотзм 7, получим: 7. 42 «!.= —,— 2 (Н)ЛСС 42' ) Н)ДСС. 42!.42) )! Флуитулционпые шумы влек'геичьс!'Нх цепей смогреииого случая параллельного соелииеиия сс н С будем в пределах полосы пропускания усгроястна и;"„= 474 Т))' ()с — 7!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
