Atomnaya_fizika_Lektsii_Milantyev_chast2 (846373)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Строение и свойства атомовДвижение в центрально–симметричном поле.В центрально–симметричном поле потенциальная энергия взаимодействия частиц:  U (r1 , r2 ) = U ( r1 − r2 )  U (r ) . Оператор Гамильтона для системы двух частиц с массамиm1 , m 2 22Hˆ (r1 , r2 ) = −1 − 2 + U (r ) ,2m12m21 ,  2 – операторы Лапласа по координатам первой и второй частицы. Радиус–вектор  центра инерции rC = (m1r1 + m2 r2 ) /( m1 + m2 ) , вектор взаимного расстояния r = r1 − r2 .Оператор Гамильтона: 22ˆ(3.1)H (rС , r ) = −С − + U (r ) .2(m1 + m2 )2 С ,  – операторы Лапласа по компонентам векторов rC и r , соответственно;  = m1m2 /( m1 + m2 ) – приведенная масса.

 (r1 , r2 ) =  (rC ) (r ) 2(3.2) (r ) + 2 E − U (r )  ( r ) = 0 .Атом водородаДля атома водорода и водородоподобных атомов потенциальная энергия U (r ) = − Ze 2 / r .В сферической системе координат оператор Лапласа1     1  2  r 2 − r r  r  r 2 1 1 2   −(sin  ) + 2 - оператор Лежандра. sin   2  sin  Уравнение Шредингера:  2   2 2me Ze 2  −  = 0 ,E+r+rr  r  2 r По методу разделения переменных: (r ,  , ) = R(r )Y ( , ) .1  d  2 dR  2 2me Ze 2   1 R  = Y =  ,r+rE+R  dr  dr  2 r   Y – постоянная разделения.(3.3)(3.3а)(3.4)Y =  Y ,(3.5)22d  2 dR  2 2me Ze E +R = 0 .(3.6)−r+r2 dr  dr  r2me r 2 Решение уравнения (3.5) известно.

Постоянная  = ( + 1) , где  – орбитальное квантовоечисло.Ze 2  2( + 1)l.(3.7)U eff(r ) = −+r2me r 2Потенциальная «яма» с минимальным значением на расстоянии 2( + 1) ( + 1)(3.7a)r0 =a1 ,Zmee 2Za1 =o2– радиус первой боровской орбиты. Глубина «ямы»:=0,53Amee 2U minl= −Z 2 mee4Z2,E12 2( + 1)( + 1)(3.7б)me e 4E1 = − 2 – энергия основного состояния атома водорода.2Если энергия частицы положительна ( E   0 ), ее движениеинфинитно. Если энергия отрицательна ( E   0 ),- движениефинитно.Решение уравнения (3.6) при отрицательных значенияхэнергии. Безразмерные переменные:r1 E(3.8)=Z ,= 2 .a1Z E1Решение в виде:R(  ) = f (  )   exp( −   ) ,(3.9)Функция f (  ) удовлетворяет уравнению: + 1 df 2d2 f+ 2− + 1 − ( + 1)  f = 0 .2d  d Решение ищется в виде бесконечного ряда(3.10)f (  ) =  as ( 2   ) s .(3.11)s =0Рекуррентное соотношениеas +1 = ass +  + 1 −1/ .( s + 1)(s + 2 + 2)(3.11а)Ряд (3.11) с коэффициентами (3.11а) растет быстрее, чем exp(   ) .

Волновая функция(3.9): противоречие с естественным условием. Функция f (  ) - в виде полинома степениn r . Ряд (3.11) - полином степени nr при условии a n r +1 = 0 :nr +  + 1 =1.(3.12)11 2 .2(n r +  + 1)n(3.12а)me e 4 1.E n =  n E1 Z  − Z2 2 n 2(3.13)n =22В точности формула Бора. nr - радиальное квантовое число, главное квантовое число:n = nr +  + 1 .(3.13a)При фиксированном n орбитальное квантовое число принимает n значений: = 0, 1, 2,..., n − 1 .(3.14)Радиальная волновая функция R(  ) = f (  )   exp( −   ) зависит от чисел nr ,  .

Удобнеепользоваться набором n,  . Стационарные состояния водородоподобного атома nm (r ,  ,  ) = Rn (r )Ym ( ,  ) = Rn (r ) Pm (cos  ) exp( im ) .(3.15)Функция Rn (  ) выражается через обобщенные полиномы Лагерра:Rn (  ) = An   e −  / 2 L2n++1 (  ) .(3.15а)Lmn (  ) = (−1) mn!d n−m −  ne   −m(e  ) .(n − m)!d n − mПри m=0 полиномы L0n (  )  Ln (  ) - полиномы Лагерра.Состояние водородоподобного атома характеризуется набором чисел n, , m .

Значениеmee 4 1. Вырожденные2 2 n 2состояния. Каждое значение энергиивырождено не только по магнитномуквантовому числу (как в случае ротатора),но и по орбитальному квантовому числу.Кратность вырождения уровней энергиидля водородоподобного атома:энергии En = − Z 2n−1 (2 + 1) = 1 + 3 +    + (2n − 1) = n2. (3.16) =0Каждый уровень энергии n 2 – кратновырожден.Состояния электрона в атомеобозначают с помощью буквы, котораясоответствуетчисленномузначениюорбитального квантового числа, и спомощью цифры, стоящей перед этойбуквой и соответствующей значениюглавного квантового числа: n(цифра) (буква).1s; 2s, 2p; 3s, 3p, 3d; 4s, 4p, 4d, 4f;...Значения числа Буквенное обозначениесостояния0123spdf4g5hДиаграмма уровней энергии атома водорода - диаграмма Гротриана (1928).n = 1 – состояние 1s: 100 = А −1/ 2 exp( −  )(3.17)n = 2 – состояние 2s: 200 = A[1 / 4(2 )1/ 2 ](2 −  ) exp( −  / 2)состояние 2p: 210 = A[1 / 4(2 )1/ 2 ] e −  / 2 cos  211 = A[1 / 4(2 )1/ 2 ] e −  / 2 sin  e  i(3.17а)n = 3 – состояние 3s: 300 = A[1 / 81(3 )1/ 2 ](27 − 18  + 2  2 )e −  / 3состояние 3p: 310 = A[21/ 2 / 81 1/ 2 ] (6 −  )e −  / 3 cos 311 = A[21/ 2 / 81 1/ 2 ] (6 −  )e − / 3 sin e iсостояние 3d:(3.17б) 320 = A[1 / 81(6 )1/ 2 ] 2 e −  / 3 (3 cos2  − 1) 321 = A[21/ 2 / 81 1/ 2 ] 2 e −  / 3 sin  cose i(3.17в) 322 = A[1 / 81 1/ 2 ] 2 e −  / 3 sin 2 e 2iПостоянная A = ( Z / a1 ) 3 / 2 .Переходы между различными состояниями:  = 1, m = 0,  1.

На изменениеглавного квантового числа n нет ограничений.Волновая функция  nm (r ,  ,  ) = Rn (r )Ym ( ,  ) = Rn (r ) Pm (cos  ) exp( im )Элемент объема dV = r 2 sin  drd d  r 2 drd , где d – элемент телесного угла:()dWnm =  nm r 2 drd = Rn2 (r )r 2 dr Pm (cos ) d .22(3.18)Распределения по углам и по радиусу - независимы. Вероятность углового распределениясовпадает с вероятностью состояний ротатора. Распределение электронного заряда порадиусу:dwn = Rn2 r 2 dr .(3.19)Условие нормировки002 2 dwn   Dn (r )dr = 1 . Величина Dn (r )dr = r Rn (r )dr - вероятностьтого, что электрон находится на расстоянии от r до r + dr от ядра атома.

Графикифункции Dn ( r ) для некоторых состояний:ФункцияDn ( r )в состояниях с максимальным значением орбитальногоквантового числа  = n − 1 . Число n r = 0 . f (  ) = a0 = const . Так что R(  ) = a0  n −1e −  / n .Плотность вероятностей: Dn,n −1 (  ) = a 02  2n e −2  / n - «одногорбая» функция, максимум при nmax = n 2 , ( rnmax = n 2 a1 ).– «Размазанное» соответствие с теорией Бора. С возрастанием nширина кривой D n, n −1 (  ) вблизи  nmax становится более узкой, при n →  функцияD n, n −1 (  ) стремится к  (  −  nmax ) .

Принцип соответствия. Для получения полнойкартины распределения электронной плотности в пространстве необходимо учестьугловую зависимость dWnm =  nm r 2 drd = Rn2 (r )r 2 dr (Pm (cos  ) ) d .22На рис.3.3а - вероятное распределение электронного облака в различных соcтояниях атомаводорода.Рис.3.3аВолновые функции (3.17)–(3.17в) для состояний с центрально–симметричнымраспределением заряда вокруг ядра - электрический дипольный момент отсутствует. Из-завырождения уровней энергии в атоме водорода существуют состояния с несимметричнымраспределением электронного заряда относительно плоскости z = 0. Например,суперпозиция волновых функций  200 и  210 , отвечающих уровню энергии с n = 2: 2   200 − 210 = A 1 − (r + z ) / 2а1 exp( −r / 2a1 ) .Эта волновая функция имеет узловую поверхность r + z = 2a1 - параболоид вращения сосью z и фокус в начале координат.

Распределение электронной плотностинесимметрично относительно плоскости x , y : среднее положение электрона вдоль оси zотлично от нуля: z = 3 а1 . В этом состоянии атом водорода обладает электрическимдипольным моментом.Тонкая структура термов. Лэмбовский сдвигУчет спина электрона - каждое состояние описывается четверкой квантовых чисел:n ,  , m , ms , где ms = 1 / 2 – магнитное спиновое квантовое число.

Спин–орбитальноевзаимодействие. Его происхождение: электрон находится в кулоновском поле с напряженностью F (r ) = Z er / r 3 . В системе отсчета, жестко связанной с движущимся  1  1 электроном, возникает магнитное поле (при v << c ): B = B + F v = F v . Поле B ccвоздействует на спиновый магнитный момент электрона.

Энергия взаимодействия:  Ze  ZeZe 2  E s = −  s B = − 3  s r v = −=s .scrmecr3me2c 2r 3e − вектор орбитального момента импульса электрона, s − вектор спина. Μ s = −sme сПри точном расчете (Томас, Я.И. Френкель, 1926)Ze 2  (3.20)Els =s .2me2c 2 r 3Для сравнения с опытом - среднее значение энергии взаимодействия в n –ом состоянии:Ze 2   1.(3.21)E ls =s2me2c 2r3При спин–орбитальном взаимодействии длины векторов  , s можно считать постоянными,  , s   ()(())( )( )( )«хорошие» квантовые числа.Векторная модель атома:  j = +s.(3.22)Для изолированной системы полный моментимпульса сохраняется: длина вектора j и егопроекция на ось z имеют определенные значения. Векторы  , s прецессируют вокруг направлениявектора j . Длина вектора j определяется числомj - квантовое число полного момента импульса,внутреннее квантовое число (Зоммерфельд,1920):j =  j ( j + 1) .(3.23)jz = m j  ,(3.24)m j – магнитное квантовое число.

Число m j при фиксированном значении j пробегает 2j+1значений:m j = − j ,..., 0,..., j .(3.24a)В случае водородоподобного атома число j при фиксированном значении числа  имеетдва значения:j =  + 1 / 2;  − 1 / 2 .(3.24б)Полное число значений, которое принимает внутреннее квантовое число мультиплетность состояний (Каталан, 1923). Для атомов с одним электрономмультиплетность равна 2. Состояния одноэлектронных атомов дублеты. С учетом спинакаждое состояние водородоподобного атома и его уровни энергии расщепляются на два,кроме s–состояния, которое не расщепляется, а несколько смещается.Расщепление уровней энергии, обусловленное спином электрона и релятивистскимиэффектами - тонкая структура термов.С учетом тонкой структуры обозначения состояний водородоподобного атома(таблица 3).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций