1629366115-7f0549bb2746272c8a94e861c79bfbfb (846314), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

III–III2kXk k =Zl H sinpλk x +02= H + λkZlsin2ppp2Hλk cosλk xdx = α = arccos √ 2=H + λkH 2 + λkλk x + α dx =2Zl p1 − cos 2 λk x + 2α dx =0!x=lp1H 2 + λkl==· x − √sin 2 λk x + 2α 202 λkx=0√√H 2 + λksin(2 λk l) cos 2α + cos(2 λk l) sin 2α − sin 2α√=· l −.22 λk0Преобразуем выражения√sin(2 λk l) cos 2α√2 λkи√cos(2 λk l) sin 2α√:2 λk√psin(2 λk l) cos 2α1λk − Hh√= ctg( λk l) =· √=H +h2 λkλk√√pH + h 2 sin( λk l) cos( λk l)H +h√=·· cos2 ( λk l) · cos(2α) =cos(2α) =λk − Hhλk − Hh2 tg λk l1ctg2 β2= cos β ===1 + tg2 β1 + ctg2 β(λk − Hh)21H +h· cos(2α) =·2 ·(λλk − Hh λk (H + h) 1 + k −Hh)22λ (H+h)k2H − λkH 2 − λk(H + h) (λk − Hh)= cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2·.=H + λkλk (H + h)2 + (λk − Hh)2 H 2 + λk=√cos(2 λk l) sin 2α21 − ctg2 β2√= cos 2β = 1 − 2 sin β = 1 −=−=1 + ctg2 β1 + ctg2 β2 λk√pλk l sin 2α1 − ctg2λk − Hh · √ = ctg( λk l) = √√==−1 + ctg2λk l 2 λkλk (H + h)λk (H + h)2 − (λk − Hh)2 sin 2α· √ =λk (H + h)2 + (λk − Hh)2 2 λksin 2α2 sin α cos αHλk (H + h)2 − (λk − Hh)2H√= 2=−.= √ =22 ·H + λk2 λk2 λkλk (H + h) + (λk − Hh) H 2 + λk=−-14-УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – IПоэтому√√sin(2 λk l) cos 2α + cos(2 λk l) sin 2α − sin 2α√=2 λkH 2 − λkH(H + h) (λk − Hh)λk (H + h)2 − (λk − Hh)2H·=−− 2=2222 ·22H + λkλk (H + h) + (λk − Hh) H + λkλk (H + h) + (λk − Hh) H + λk(H + h) (λk − Hh) (H 2 − λk ) − H λk (H + h)2 − (λk − Hh)2 − H λk (H + h)2 + (λk − Hh)2==λk (H + h)2 + (λk − Hh)2 (H 2 + λk )(H + h) (λk − Hh) (H 2 − λk ) − 2Hλk (H + h)2==λk (H + h)2 + (λk − Hh)2 (H 2 + λk )|{z}=(H 2 +λk )(h2 +λk )(H + h)=−λ2k3+ λk H(H + h) − H h − 2Hλk (H + h)=(H 2 + λk )2 (h2 + λk )23−(H + h) λk + λk H(H + h) + H h=(H 2 + λk )2 (h2 + λk )=−(H + h) (λk + Hh) (λk + H 2 ).(H 2 + λk )2 (h2 + λk )Наиболее простой вид это выражение принимает при H = h.

В этом случае (он встречается в№ 653, 658, 693)√√sin(2 λk l) cos 2α + cos(2 λk l) sin 2α − sin 2α2h√.=− 2h + λk2 λkИтак, в общем случае (при H 6= h)2kXk k2 =l (H 2 + λk ) (h2 + λk ) + (H + h) (λk + Hh) (λk + H 2 ).2 (H 2 + λk ) (h2 + λk )А в случае H = hl (h2 + λk ) + 2hkXk k =.22-15-УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I12. Таблица собственных чисел и функций задач Штурма –Лиувилля с различными краевыми условиямиКр. усл.Собственные числа и функцииI–Iλn =I – IIλn =π 2 n2,l2π(2n−1)2l2πnxlXn (x) = sin,Xn (x) = sinI – IIIλn > 0 − решения уравнения√Xn (x) = sin λn x , n ∈ NII – Iλk =II – IIλ0 = 0,II – IIIIII – IIII – IIIII – IIIπ(2k−1)2p2,Xk (x) = cosX0 (x) ≡ 1; λn =πn 2l,,n∈Nπ(2n−1)x2l√,π(2k−1)x2p√n∈N√λ = −h tg( λ l),,Xn (x) = cosλn > 0 − решения уравнения√Xn (x) = cos λn x , n ∈ Nk∈Nπnxln∈N,√λn tg( λn l) = h,√√λn > 0 − решения уравненияλ=−htg(λ l),√√√Xn (x) = h sin λn x + λ · cos λn x , n ∈ N√√λn > 0 − решения уравненияλ=hctg(λ l),√√√Xn (x) = h sin λn x + λ · cos λn x , n ∈ N λn > 0√− решения уравнения ctg( λ l) =Xn (x) = H sin√ √√λn x + λ · cos λn x ,-16-HH+hn∈N√λH−√hλУМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I13.

Таблица норм собственных функций задач Штурма –Лиувилля с различными краевыми условиямиkXk k2Кр. усл.I–IkXk k2 =l2I – IIkXk k2 =l2l(h2 +λk )+h2(h2 +λk )kXk k2 =I – IIIII – IkXk k2 =l2II – IIkXk k2 =l2kXk k2 =II – III12·l(λk +h2 )+hλk +h2III – IkXk k2 =l(h2 +λk )+h2III – IIkXk k2 =l(h2 +λk )+h2III – III2l(H 2 +λk ) (h2 +λk )+(H+h)(λk +Hh)(λk +H 2 )2 kXk k =2(H 2 +λk )(h2 +λk )в случае H = h-17-kXk k2 =l(h2 +λk )+2h2.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)