1629366115-7f0549bb2746272c8a94e861c79bfbfb (846314), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Сами эти решения явным образом выписать нельзя, но любое можетбыть найдено со сколь угодно большой точностью численно. Мы их искать не будем,удовлетворившись знанием, что они есть, и их можно найти.Таким образом, существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:√√λn > 0 − решения уравненияλ = −h tg( λ l),n ∈ N.Им соответствует бесконечное множество собственных функций:p √pXn (x) = h sinλn x + λ · cosλn x ,n ∈ N.• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.• При λ = 0 имеем из краевого условия X0 (0) − hX(0) = 0, что c1 − hc2 = 0, ⇒X(x) = c2 (hx + 1), и второе краевое условие X(l) = 0 даёт требование c2 (hl + 1) = 0.Отсюда c2 = c1 = 0 (поскольку hl > 0 по условию задачи), и у данной задачи нетривиальных решений, соответствующих λ = 0 нет.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений√√λn > 0 − решения уравненияλ =−h tg( λ l),√√√Xn (x) = h sin λn x + λ · cos λn x , n ∈ Nзадачи (7.1).-6-(7.2)УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I8.

III рода слева – II рода справа.Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевым условием III-го рода на левом конце отрезка[0, l] и II-го рода – на правом: 00X (x) + λX(x) = 0,(8.1)X0 (0) − hX(0) = X0 (l) = 0,h > 0.Общее решение уравнения X00 (x) + λX(x) = 0 имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2• При λ > 0 имеем√при λ > 0;−λ xпри λ < 0;при λ = 0;√√√√X 0 (x) = c1 λ cos( λ x) − c2 λ sin( λ x)И из краевого условия X0 (0) + hX(0) = 0 следует, что√√c2λ c1 − h c 2 = 0 ⇒λ=h .c1С другой стороны, из второго краевого условия X 0 (l) = 0 получаем, что√√√c2= ctg( λ l).c1 cos( λ l) − c2 sin( λ l) = 0 ⇒c1Из двух последних равенств, наконец, получаем:√√√λ = h ctg( λ l),λc1 = hc2 .√√Уравнение λ = h ctg( λ l), как легко увидеть из графика, имеет бесконечно многорешений λn , n ∈ N.

Сами эти решения явным образом выписать нельзя, но любое можетбыть найдено со сколь угодно большой точностью численно. Мы их искать не будем,удовлетворившись знанием, что они есть, и их можно найти.Таким образом, существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:√√λn > 0 − решения уравненияλ = h ctg( λ l),n ∈ N.Им соответствует бесконечное множество собственных функций:p √pXn (x) = h sinλn x + λ · cosλn x ,n ∈ N.• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.• При λ = 0 имеем из краевого условия X0 (0) − hX(0) = 0, что c1 − hc2 = 0, ⇒X(x) = c2 (hx + 1), и второе краевое условие X(l) = 0 даёт требование c2 (hl + 1) = 0.Отсюда c2 = c1 = 0 (поскольку hl > 0 по условию задачи), и у данной задачи нетривиальных решений, соответствующих λ = 0 нет.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений√√λn > 0 − решения уравненияλ =h ctg( λ l),√√√Xn (x) = h sin λn x + λ · cos λn x , n ∈ Nзадачи (9.1).-7-(8.2)УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I9.

III рода слева – III рода справа.Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями III-го рода: 00X (x) + λX(x) = 0,X0 (0) − HX(0) = X0 (l) + hX(l) = 0,H, h > 0.Общее решение уравнения X00 (x) + λX(x) = 0 имеет вид√√X(x) = c1 sin( λ x) + c2 cos( λ x)√X(x) = c1 e −λ x + c2 e−X(x) = c1 x + c2• При λ > 0 имеем√(9.1)при λ > 0;−λ xпри λ < 0;при λ = 0;√√√√X 0 (x) = c1 λ cos( λ x) − c2 λ sin( λ x)И из краевого условия X0 (0) − HX(0) = 0 следует, что√√c2λ c1 − H c 2 = 0 ⇒λ=H .c1С другой стороны, из второго краевого условия X0 (l) + hX(l) = 0 получаем, что√ √√ √√ λ c1 cos( λ l) − c2 sin( λ l) + h c1 sin( λ l) + c2 cos( λ l) = 0 ⇒c1√ √√√ √√λ cos( λ l) + h sin( λ l) + c2 − λ sin( λ x) + h cos( λ x) = 0 ⇒√√√c2λ cos( λ l) + h sin( λ l)√√.⇒=√c1λ sin( λ x) − h cos( λ x)Из двух последних равенств получаем:√√√λctg(λ l) + 1λ,= √h√λH− ctg( λ l)hоткуда√ctg( λ l) ·√ !√λλλλ+=− 1=HhHhh√√Итак,√ctg( λ l) =√λh√λh−√Hλи, наконец,√ctg( λ l) =HH +h!·√√hλ−√Hλ!Hhλ (H + h)λh−√Hλ!.Другим способом уравнение для нахождения λ можно получить из√√√√ c2λ cos( λ l) + h sin( λ l)√√= − tg α + λ l ,=√c1λ sin( λ x) − h cos( λ x)где√α = arcsin-8-λ.λ + h2.(9.2)УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – IТогда, вспомнив, что√√λ = H cc21 , получим:λ = −H tg α +√√λl ,α = arcsinλ.λ + h2(9.3)Каждое из уравнений (9.2) и (9.3), как легко увидеть из графика, имеет бесконечномного положительных решений λn , n ∈ N.Таким образом, существует бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма–Лиувилля:!√√λHh,n ∈ N.λn > 0 − решения уравненияctg( λ l) =−√H +h HλИм соответствует бесконечное множество собственных функций:p √pXn (x) = H sinλn x + λ · cosλn x ,n ∈ N.• При λ < 0 задача Штурма–Лиувилля никогда не имеет нетривиальных решений.• При λ = 0 имеем из краевого условия X0 (0) − HX(0) = 0, что c1 − Hc2 = 0, ⇒X(x) = c2 (Hx + 1), и второе краевое условие X0 (l) + hX(l) = 0 даёт требованиеc2 (H + hHl + h) = 0.

Отсюда c2 = c1 = 0 (поскольку H, h, l > 0 по условию задачи),и у данной задачи нетривиальных решений, соответствующих λ = 0 нет.Итак, мы имеем бесконечное множество нетривиальных решений√(√Hλ−λn > 0 − решения уравнения ctg( λ l) = H+hH √√√Xn (x) = H sin λn x + λ · cos λn x , n ∈ N√hλ(9.4)задачи (9.1).10. Разложение функций в ряд Фурье по собственным функциям задач Штурма – ЛиувилляТеорема 10.1 (В.А.

Стеклов).Усл.{Xk }∞k=1 – ортогональная система собственных функций задачи Штурма–Лиувилля.Утв.∀f (x) ∈ C 2 [a, b], удовлетворяющей краевым условиям,f=∞X∃{ck }∞k=1 :ck Xk (x),k=1причём последний ряд сходится к f (x) абсолютно и равномерно на [a, b], а для ckверно представлениеRbf (x)Xk (x)dx(f, Xk )ack ==Rb 2kXk k2Xk (x)dxa-9-УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – IДоказательство. Выведем формулу для вычисления ck .В силу общих свойств рядов Фурье, их (как сходящиеся равномерно на любом отрезке, гденет точек разрыва f (x)) можно интегрировать почленно. Поэтому, в силу ортогональностисистемы {Xk } в L2 [0, l]:Zl(Xk , Xn )L2 [0, l] ≡0,kXn k2 ,Xk (x)Xn (x)dx =при k 6= n;при k = n.(10.1)0Преположим, что рядверно равенство:∞Pck Xk (x) действительно сходится на [0, l] к функции f (x), то естьk=1f=∞Xck Xk (x),x ∈ [0, l].k=1Домножим это равенство на Xn в смысле скалярного произведения в L2 [0, l], то есть• домножим его на Xn и• проинтегрируем по [0, l].В силу (10.1), получим(f, Xn ) =∞Xck (Xk , Xn ) = cn (Xn , Xn ) = cn kXn k2 .k=1Отсюда сразу получается доказываемая формулаck =(f, Xk ).kXk k2В силу данной теоремы, нам достаточно один раз вычислить kXk k2 для каждой задачиШтурма-Лиувилля, чтобы знать вид коэффициентов разложения ck .11.

Коэффициенты разложения функций в ряд Фурье пособственным функциям задач Штурма – Лиувилля11.1. I–I2ZlkXk k =sin02πkxl1dx =2Zl 1 − cos2πkxldx =0x=l1  ll2πkx  = l.= sinx−  22  0 2πklx=0{z}|=0-10-УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I11.2. I–II2ZlkXk k =sin2π(2k − 1)x2l1dx =20Zl 1 − cosπ(2k − 1)xldx =0x=llπ(2k − 1)x 1  l = l.x−sin=  22  0 π(2k − 1)lx=0|{z}=011.3.

I–III2ZlkXk k =sin2p1λk x dx =20Zl p1 − cos 2 λk x dx =0!l px=l11sin 2 λk x = · x − √=202 λkx=0√√√hpi 1 p2 sin( λk l) cos( λk l)1cos2 ( λk l)√= · l+=λk = −h tg( λk l) = · l +=22h2h tg( λk l)!√ pλ111k =, tg( λk l) = −= cos2 β == · l+1 + tg2 βh2h 1 + λhk2l (h2 + λk ) + hh1.= · l+ 2=2h + λk2 (h2 + λk )11.4. II–I2ZlkXk k =2cosπ(2k − 1)x2l1dx =20Zl 1 + cosπ(2k − 1)xldx =0x=ll1lπ(2k − 1)x  = l.= x +sin 22π(2k − 1)l0x=0|{z}=011.5. II–II2ZlkXk k =2cos0πkxl1dx =2Zl 1 + cos2πkxldx =0x=ll 1l2πkx  = l.= x +sin  222πkl0x=0|{z}=0-11-УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I11.6.

II–IIIZl2kXk k =2cospZl 1λk x dx =20 p1 + cos 2 λk x dx =0! px=l11l + √ sin 2 λk x =22 λkx=01=2откуда, пользуясь тождествами cos2 α =1,1+tg2 α√ !sin 2 λk l√.l+2 λksin 2α = 2 sin α cos α, получаем:√ h√ √ ippsin 2 λk lsin λk l cos λk lh√√l+=λk ==l+tg( λk l) =h2 λktg( λk l)√√hisin21 − cos2λk lλk l1=l+=l+= cos2 α ==hh1 + tg2 α1 − 1+tg2 1√λ lkhp h2 i1 − λkλ+h2( k)2= tg=l+==l+λk l =hλkhh2l (λk + h2 ) + h=l+=.h (λk + h2 )λk + h2В итоге для коэффициентов αn ≡ An получаем равенство:kXk k2 =1 l (λk + h2 ) + h·.2λk + h211.7.

III–I2kXk k =Zl h sinpλk x +pλk cospλk x202= h + λkZlsin2phdx = α = arccos √ 2=h + λkh2 + λkλk x + α dx =20Zl p1 − cos 2 λk x + 2α dx =0!l px=lh + λk1=· x − √sin 2 λk x + 2α =202 λkx=0√√sin(2 λk l) cos 2α + cos(2 λk l) sin 2α − sin 2αh2 + λk√.=· l −22 λk2Преобразуем выражения√sin(2 λk l) cos 2α√2 λkи√cos(2 λk l) sin 2α√:2 λk√i 2 sin(√λ l) cos(√λ l)psin(2 λk l) cos 2α hpk k cos(2α) =√√=λk = −h tg( λk l) =2 λk−2h tg λk lp111122= − cos ( λk l) cos(2α) = cos β ==− ·cos(2α) =2h1 + tg βh 1 + λhk2h2 − λkhh2 − λk22= cos 2α = cos α − sin α = 2=− 2· 2.h + λkh + λk h + λ k-12-УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I√cos(2 λk l) sin 2α1 − tg2 β22√−1=== cos 2β = 2 cos β − 1 =1 + tg2 β1 + tg2 β2 λk√√ p1 − tg2λk l sin 2αλkh2 − λk sin 2α√√=·=tg(=· √ =λl)=−khh2 + λk 2 λk1 + tg2λk l 2 λksin 2αhh2 − λk2 sin α cos αh√= √ == 2· 2.= 2h + λkh + λk h + λ k2 λk2 λkТаким образом,h2 + λk− sin 2αhl (h2 + λk ) + hh2 + λk√kXk k =· l −· l + 2=.=22h + λk22 λk211.8.

III–II2kXk k =Zl h sinpλk x +pλk cospλk x202= h + λkZlsin2phdx = α = arccos √ 2=h + λkh2 + λkλk x + α dx =2Zl p1 − cos 2 λk x + 2α dx =00!l px=lh2 + λk1=· x − √sin 2 λk x + 2α =202 λkx=0√√h2 + λksin(2 λk l) cos 2α + cos(2 λk l) sin 2α − sin 2α√=· l −.22 λkПреобразуем выражения√sin(2 λk l) cos 2α√2 λkи√cos(2 λk l) sin 2α√:2 λk√i 2 sin(√λ l) cos(√λ l)psin(2 λk l) cos 2α hpk k cos(2α) =√√λk = h ctg( λk l) ==2 λk2h ctg λk lp111122= sin ( λk l) cos(2α) = sin β == ·cos(2α) =2h1 + ctg βh 1 + λhk2h2 − λkhh2 − λk22= cos 2α = cos α − sin α = 2= 2· 2.h + λkh + λk h + λ k√cos(2 λk l) sin 2α21 − ctg2 β2√= cos 2β = 1 − 2 sin β = 1 −=−=1 + ctg2 β1 + ctg2 β2 λk√√ p1 − ctg2λk l sin 2αh2 − λk sin 2αλk√√=−·=ctg(λl)==−· √khh2 + λk 2 λk1 + ctg2λk l 2 λksin 2α2 sin α cos αhh√= √ == 2=− 2h + λkh + λk2 λk2 λk=·h2 − λk.h2 + λkТаким образом,h2 + λk− sin 2αh2 + λkhl (h2 + λk ) + h√kXk k =· l −=· l + 2=.22h + λk22 λk2-13-УМФ – Задачи Штурма-Лиувилля – I11.9.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)