1626435729-68f65f5f70a42d31a57129b6cb45bfde (844298), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Чтобы этим воспользоваться, мыдолжны выразить σef f через наше тензорное представление. Так как эффективная проводимость равняется отношению полного тока к проекции поля на него, ответ выразится просто икрасиво.ji σij Ejσef f =jk EkТеперь подставим в это выражение закон Ома и получим формулу, не зависящую от тока.σef f =Ek σik σij EjEi σji EjОстаётся подставить в эту формулу сумму проводимостей и E, направленное вдоль однойоси. Выпишем проводимости в виде матриц 2 × 2σ0,i1Ωi τicos(ϕi ) sin(ϕi )0== σiσi =− sin(ϕi ) cos(ϕi )1 + Ω2i τi2 −Ωi τi 1Подставив произведения матриц поворота и взяв левый верхний элемент, получаем ответ.σef fσ10 2 cos(2ϕ1 ) + σ20 2 cos(2ϕ2 ) + +2σ10 σ20 cos(ϕ1 + ϕ2 )=σ10 cos(ϕ1 ) + σ20 cos(ϕ2 )183.4Задача 12Рассматривается бесстолкновительная плазма с вырожденной электронной компонентойи невырожденной ионной. Найти закон дисперсии продольных волн, скорость которых многобольше тепловых скоростей ионов, но много меньше скоростей электронов (ионный звук).Сравнить скорость волн со скоростью звука, определяемой соотношением vs2 = ∂P, где давле∂ρние обеспечивается электронным газом, а плотность - ионами.Функция плотности распределения электронов в фазовом пространстве-времени описывается кинетическим уравнением:p ∂f∂f∂f+·+F ·=I∂tm ∂x∂pГде I - интеграл столкновений.

Поскольку плазма у нас бесстолкновительная, интеграл столкновений равен нулю. Сила, действующая на частицы, обусловлена электрическим полем (магнитным полем мы, естественно, пренебрегаем - электроны не такие быстрые, а ионы и подавно).В итоге кинетическое уравнение преобразуется в свой частный случай - уравнение Власова:∂fp ∂f∂f+·+ eE ·=0∂tm ∂x∂pАналогичное уравнение можно записать и для ионов.

Добавив одно из уравнений Максвелла(да, придётся вспоминать электродинамику), а именно теорему Гаусса, получим систему уравнений 4 : ∂f∂fe∂fee ∂t + ve · ∂x + eE · ∂p = 0∂fiii+ vi · ∂f+ ZeE · ∂f=0∂t∂x∂pdivE = 4π(ρe + ρi ) = 4π e R3 fe d3 p + Ze R3 fi d3 pВ равновесии ионы и электроны компенсируют друг друга и среднее электрическое поле равнонулю.

Значит, имеющееся поле обусловлено отклонением функции плотности распределенияот равновесной (приближение самосогласованного поля). Линеаризуем уравнени е по возмущению плотности флуктуации (то есть запишем плотность распределения как сумму равновеснойплотности и возмущения: f = f0 +δf ) и сократим равновесную часть. Поскольку электрическоеполе и так содержит первый порядок возмущения, от производной по импульсу возьмём толькоравновесную часть. От остальных производных возьмём только возмущения: ∂δf∂fe 0∂δfee ∂t + ve · ∂x + eE · ∂p = 0∂δfii+ vi · ∂δf+ ZeE · ∂f∂pi 0 = 0∂t∂xdivE = 4π e R3 δfe d3 p + Ze R3 δfi d3 pБудем искать решение в виде плоской волны, ось X направим вдоль волнового вектора.

Поскольку, по условию, мы ищем продольные волны, поле также будет направлено вдоль X.E, δfe , δfi ∝ eikx−iωt∂fe 0−iωδfe + ikvex δfe + eE px = 0−iωδfi + ikvix δfi + ZeE ∂fpxi 0 = 0ikE = 4πe R3 δfe d3 p + 4πZe R3 δfi d3 p4Функция плотности распределения нормирована так, чтобы интеграл по пространству импульсов давалконцентрацию, поэтому не впадайте в панику, пытаясь найти незабвенное «единица на два пи аш» из нежнолюбимой Вами квантовой механики19Выразим возмущения через равновесные функции плотности распределения:(e01δfe = −ieE ∂f∂px ω−kvex1i0δfi = −iZeE ∂f∂px ω−kvixПодставим полученные значения в теорему Гаусса, перенесём всё в левую часть и поделим наikE:4πe2∂fe 0 d3 p4πZ 2 e2∂fi 0 d3 p1++=0(3)k∂px ω − kvexk∂px ω − kvixR3R3Вычислим оба интеграла приближенно с учётом vex ωk vix . Начнём со второго интеграла: ∂fi 0 d3 pkvix∂fi 0kpx dpx dpy dpz∂fi 0 d3 p1+=1+≈∂px ω − kvix∂px ωω∂pxmi ωωR3R3R3Проинтегрируем по частям с учётом того, что функция плотности распределения на концахзануляется:kpx d1+dpy dpzmi ωkfi 0 dpx dpy dpzknikpx d(fi 0 )dpy dpz= − fi 0=−=−1+mi ωωωmi ωωmi ω 2R3R3R3ni - концентрация ионов.

Возьмёмся за первый интеграл:∂fe 0 d3 p=∂px ω − kvexR3R3∂fe 0d3 pw vexk∂px >ω−Плотность распределения зависит от энергии ε =p22me≈−kpe xme=me ∂fe 0 d3 pk ∂px pxR3p2x +p2y +p2z.2meВыразим производную f по ε:∂fe 0∂fe 0 ∂ε∂fe 0 px=·=∂px∂ε ∂px∂ε meВернёмся к искомому интегралу:−me ∂fe 0 d3 p=−k ∂px pxR3−4π (2me )k2∂fe 0 d3 p=−∂ε kR3∞∂fe 0 4πp2 dp∂εk0R3Выразим импульс через энергию p =32√2me ε:0∞∞>1 3 1∂fe 0 12π12ε 2 dε = − (2me ) 2  feε−fe 0 ε− 2 dε0∂εk200Газ электронов подчиняется статистике Ферми-Дирака fe 0 =2π=k2me4π 2 ~2 32 ∞200(2π~)31ε− 2 dεeε−µT+12,ε−µe T +1отсюда:Поскольку газ электронов по условию вырожденный, его температура много меньше химического потенциала, а значит распределение Ферми-Дирака можно заменить «фермиевскойступенькой»: µ∞ − 13− 212ε dε ε dε2πme 2 +≈=ε−µε−µ22k 2π ~e T +1e T +1µ0 µ µ∞ −1∞ − 1 −133− 212πme 2 ε 2 dε  2πme 2  ε 2 dεε 2 dε ε dε≈+=+=22−∞∞22k 2π ~e+1e +1k 2π ~0+1∞+1µ0=03212µ322π me µ4π me 1µ2=1k 2π 2 ~2k 2π 2 ~22В качестве химического потенциала возьмём химический потенциал при нулевой температуре- энергию Ферми εF .

Выразим её через концентрацию:ne =R3 me≈ 4π22π ~2 m 23 ∞ ε 21 dεe≈fe 0 d p = 4πε−µ22π ~2e T +130 3 µ20 m 23 µ 328π me 32 32eε dε = 4πεF3 =2π 2 ~23 2π 2 ~22122π 2 ~2εF =meЗаметим, что:3ne8π 23π 2 ~2=2me3neπ 23(4)3ne4π me 32 1=µ2 =22k 2π ~2kεFМы нашли оба интеграла! Подставим их в уравнение 31+6πe2 ne 4πZ 2 e2 ni−=0k 2 εFmi ω 2Мы получили закон дисперсии, то есть зависимость ω от k. Видно, что он получился довольнонетривиальный. Однако в задаче сказано рассмотреть звуковые волны, т.е.

волны с линейнымзаконом дисперсии ω = cs k. Этот закон обычно выполняется при малых k и ω. Попробуем и мыего получить. В нашем уравнении k и ω стоят в знаменателе. Когда они малы, соответствующиечлены становятся большими, и единицей можно пренебречь:6πe2 ne4πZ 2 e2 ni=k 2 εFmi ω 22Z 2 ni3ne=k 2 εFmi ω 221Поскольку плазма квазинейтральна, очевидно, что количество электронов соответствует количеству ионов с учётом их заряда ne = Zni :32Zmi ω 2Fω22ZεF=2k3mi22ZεFZπ 2 ~2 3ne 32=cs =3mi3me miπk2ε=Долгожданная скорость звука найдена! Но в задаче предлагается подсчитать её ещё однимспособом и сравнить ответы. Тех, кто с трудом вспоминал матанализ c первого курса в течениивсего повествования, ждёт ещё более сложное испытание - вспомнить школьную математику,взятие производной:∂Pvs2 =∂ρВ качестве давления предлагается взять давление электронного газа, а в качестве плотности плотность ионного5∂Pe ∂ne∂Pe Z∂ni∂Pe Z∂Pevs2 ====(5)∂ρi∂ne ∂ρi∂ne mi ∂ni∂ne miНайдём энергию, а из неё давление:E=VR3 m 32 ∞ ε 32 dε m 32 µ 523ee3εfe 0 d p = 4πV≈ 4πVε−µ5 = ne V εF22222π ~2π ~5e T +120Pe = −∂E∂VВспомним энергию Ферми, найденную в 4:""2 #2 #2∂ 3 Ne π 2 ~2 3Ne 32 1 3 Ne π 2 ~2 3Ne 32 π 2 ~2 3ne 3VVPe = −== ne∂V 5 V 2me V π3 V 5 V 2me V π5 2meπТеперь взятие производной становится довольно легкой задачей"2 #2∂Pe5 1 2 π 2 ~2 3ne 32 π 2 ~2 3ne 32=ne== εF∂ne3 ne 5 2meπ3 2meπ3Теперь, вернувшись к уравнению 5, напишем окончательный ответ:vs2 =2Z εF3 miПолученный ответ полностью согласуется с полученным ранее.5Обращение с частными производными, которое последует ниже, может показаться внимательному читателючересчур вольным и легкомысленным, однако стоит принять во внимание тот факт, что все имеющиеся функции суть функции одной переменной, а значит под частными производными, строго говоря, следует пониматьполные.

Можно было бы написать всё честнее, но частные производные более распространены в термодинамике,и они красивее смотрятся.223.5Задача 13Список литературы23.

Характеристики

Список файлов курсовой работы