1626435729-68f65f5f70a42d31a57129b6cb45bfde (844298), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В этом случаеэлектроны подчиняются большому каноническому распределениюf=e−ε−µNTZ,где ε - энергия частицы, µ - химический потенциал, N - количество частиц, T - температура,Z - статистическая сумма по состояниям.Электрон может находиться в трёх возможных состояниях:1. электрон есть, спин направлен вверх, ε = εd2. электрон есть, спин направлен вниз, ε = εd3. электрона нет (то есть он улетел в зону проводимости)В последнем случае атом будет ионизован.Каноническое распределение для существующих электронов:f↑ = f↓ =µ−εdTeZКаноническое распределение для несуществующих электронов:f∅ =1ZОсталось найти статсумму:f↑ + f↓ + f∅ = 1µ−εdZ = 1 + 2e TИ мы получаем ответ!f∅ =211 + 2eЗадание 22.1Задача 5Дисперсионное соотношение:6µ−εdTE = ApαdE = Apα−1 dpЧисло частиц в N измерениях пропорционально:N∝0∞pN −1 dp∝exp E−µ+1T∞0NE α −1 dEexp E−µ+1TРазложим в окрестностях критической точки (формулу для N=3, α = 2 можно посмотретьв Википедии, в статье "Квантовый газ")NN ∝ µ α −1 + βδTОтсюда:αµ ∝ −δT N −αОтсюда следует очевидное условие:0 < α <= N(Иначе вместо нуля у химпотенциала будет особенность)Производная химпотенциала:αdµ∝ −δT N −α −1dTN(Испытывает скачок при α <= 2 , т.е.
если степень неположительная)Аналогично, вторая производная испытывает скачок при α <= 2N.3Энергия пропорциональна:E∝0∞pN −1 dp∝exp E−µ+1T∞0NNE α dE∝ µ α ∝ NµE−µexp T + 1(Выделили линейную зависимость от числа частиц)Теплоёмкость:c=dEdµ∝dTdTПоэтому условие скачка теплоёмкости:α <=N2α <=2N3, а её производной:.72.2Задача 6В модели Дебая найти средний квадрат отклонения от равновесного положения hu2 i атомов углерода в решетке алмаза при комнатной температуре (TD = 2000o K). Oпределитьотношение u/d в точке плавления калия (TD = 130o K, Тпл = 336o K).
Среднее расстояниемежду ближайшими соседями в решетке калия равно d = 4.5 · 10−8 см.Представим кристалл в виде трёхмерного пружинного матраса. Пусть атомы в нулевомприближении покоятся на своих местах в кристаллической решётке, между атомами на одной прямой вдоль некой оси действуют силы; в пределе малых колебаний эти силы можнопредставить как упругие силы и описать взаимодействие пружинками. Очень просто сначаларассмотреть одномерный случай (подробно классическая задача разобрана в общем курсе Сербо по аналитической механике).
Я лишь напомню основные положения: для атома в серединерешётки можно составить уравнениеmẍn = k(−2xn + xn+1 + xn−1 ),или ẍn = ω02 (−2xn + xn+1 + xn−1 ). Ищем решение в виде xn = e−iωt fn . Решение:fn = Aeiϕnс законом дисперсииω= 2 sin2 ϕ/2.ω0Можно ввести “волновой вектор“ k такой, что ϕ = ka, a — период решётки.Теперь по аналогии с квантованием эм.-поля проквантуем получившийся газ осцилляторов.Для этого воспользуемся Гайзенберговским представлением операторов:Nx̂n =2X−iki an+iωtαi âi eiki an−iωt + â+,i ei=− N2где ki = k · i. В модели Дебая используется гипотеза о том, что в решётки распространяетсятолько акустическая волна (нет оптической волны) с простым законом дисперсииω = uk,u — “дебаевская“ скорость “звука“, ωi = uki . Совершая квантование можно выразить гамильтониан через операторы âi и aˆ+i :NĤ =2Xi=− N21+~ωi âi âi +,2где âi âi + = n̂i – оператор числа квантов данного сорта i.В итоге мы свели колебания кристаллической решётки к идельному бозе-газу фононов.Нетрудно показать, что hni = ~ω1 −1 .
В трёхмерном случае k превращается в тыкву вектор с таeTким же дисперсионным соотношением. Очевидно, что hu2 i = 3hx̂2n i. Пусть |ni i =|n1 n2 . . . ni . . . n3N i.Нормировку для вычисления матричного элемента будем использовать такую:r~αi =N ωi m8по аналогии с квантовой теорией поля. Матричный элемент от x̂2n запишется в виде двойнойсуммы, воспользовавшись соотношением [âi , â+j ] = δij двойная сумма станет просто суммойпо фононам, где для каждого фонона hni i = ~ω1 −1 .
Также можно избежать подсчёт двойнойeTсуммы, воспользовавшись теоремой вириала для осцилляторного потенциала. В итоге имеемX 1122+.hx̂n i =αi~ωie T −1 2iВ случае N → ∞ заменим сумму на интеграл по фазовому объёмуhx̂2n i=αi21e~ωiT1+−1 2d3 kV=(2π)3ωD04πω 2 dω~(2π)3 nu3 ωm1e~ωiT1+−1 2,где ωD — дебаевская частота, n — концентрация.
Если произвести обезразмеривание методомРабусова, получим окончательно неправильный ответ:hx̂2n i3T 2 ~2=mΘ3Θ/Tdx · x11+ex − 1 2,0Θ = ~ωD — дебаевская температура. Интеграл нужно считать численно, либо в двух пределахбольшого и малого отношения Θ/T. Для углерода по условию имеем Θ = 2000K, T = 300K,тогда интеграл равен 13.43, для калия имеем условие Θ = 130K, T = 336K, интеграл равен0.3885.
(Интеграл посчитан методом Симпсона, можно также рассмотреть линейное прибижение подинтегральной экспоненты для случая малых Θ/T и методом “бесконечного предела“при большом отношении или наоборот, нужно проверить.) Постоянная Больцмана, Авогадро изначение массы атома в (г/моль) в прединтегральном коэффициенте восстанавливается из размерности и здравого смысла. Путём подсчёта всего этого добра на калькуляторе для углеродаимеем ответ 0.03Å, для калия соответственно 13%.2.3Задача 7Как хлопьев снега грустных слов навалят,но чемодана щелкнеет вдруг латунь ,и упадет билет в твою ладонь,компостером простреленный навылет.“Дорога”, Булат ОкуджаваНайти скачок теплоёмкости латуни состава Cu1+k Zn1−k точке упорядочения сплава.
Кристаллическая решетка кубическая объёмноцентрированная. Использовать приближение молекулярного поля, учитывая лишь взаимодействие ближайших соседей.В нашем распоряжении имеется кристаллическая объемоцентрированная решетка и два сорта атомов a и b (Cu и Zn соответственно). Решетка состоит из двух подрешеток A и B. Положение центров ячеек подрешетки A совпадает c положением узлов подрешетки B.Обозначеня:• NaA - число атомов a на подрешетке A;• NbA - число атомов b наподрешетке A;9• NaB - число атомов a наподрешетке B;• NbB - число атомов b наподрешетке B;• N - полное число атомов на любой из подрешеток;• Vaa - потенциал взаимодействия двух соседних атомов a;• Vab = Vba - потенциал взаимодействия двух соседних атомов a и b;• Vbb - потенциал взаимодействия двух соседних атомов b.Следующие уравнения очевидны:NaA + NbA = N, NaA + NaB = (1 + k)N ,NaB + NbB = N, NbB + NbA = (1 − k)N .Введем параметр порядка η.
Полному беспорядку соответствует 21 (1 + k)N атомов меди вкаждой из подрешеток A и B. Полное заполнение Cu(k > 0) одной из подрешеток соответствуетабсолютному порядку. Оставшееся число атомов Cu сидит на другой подрешетке. Их числоравняется kN штукам. В случае полного порядка разность NaA − NaB = (1 − k)N , в случаеабсолютного безпорядка разность NaA − NaB = 0. Таким образом, можем записать NaA − NaB =(1 − k)ηN .
Где η = 1 соответствует порядку, а η = 0 - беспорядку. Введем обозначения(дляудобства): 1 + k = α и 1 − k = β. Из вышеприведенных равенств следует:• NaA = 21 N (α + βη),• NbA = 12 βN (1 − η),• NaB = 12 N (α − βη),• NbB = 21 βN (1 + η).Запишим энергию взаимодействия атомов в приближении ближайших соседий. Ближайшиесоседи атома данной подрешетки - это q ближайших атомов с другой подрешетки.qNbBqN BqNbBqNaBVaa +Vab ) + NbA ( a Vba +Vbb )NNNNПосле несложных упращений должно аолучиться:E = NaA (11E = E0 − qN β 2 (Vaa + Vbb − 2Vab ) = E0 − qN β 2 V44E0 - часть энергии, которая не зависит от параметра порядка η.Все мы, конечно, знаем с детского сада, что F = E − T S, а S = ln Γ.
Число состояний!N !Γ = N A !NNA !NB . Будем искать η дающий миниум свободной энергии(тоже помним с садикаBaa !Nb !bпочему это так), т. е.∂F=0∂ηДальнейшие расчеты очевидны(См. задачник Г.Л. Коткина и Е.Г. Образовского по стат.физике, задача 6.4) Диффиренцируем свободую энергию. Получаем кубическое уравнение наη. η = 0 нам не интересно. Ищим критическую температуру - Tc (знаем, что η 2 > 0). Выражаемвсе через нее, выражение для η 2 заметно упростится.
Подставляем квадрат параметра порядка ввыражение для энергии, упращаем.Ищем разность теплоемкостей сразу до критической точкиdE dE и сразу после нее(∆C = dT − dT ).T =Tc +0T =Tc −0102.4Задача 81. Найти флуктуации энергии (∆E)2V,N при фиксированном объёме и числе частиц.Вероятность нахождения тела в состоянии с энергией E равна:W ∝eS(E,V )− TE0Запишем энергию и энтропии в виде суммы равновесного значения и отклонения от него флуктуации. Очевидно, что равновесные значения в показателе экспоненты можно будет опустить, так как они уйдут в постоянный коэффициент пропорциональности.S = S0 + ∆SE = E0 + ∆EЗаметим, что флуктуацию энергии можно выразить через флуктуацию энтропии.1 ∂ 2E∂E∆S +(∆S)2∆E ≈2∂S2 ∂SdE = T dS − pdV∂E=T∂S∆1 E = T0 ∆SТеперь видно, что мы не зря разложили ∆E до второго члена, так как первый член сокращается.∆1 E=0∆S −T0Легким движением руки вычислим то, что осталось:1 ∂ 2E1 ∂T122∆E=(∆S)=∆S·∆S=∆S∆T2 ∂S 22 ∂S2− ∆S∆TW ∝ e 2T0∂Scv∆S =∆T = ∆T∂TTW ∝ e−cv (∆T )22T 2К нашей огромной радости, функция распределения ∆T оказывается нашей старой знакомой - Гауссианой!x2W ∝ e− 2σ2Ну а значение среднего квадрата для распределения Гаусса мы знаем:T2(∆T )2N,V = σ 2 =cv∂E∆E =∆S = T ∆S = cv ∆T∂SИ через пару шагов мы получаем ответ:(∆E)2N,V = cv T 2112.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
